福建福州闽侯第六中学高三数学上学期期中文

福建省闽侯第六中学2018届高三上学期期中考试数学（文）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为, 所以，故选A考点：复数的基本运算2.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合或，则，故选D.3.对于直线和平面，下列条件中能得出的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】在中，则与相交或平行，故错误；在中，则与不一定垂直，故错误；在中，由面面垂直的判定定理得，故正确；在中，则由面面平行的判定定理得，故错误，故选C.4.执行如图的程序框图，如果输入，则输出的值为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】模拟程序的运行过程，可得，执行循环体，不满足条件；执行循环体，不满足条件；执行循环体，不满足条件；执行循环体，满足条件，退出循环，输出的值为，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5.等比数列前项和为，已知，则（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】设等比数列的公比为，解得，故选A.6.已知函数，则函数的图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数，则函数，函数的图象开口向下，经过与，符合题意的函数图象为D，故选D.7.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A考点：线性回归直线.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A. 64B. C. 16D. 【答案】D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥为棱长为的正方体一部分，直观图如图所示：是棱的中点，由正方体的性质得，平面的面积，所以该多面体的体积，故选D.9.是所在平面内一点，则是点在内部（不含边界）的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】若，点在内部，则，反之不成立，例如时，点为边的中点，是点在内部，（不含边界）的必要不充分条件，故选B.10.命题p：“，”是假命题，则实数a的取值范围是A B. C. D. 【答案】D【解析】“”是假命题，等价于是真命题，由，得：，由得：，故的最大值是，故只需，解得，故选D.11.如图，在正方体中，平面经过，直线，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图所示，连接与交于，取的中点，连接，则，平面平面平面，是满足条件的截面，由正方体的性质可得，平面截该正方体所得截面的面积为，故选D.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理棱锥的体积公式，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 12.若存在实数,当时,恒成立, 则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：作出的图象，如图，当时，由图知，合题意，排除选项C、D,当时，由图知不恒成立，排除A，故选B考点：1、分段函数的解析式及图象；2、不等式恒成立、数形结合思想及选择题的特殊值法【 方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、不等式恒成立、数形结合思想及选择题的特殊值法，属于难题特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:（1）求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，正方形的边长为2，向正方形内随机投掷200个点，有30个点落入图形中，则图形的面积的估计值为_. 【答案】0.6【解析】由题意可得正方形面积为 ，设不规则图形的面积为，由几何概型概率公式可得，故答案为14.设分别是双曲线的左右焦点，点，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】由题意可得F1(c,0),M(a,b)，直线MF1的斜率为tan30=，即有，即，即为c=2a,可得.故答案为：2.15.若数列满足：且，数列满足，则数列的最大项为第_项【答案】6【解析】由，且，得，则，累加得， ，由，得，即，数列的最大项为第项，故答案为.【方法点晴】本题主要考查已知数列递推公式求通项以及数列最大项问题，属于难题题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；累乘法（相邻两项的积为特殊数列）；（3）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.16.已知函数，若曲线在点，（，其中互不相等）处的切线互相平行，则的取值范围是_.【答案】【解析】函数，曲线在点,其中互不相等）处的切线互相平行，即在点处的值相等，画出导函数的图象，如图， 当时，当时，必须满足，故答案为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知分别为三个内角的对边，.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由，利用正弦定理可得，又，代入化简即可得出即 ；（2）由正弦定理可得：，即可得出.试题解析：（1）即又 即 （2）解法一：，即又由三角形边的性质知，.解法二：. .18.在某次数学测验中，有6位同学的平均成绩为117分，用表示编号为的同学所得成 绩，6位同学成绩如表，（1）求及这6位同学成绩的方差；（2）从这6位同学中随机选出2位同学，则恰有1位同学成绩在区间中的概率.【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）由位同学的平均成绩为分和6位同学成绩分布表，能求出，进而能这位同学成绩的方差；（2）位同学中成绩在区间中有人，从这位同学中随机选出位同学，先列举出基本事件总数，再列举出怡有位同学成绩在区间中包含的基本事件个数，根据古典概型概率公式求出怡有位同学成绩在区间中的概率.试题解析：（1）由得 （2）由数据知，6名同学中成绩在之间的有两人，记为，成绩不在之间的有4 人，记为，从6位同学中随机抽取2名同学所有可能结果组成的基本事件空间可以为 基本事件空间中共有基本事件15个，设恰有1位同学成绩在区间中为事件，中含基本事件8个，【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及随机变量的均值与方差的基本含义，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，. ，再，.依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19.如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点，点在线段上，且（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）取中点，记为点，连结，由三角形中位线定理积比例性质，结合面面平行的判定定理可得平面 /平面，从而可证明平面；（2）利用点到平面的距离为点到平面 的距离的求出棱锥的高，利用三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.试题解析：（1）取中点，记为点，连结为中点，为中点又,又平面平面又平面平面（2）方法一：由于为中点，故两点到平面的距离相等又 点到平面的距离为点到平面 的距离的，即，方法二： 20.已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，设点为椭圆上任意一点，直线和椭圆交于两点，且直线与轴分别交于两点，求证：.【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）由，又，联立求出 、 、的值，即可得出椭圆的方程；（2）设，则，求出直线的方程与直线方程，可得的坐标，利用斜率公式只要证明即可得出结果.试题解析：，椭圆方程为（2）设，则，直线方程为令,则同理和均为锐角，与互余，【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程或 ；找关系：根据已知条件，建立关于、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21.已知函数.（1）求函数的极值点；（2）设，若函数在 内有两个极值点，求证：.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）求出的导数，并分解因式，对讨论，分，求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间，可得所求极值点；（2）求出的解析式和导数，由题意可得有两个不为的正根，运用判别式大于零和韦达定理，可得，化简，由不等式的性质即可得证.试题解析：（1）若，由得；由，可得，即函数在上为增函数；由，可得，即函数在上为减函数，所以函数在上有唯一的极小值点，无极大值点.若，由得；由，可得或，即函数在上为增函数；由，可得，即函数在上为减函数，所以函数在上有极大值点，极小值点.若，则，在上大于等于零恒成立，故函数在上单调递增，无极值点. 若，由得；由可得或，所以函数在上为增函数；由，可得，所以函数在上为减函数，所以函数在上有极大值点，极小值点.（2），则记，由题意可知方程即在上有两个不等实数根.所以解得：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.如图，已知圆是的外接圆，是边上的高，是圆的直径.（1）求证：； （2）过点作圆的切线交的延长线于点，若，求的长.【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）连接，由，得，由对应边成比例即得；（2）是圆的切线，设，得，故.试题解析：（1）连接.则有直角三角形，所以，又所以，所以即，又，故（2）因为为圆的切线，所以又，从而解得因为，所以，所以，即.23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，过点的直线的倾斜角为45，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为点.（1）求直线的参数方程；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由于定点为，倾斜角为，根据直线参数方程的概念，有；（2）对方程两边乘以，化简得，将直线的参数方程代入，写出根与系数关系，理由难过参数的几何意义有.试题解析：（1）由条件知，直线的倾斜角，设点是直线上的任意一点，点到点的有向距离为，则5分（2）曲线的直角坐标方程为，由此得，即，设为此方程的两个根，因为和的交点为，所以分别是点所对应的参数，由韦达定理得10分考点：坐标系与参数方程【方法点晴】直线的参数方程中，参数的系数的平方和为时，才有几何意义且其几何意义为：是直线上定点动点的距离.这类型的题目要注意化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解数形结合的应用，即充分利用参数