内蒙古呼和浩特高三数学下学期第二次质量普查调研考试文

2019年呼和浩特市高三年级第二次质量普查调研考试文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由指数函数的性质得到集合，根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得集合，又由，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，以及指数函数的性质的应用，其中解答中根据指数函数的性质，准确求解集合B是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.瑞士著名数学家欧拉发现公式（为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，ei表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】令x=1，则ei=cos1+isin1，又由sin10,cos10，根据复数的表示，即可得到答案.【详解】由题意，根据公式eix=cosx+isinx（为虚数单位），令x=1，则ei=cos1+isin1，又由sin10,cos10，所以复数ei=cos1+isin1表示的点位于第一象限，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及三角函数的符号的应用，其中解答中合理赋值，根据复数的几何意义及复数的表示求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.已知向量a=(m,2m1)，b=(1,2)，若a+2b与b互相垂直，则m=（ ）A. 0B. 12C. 23D. 83【答案】D【解析】【分析】写出a+2b的坐标，利用两个向量垂直的条件计算可得答案.【详解】a+2b=m2,2m+3,b=1,2,若a+2b与b互相垂直,则2-m+4m+6=0,解得m=83，故选：D【点睛】本题考查两个向量垂直坐标运算，属于基础题.4.已知直线2x4y+5=0的倾斜角为，则sin2=（ ）A. 25B. 45C. 310D. 12【答案】B【解析】【分析】由直线方程可得tan，由正弦的二倍角公式和同角三角函数关系式计算可得答案.【详解】直线2x4y+5=0的倾斜角为,可得斜率k=tan=12,则sin2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=114+1=45，故选：B【点睛】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查正弦的二倍角公式的应用，考查齐次式的计算，属于基础题.5.函数f(cosx)=cos2x，那么f12的值为（ ）A. 12B. 32C. 12D. 32【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，令x=3，则f(cos3)=f(12)=cos23，即可求解.【详解】由题意，函数f(cosx)=cos2x，令x=3，则f(cos3)=f(12)=cos(23)=12，故选C.【点睛】本题主要考查了函数值的求解，以及特殊角的三角函数值的应用，其中解答中合理赋值，根据特殊角的三角函数求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.已知双曲线C1:x24y2k=1与双曲线C2:x2ky29=1有相同的离心率，则双曲线C1的渐近线方程为（ ）A. y=32xB. y=62xC. y=34xD. y=64x【答案】B【解析】【分析】由双曲线方程可知k0,分别写出曲线C1和C2的离心率，由离心率相等可得k值，从而得到渐近线方程.【详解】由双曲线方程可知k0,双曲线C1:x24y2k=1的离心率为4+k2，双曲线C2:x2ky29=1离心率为k+9k，由题意得4+k2=k+9k，解得k=6, 双曲线C1为x24y26=1，则渐近线方程为y=62x，故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率公式的应用，考查渐近线方程的求法，属于基础题.7.一个盒子里装有标号为1-6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，其余两个是黄球，若从中任取两个球，则取的两个球颜色不同，且恰有1个球的号码是偶数的概率是（ ）A. 115B. 215C. 315D. 415【答案】D【解析】【分析】6个球中任取两个球的种数为15种，满足条件的有4种，由古典概型概率公式可得答案.【详解】盒子里装有标号为1-6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，5,6号是黄球，从中任取两个球,有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15种情况，恰有1个球的号码是偶数有16,25,36,45共有4种情况，故所求概率P=415故选：D【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用，属于基础题.8.设f(x)=3x+a(x2)f(x1)(x2)，若f(3)=89，则实数a是（ ）A. 1B. -1C. 19D. 0【答案】B【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】f3=f31=f2=32+a=89,解得a=-1,故选：B【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.9.执行如图所示的程序框图，如果输出S3，那么判断框内应填入的条件是 ( )A. k5?B. k6?C. k7?D. k8?【答案】C【解析】根据程序框图，运行结果如下： S k 第一次循环 log23 3第二次循环 log23log34 4第三次循环 log23log34log45 5第四次循环 log23log34log45log56 6第五次循环 log23log34log45log56log67 7第六次循环 log23log34log45log56log67log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k7故答案为：k7故答案为：C.10.用半径为3cm，圆心角为23的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（ ）A. 1cmB. 22cmC. 2cmD. 2cm【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为rcm,根据底面圆的周长即扇形的弧长求出半径r,利用勾股定理可得答案.【详解】设圆锥的底面半径为rcm，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2r=233,即底面圆半径为1，.所以圆锥的高h=321=22,故选：B【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的应用，圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.11.已知函数f(x)=sinx+3cosx，把函数f(x)的图象向右平移6个单位，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x0,2时，方程g(x)k=0恰有两个不同的实根，则实数k的取值范围为（ ）A. 1,3B. 1,2)C. (2,0)(0,2)D. 3,2)【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式，化简得到函数的解析式，再根据三角函数的图象变换，得到函数g(x)的解析式，再把方程g(x)k=0恰好有两个不同的实数解，转化为y=g(x)与y=k有两个不同的交点，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，根据辅助角公式，可得函数f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+3)，把函数f(x)的图象向右平移6个单位，得到f1(x)=2sin(x+6)，再把函数f1(x)图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g(x)=2sin(2x+6)，因为x0,2，则2x+66,76，令62x+62，解得0x6，即函数g(x)在0,6上单调递增，令22x+676，解得6x2，即函数g(x)在6,2上单调递减，且g(0)=2sin6=1,g(6)=2sin2=2,g(2)=2sin76=1，要使得方程g(x)k=0恰好有两个不同的实数解，即y=g(x)与y=k有两个不同的交点，结合图象，可得实数k的取值范围是1k10.828因此，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为学习能力与实习时间长短有关.【点睛】本题考查频率分布直方图和独立性检验的应用，考查学生的分析与计算能力，属于基础题.20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (ab0)的一个焦点与y2=8x的焦点重合且点A(2,2)为椭圆上一点（l）求椭圆方程；（2）过点A任作两条与椭圆C相交且关于x=2对称的直线，与椭圆C分别交于P、Q两点，求证：直线PQ的斜率是定值【答案】（1）x28+y24=1；（2）22【解析】【分析】(1)由已知列出关于a和b的等量关系，可得方程；（2）写出直线AP和直线AQ的方程，将直线AP和直线AQ与椭圆方程联立，得P,Q的横坐标，利用斜率公式和韦达定理进行计算即可得到答案.【详解】（1）抛物线y2=8x的焦点为F2,0，则椭圆C的一个焦点为F2,0,故a2=b2+4把点A2,2带入椭圆方程得：4b2+4+2b2=1解得：a2=8b2=4所以，椭圆C方程为x28+y24=1（2）由题意，可设直线AP的方程为y=kx2+2，则直线AQ的方程为y=kx2+2设Px1,y1，Qx2,y2，则y1=kx12+2，y2=kx22+2把直线AP的方程与椭圆C方程联立得：1+2k2x2+42k8k2x+8k282k4=02x1=8k28241+2k2，故x1=4k242k21+2k2同理可得x2=4k2+42k21+2k2所以kPQ=y2y1x2x1=kx22+2kx12+2x2x1=kx2+x1+4kx2x1=kx2+x14x1x2=k4k242k21+2k2+4k2+42k21+2k244k242k21+2k24k2+42k21+2k2=22所以，直线PQ的斜率是定值22【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用和韦达定理以及斜率公式的应用，考查学生的推理和计算能力，属于中档题.21.已知函数f(x)=(x2)exk(x1)2.（1）当k0时，求函数f(x)在0,2上的最大值和最小值（2）讨论函数y=f(x)零点的个数.【答案】（1）f(x)max=k，f(x)min=e；（2）见解析【解析】【分析】(1)对函数f(x)求导，写出函数的单调区间，由单调性可得函数的最值；（2）令fx=0则x2ex=kx12，变量分离得k=x2exx12，构造函数gx=x2exx12，对函数g(x)求导，判断函数单调性，画出函数的图像，由图像可得结果.【详解】由题设，fx=x1ex2k（1）当k0令fx0，得x1，fx在1,+上单调递增，令fx0，得x0得x1，则gx在1,+上单调递增，令gx0，得x1，则gx在,1上单调递减，当x1时，gx当x+时，gx+.当x时，gx0，且当x0时，gx0.故gx的图像如图所以，当k0（l）设为参数，若y=22t1，求直线的参数方程；（2）已知直线与曲线C交于P，Q设M(0,1)，且|PQ|2=4|MP|MQ|，求实数a的值.【答案】（1）x=22ty=1+22t（为参数）；（2）1【解析】【分析】（1）由直线的极坐标方程为2cos+4=1，求得x-y=1，进而由y=-1+22t，代入上式得x=32t，得到直线的参数方程；（2）根据极坐标与直角坐标的互化，求得x2+y2=2ax，将直线的参数方程与C的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解.【详解】（1）直线的极坐标方程为2cos+4=1即x-y=1，因为参数，若y=-1+22t，代入上式得x=32t，所以直线的参数方程为x=22ty=-1+22t（为参数）（2）由=2acos(a0)，得2=2acos(a0)，由x=cos，y=sin代入，得x2+y2=2ax (a0)将直线的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2-2(1+a)t+1=0.（*）则=2(1+a)2-40且t1+t2=2(1+a)，t1t2=1，设点P，Q分别对应参数t1，t2恰为上述方程的根.则|MP|=t1，|MQ|=t2，|PQ|=t1-t2，由题设得t1-t22=4t1t2.则有t1+t22=8t1t2，得a=1或a=-3.因为a0，所以a=1【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.23.设函数f(x)=|x-2|-|x-a|.（1）当a=l时，求不等式f(x)74；（2）1,3【解析】【分析】（1）当a=1时，分类讨论去掉绝对值，得分段函数f(x)=1,x13-2x,1x2-1,x2，进而可求解不等式的解集.（2）由绝对值的三角不等式，求得-|a-2|f(x)|a-2|，转化为对任意x1,x2R，总有|fx1-fx2|2，即2|a-2|2，即可求解.【详解】（1）当a=1时，f(x)=|x-2|-|x-1|，即f(x)=1,x13-2x,1x2-1,x2，当x1时，不等式fx12的解集