从一道数学历史名题谈研究性学习人教

从一道数学历史名题谈研究性学习1 问题的提出教育内在于一个人文的世界. 在这个世界中，教育的方向和效果更多地取决于我们的信念和期待. 良好的教育必定有一个价值预设：创新. 基于这一价值预设，良好的教育更多的是自主与引导，而不是强迫与领导. 也基于这一价值预设，研究性学习也就油然而生，并已成为目前中小学课程改革的一个十分重要的话题.数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学和现实问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习活动. 它能营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓励的良好氛围，给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会. 目前，课堂教学仍然是学校教育的主阵地，数学研究性学习和数学教材学习之间应相互补充、相互促进。这样深入挖掘数学教材，提升课堂教学的各个环节的研究成分，寓研究性学习于课堂教学之中就显得十分重要.下面给出一则教学案例谈谈笔者的一些具体想法与作法。 2 一则教学案例ABCP在立体几何的侧面展开图一节内容中，老师们最容易上手的一道应用性的问题是：例 如图，圆锥的底面半径为r 5cm，母线，AB为底面直径，C为PB的中点，现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从A爬到C，它至少得爬多远？ABCPA1分析：圆锥侧面上两点间的最短距离，可转化为平面内两点连线的最短长度问题来解决. 略解：沿母线PA把侧面剪开、展平（在平面PAB上），如图所示，A就变成A1，走的最短路线就应当是A1C，易知 ,从而 .即 蚂蚁沿圆锥表面从A爬到C，它至少得爬.往往许多老师到此就结束完事了,但我们如果仔细钻研,深入研究，却发现此题大有文章可做。研究1 如果题目中的C为PA的中点, 则蚂蚁由A绕圆锥侧面一周到C的最短的距离为多少?评注 本题与上面这道题目略有不同.如果将旋转体的问题改变成简单的多面体，情况又将如何呢?研究2 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为5cm，现有一只蚂蚁，从A出发沿表面爬行到点到C1，求蚂蚁爬行的最短路线的长.AA1B1C1D1BCDAA1B1C1D1BCDC1分析：沿表面最短问题，一般需要展开在平面图形上考虑.而由于正方体的六个面是完全相同的正方形，无论如何展开都是相同的，因此，我们只须按侧面展开、铺平，将立体的问题转化为平面的问题，然后再进行求解.略解：沿CC1剪开，使面AB1与面BC1共面，可求得 即 蚂蚁从A出发沿表面爬行到点C1的最短路线的长为.如果再将正方体这一条件弱化为长方体，情况还会如此吗？研究3 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB = 4cm，BC = 3cm，BB1 = 5cm，现有一只蚂蚁，从A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线的长.分析：此题虽然还是求蚂蚁沿表面最短的问题，同样需要展开在平面图形上考虑. 但此题是否也像上题一样，只须考虑它的侧面展开图就行呢？答案是否定的，因为长方体的长、宽、高各不相同，因此，它们在同一顶点上的三个面完全不同，随着展开的情况不同，蚂蚁所走的路程也不同. 因此，我们要求蚂蚁爬行的最短路线的长, 必须先进行分类讨论.ABCDD1C1B1A1ABCDD1C1B1A1C1C1A略解：沿长方体的一条棱剪开，使点A和点C1展在同一个平面上，求线段AC1的长即可，如图所示的三种剪法： 若沿C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得 ( cm ) . 若沿AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得 ( cm ) . 若沿CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得 ( cm ) .比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.评注：由研究3，让学生展开联想的翅膀，透过现象看本质，我们是否还可以从中挖掘出更一般的结论来呢？一般地，如果长方体相邻的三条棱长分别为a，b，c ,且满足,则所求最短距离应当是. 并带领学生欣赏“蜘蛛和苍蝇”这一世纪谜题:研究4 如图，在一个长、宽、高分别为30、12、12英尺的长方体房间，一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板1英尺的A地方苍蝇则在对面墙的中间离地面1英尺的B地方苍蝇是如此地害怕，以至于无法动弹试问，蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬行的最短距离是多少？AB请你尝试解决这一谜题，也许通过这一问题的解决，你更加体会到展折这一思想方法的作用评注：HE杜登尼是19世纪英国知名的谜题创作者“蜘蛛和苍蝇”问题最早出现在1903年的英国报纸上，它是杜登尼最有名的谜题之一它对全世界难题爱好者的挑战，长达四分之三个世纪上面的研究，虽然是从一道非常朴素、常见的题目着手，最后的出口却是一道世纪谜题，这不能不说是研究性学习的奇妙之处它一方面体现了从特殊到一般、从简单到复杂这一知识的发展规律，另一方面，也说明了在目前课堂教学仍是主阵地的学校教育中,要更多在平时教学中，多从教材的例题、习题等本身的内容去引导学生，让学生自己去变，去引申，去发现，培养学生研究性思维的自然迁移，将研究性学习扎根在我们平时的课堂教学中进一步指出的是，上述知识的呈现，也说明了研究性学习就像种子一样，它需要一定的环境培养，如土壤、气候、灌溉、施肥等，才能发芽、生根、开花、结果教师就是要去创造这样的一种环境，一种适合培养学生自主、探究的环境因此，我们要随时注意教材中有许多极具有教学价值的题目，教师不能就题论题，而应该认真挖掘题目中丰富的内涵，诱导学生对原题进行变式、推广、应用的研究，将命题的模式、解题的技巧及思想方法，进行充分的揭示，着力去开发学生发展的活动空间、思维空间和想象空间，让学生在这三个空间里自主探索，发现问题，解决问题，并使之有所创造参考文献1 朱丽君.课堂教学中的研究性学习. 中学教研, 2003(6)(修改稿)从一道历史数学名题谈研究性学习本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”（DHA010276）阶段成果。徐鸿斌 ( 浙江省台州市路桥中学 318050 )张维忠 (浙江师范大学 321004)历史数学名题体现和谐之美，和音乐、绘画、雕塑、建筑等艺术作品一样，是人类文化的瑰宝，不因国籍、种族、肤色、语言而异，人见人爱，津津乐道。它们代代相传，又琢磨提炼，跨洲越洋，交融传播，口碑载道。而数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学和现实问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手、动脑，主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习活动。 研究性学习能营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓励的良好氛围，给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。挖掘历史数学名题的教育意义，深入开展数学研究性学习则是一种新的尝试。事实上，全日制义务教育数学课程标准就强调了历史数学名题的教育价值。下面结合笔者承担的全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”的研究，给出一些具体想法与作法。 1 一道历史数学名题：“蜘蛛与苍蝇”问题如图1，在一个长、宽、高分别为30、12、12英尺的长方体房间，一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板1英尺的A处，苍蝇则在对面墙的中间离地面1英尺的B处，苍蝇是如此地害怕，以至于无法动弹。试问，蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬行的最短距离是多少？（提示：它少于42英尺）AB图1“蜘蛛与苍蝇”问题最早出现在1903年的英国报纸上，它是HE杜登尼最有名的谜题之一。杜登尼是19世纪英国著名的谜题创作者，它对全世界难题爱好者的挑战，长达四分之三个世纪。请你尝试解决这一谜题，也许通过这一问题的解决，你会体验到展开与折叠这一思想方法的妙用。2 研究性学习的尝试ABCPA1ABCP学生解决上述“蜘蛛与苍蝇”问题有一定难度， 历史数学名题的展现主要是引起学生兴趣，激发学生研究问题的欲望，教学中可先展现如下的例1. 例1 如图2，圆锥的底面半径为r 5 cm，母线，AB为底面直径，C为PB的中点，现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从A爬到C，它至少爬行的最短距离是多少？分析：圆锥侧面上两点间的最短距离，可转化为平面 内两点连线的最短长度问题来解决。 图2 略解：沿母线PA把侧面剪开、展平（在平面PAB上），如图3所示，A就变成A1，走的最短路线就应当是A1C， 图3 易知 ， 从而 . 即蚂蚁沿圆锥表面从A爬到C，它至少得爬行.往往许多老师到此就结束完事了,但如果受“蜘蛛与苍蝇”问题的启发就会发现此题大有文章可做。引导学生研究1 如果题目中的C为PA的中点, 则蚂蚁由A绕圆锥侧面一周到C的最短的距离为多少?（本题与上面这道题目略有不同）如果将旋转体的问题改变成简单的多面体，情况又将如何呢?引导学生研究2 如图4，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为5 cm，现有一只蚂蚁，从A出发沿表面爬行到点到C1，求蚂蚁爬行的最短路线的长。AA1B1C1D1BCDAA1B1C1D1BCDC1图4 图5分析：沿表面最短问题，一般需要展开在平面图形上考虑。而由于正方体的六个面是完全相同的正方形，无论如何展开都是相同的，因此，我们只须按侧面展开、铺平，将立体的问题转化为平面的问题，然后再进行求解。略解：沿CC1剪开，使面AB1与面BC1共面（如图5），可求得 即 蚂蚁从A出发沿表面爬行到点C1的最短路线的长为.如果再将正方体这一条件改为长方体，情况还会如此吗？ABCDD1C1B1A1ABCDD1C1B1A1C1C1A引导学生研究3 如图6，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB = 4cm，BC = 3cm，BB1 = 5cm，现有一只蚂蚁，从A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线的长。 图6 图7分析：此题虽然还是求蚂蚁沿表面最短的问题，同样需要展开在平面图形上考虑。但此题是否也像上题一样，只须考虑它的侧面展开图就行呢？答案是否定的，因为长方体的长、宽、高各不相同，因此，它们在同一顶点上的三个面完全不同，随着展开的情况不同，蚂蚁所走的路程也不同。因此，我们要求蚂蚁爬行的最短路线的长, 必须先进行分类讨论.略解：沿长方体的一条棱剪开，使点A和点C1展在同一个平面上，求线段AC1的长即可，如图7所示有三种剪法： 若沿C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得 ( cm ) . 若沿AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得 ( cm ) . 若沿CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得 ( cm ) .比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.经历研究3后，可让学生