内蒙古赤峰高三数学模拟考试理

内蒙古赤峰市2019届高三数学4月模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则中的元素个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将集合求解出来，然后解出，从而得出元素的个数.【详解】解：因为，故，因为，所以，所以.元素的个数为2，故选C.【点睛】本题考查了集合的交集，解题的关键是审清题意，解析出集合中的元素.2.已知为虚数单位，复数，则下列结论正确的是（ ）A.的共轭复数为B.的虚部为C.在复平面内对应的点在第二象限D. 【答案】B【解析】【分析】先根据复数运算求解出，从而得出，逐一分析选项，得出正确的答案.【详解】解：因为复数z2+i=3+2i，所以z=3+2i2+i=(3+2i)(2i)(2+i)(2i)=8+i5，由此可得z=8+i5，故选项A错误，故z=8i5，所以，的虚部为-15，选项B正确，在复平面内对应的点为(85,15)，在第四象限，故选项C错误，|z|=(85)2+(15)2=6525=655，故选项D错误，故本题选B.【点睛】本题考查了复数的定义、复数的运算、复数的模、复数的几何意义等知识，正确的运算、清晰的概念是解题的关键.3.史记卷六十五孙子吴起列传第五中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是（ ）A. 23B. 35C. 59D. 34【答案】A【解析】分析】首先求出满足 “从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛” 这一条件的事件数，然后求出满足“齐王获胜”这一条件的事件数，根据古典概型公式得出结果.【详解】解：因为双方各有3匹马，所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，满足“齐王获胜”的这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的事件数为3；齐王派出中等马，则获胜的事件数为2；齐王派出下等马，则获胜的事件数为1；故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率P=69=23，故选A.【点睛】本题考查了古典概型问题，解题的关键是求出满足条件的事件数，再根据古典概型的计算公式求解问题，属于基础题.4.若函数fx=xgx是定义在R上的奇函数，在,0上是增函数，且f1=0，g0=0，则使得gx0的x的取值范围是（ ）A. ,1B. ,11,+C. 1,00,1D. 1,1【答案】C【解析】【分析】求解不等式gx0时，求解xg(x)0的解集，当x0的解集，即当x0时，求解f(x)0的解集，当x0的解集，再根据函数f(x)的性质求解不等式.【详解】解：因为y=f(x)是R上的奇函数，且在-,0上是增函数，所以y=f(x)在0，+上也是增函数，又因为f1=0，所以f-1=-f1=0，1，当x0时，不等式g(x)0的取值范围，等价于xg(x)0的取值范围，即求解f(x)f(1)的取值范围，根据函数y=f(x)在0，+上是增函数，解得0x1，2，当x0时，不等式g(x)0的取值范围，即求解f(x)f(1)的取值范围，根据函数y=f(x)在-,0上是增函数，解得1x0，3，当x=0时，g(0)=0，不成立，故gx0的x的取值范围是(1,0)(0,1)，故选C.【点睛】本题考查了函数性质（单调性、奇偶性等）的综合运用，解题的关键是要将函数y=g(x)的问题转化为函数y=f(x)的问题，考查了学生转化与化归的思想方法.5.已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若a1=1,S8=17S4，则a5=（ ）A. 8B. -8C. 16D. 16【答案】D【解析】【分析】当q=1时，不成立，当q1时，利用等比数列的前n和公式表示S8=17S4，求解出q，从而得出a5.【详解】解：设等比数列an的公比为q当q=1时， S8=8a1，17S4=174a1=68a1，因为a10，所以S8=8a1，S817S4；当q1时， S8=a1(1q8)1q=1q81q，17S4=17a1(1q4)1q=17(1q4)1q，故1q81q=17(1q4)1q，解得q=1或q=2或q=2，因为等比数列an为正项等比数列，故q=2，所以a5=a124=16，故答案选D.【点睛】本题考查了等比数列的前n项和的问题，在使用等比数列的前n项和公式时，一定要注意分情况讨论，避免漏解.6.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，且上下两底面是等腰直角三角形，侧棱长为4，底面等腰直角三角形的腰长为4，找出球心的位置，求出球的半径，从而得出三棱柱外接球的体积.【详解】解：根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，如图所示，其中四边形A1ABB1、四边形A1ACC1均是边长为4的正方形，三角形ABC、三角形A1B1C1是AB=AC=4，A1B1=A1C1=4的等腰直角三角形，设ABC的外接圆圆心为O1，故O1即为BC的中点，A1B1C1的外接圆圆心为O2，故O2即为B1C1的中点，设球的球心为O，因为三棱柱ABC-A1B1C1的为直三棱柱，所以球的球心O为O1O2的中点，且直线O1O2与上、下底面垂直，连接OB，外接球的半径即为线段OB的长，所以在RtOO1B中，O1B=AB2+AC22=16+162=22，O1O=A1A2=2，故OB=(22)2+(2)2=23，即球的半径为23，所以球的体积为43R3=323，故选B.【点睛】本题考查了柱体外接球的体积问题，由三视图解析出该几何体是前提，准确想象出三棱柱各点、各棱、各面与外接球的位置关系，并且从立体图形中构建出平面图形是解得球半径的关键，属于中档题.7.我们可以用随机数法估计的值，如图，所示的程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生0,1内的任何一个实数），若输出的结果为784，则由此可估计的近似值为( )A. 3.119B. 3.124C. 3.136D. 3.151【答案】C【解析】【分析】根据已知程序框图可以得到，该程序的功能是利用随机模拟的方法任取（0,1）内的两个数x，y，将这两个数看作为平面区域内的一个点，该点落在x2+y21的概率为4；与此同时，计数变量m表示计算该点落入平面区域x2+y21的次数，根据古典概型计算公式得到概率为7841000，再由两者之间的概率近似相等，从而得到的近似值.【详解】解：根据已知程序框图可以得到，该程序的功能是利用随机模拟的方法任取（0,1）内的两个数x，y，将这两个数看作为平面区域内的一个点(x,y)，该点落在x2+y21的概率为4；计数变量m表示计算该点落入平面区域x2+y21的次数，因为输出的结果为784，所以在1000次种共有784次该点落入在平面区域x2+y20，若集合A=x0,fx=-1只含有3个元素，则实数的取值范围是（ ）A. 32,2B. 32,2C. 2,134D. 2,72【答案】D【解析】【分析】利用三角变换将函数f(x)=sinxcosx转化为f(x)=2sin(x4).集合A=x0,fx=-1只含有3个元素，表示f(x)=1时在0,)上只有三解，求出2sin(x4)=1的根，从而得出的范围.【详解】解：因为函数fx=sinx-cosx0，所以f(x)=2sin(x4)，因为集合A=x0,fx=-1含有3个元素，所以f(x)=1时在0,)上只有三解，即2sin(x4)=1 ，解得：x4=54+2k或74+2k,kz，故，x=32+2k或2+2k,kz，要使其落在0,)上，故只有x=0、32、2，其他值均不在0,)内，故0320272，解得32272，故20,b0的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足F1AO=AOF1（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A. y=2xB. y=3xC. y=2xD. y=x【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点A的坐标，根据F1AO=AOF1可得PF1=c，再利用两点间距离得出关于a,b,c方程，从而解得渐近线方程.【详解】解：设P(x0,y0)因为F2点关于渐近线的对称点为P(x0,y0)，不妨设渐近线方程为y=bax，故有y0x0cba=1y02=ba(x0+c2)，解得x0=a2b2cy0=2abc，因为F1AO=AOF1，所以PF1=F1O=c，根据两点间距离d=(x1x2)2+(y1y2)2可得，PF1=(a2b2c+c)2+(2abc0)2=c，即(a2b2c+c)2+(2abc0)2=c2，即4a4c2+4a2b2c2=c2，即4a4+4a2b2=c4，即4a2(a2+b2)=c4，可得3a2=b2，所以ba=3，故渐近线方程为y=3x，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程、两点间距离公式等知识，解题时需要有较强的运算能力.12.若存在x0使aexln2x1=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（ ）A. ,00,2eB. 0,2eC. 2e,+D. ,02e,+【答案】D【解析】【分析】存在x0使ae-xln2x-1=0成立，故a0，所以等价于1a=(e-x)ln2x在定义域上有解，求出函数y=(e-x)ln2x的单调性和最值，从而解出1a范围，进而求解出a的范围.【详解】解：当a=0时，不存在x0使ae-xln2x-1=0成立，当a0，存在x0使ae-xln2x-1=0成立即为 1a=(e-x)ln2x在定义域上有解，令f(x)=(e-x)ln2x，故f(x)=-ln2x+e-xx，因为f(x)=-1x-ex20，则y=f(x)在x(0,e2)为增函数，当x(e2,+)时，f(x)0，则y=f(x)在x(e2,+)为减函数，当x0，f(x)-；当x+，f(x)-，所以函数f(x)max=f(e2)=e2，函数y=f(x)的值域为(-,e2，所以1ae2，故a2e,或a0的准线相交于点B，与C的一个交点为A，若BM=MA，则a=_【答案】8【解析】【分析】由直线方程为y=3(x2)与准线l:x=a4得出点B坐标，再由BM=MA可得，点M为线段AB的中点，由此求出点A的坐标，代入抛物线方程得出a的值.【详解】解：抛物线C:y2=axa0的准线方程为l:x=a4过点M2,0且斜率为3的直线方程为y=3(x2)，联立方程组y=3(x2)x=a4，解得，交点B坐标为(a4,3(a+8)4)，设A点坐标为(x0,y0)，因为BM=MA，所以点M为线段AB的中点，所以x0+(a4)2=4y0+3(a+8)42=0，解得A(4+a4,3(a+8)4)，将A(4+a4,3(a+8)4)代入抛物线方程，即(3(a+8)4)2=a(4+a4)，因为a0，解得a=8.【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.16.若数列an满足a1=1,a2=12,2an+1=4an2an1+3n2，则nan的最小值为_【答案】1【解析】【分析】条件2an+1=4an-2an-1+3n2转化为an+1-an=an-an-1+32，构造新数列bn=an-an-1，则能够得到数列bn为等差数列，由此得出bn通项，再通过叠加法得出数列an的通项，借助导数或单调性定义法得出nan的单调性，从而得出结果.【详解】解：令bn=an-an-1由2an+1=4an-2an-1+3n2得，an+1-an=an-an-1+32即bn+1=bn+32，故当n2时，数列bn是从b2=12开始，d=32的等差数列，bn=b2+(n-2)32，即bn=32n-52，故an-an-1=32n-52，故an-a1=(an-an-1)+(an-an-1)+(a2-a1)=(32n-52)+(32(n-1)-52)+12=3n2-7n+44，故an=3n2-7n4，当n=1时，上式也成立，故an=3n2-7n4(n1)，设函数f(x)=3x3-7x24，x(0,+)令f(x)=9x2-14x40，解得：x(149,+)故当x(149,+)，y=f(x)单调递增，故数列nan=3n3-7n24在n2时单调递增，而1a1=-1，2a2=-1，所以有1a1=2a23a3，故nan=3n3-7n24最小值为-1.【点睛】本题考查了等差数列的定义、叠加法求通项、数列单调性等知识，构建新数列是本题解题的关键.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足sinCsinAa=sinCsinBc+b，ABC的外接圆的半径为233，（1）求角B的大小；（2）若a+c=4，求ABC的面积.【答案】(1) B=3 (2) 3【解析】【分析】（1）用正弦定理将题中的正弦转化为三角形的边，再利用余弦定理可得角B的大小；（2）由三角形外接圆半径可得到边b的大小，由余弦定理可得a2+c24=ac，结合a+c=4，求出ac，从而得出ABC的面积.【详解】解：（1） sinC-sinAa=sinC-sinBc+b，又asinA=bsinB=csinC，c-aa=c-bc+b，ac-a2=c2-b2，故ac=a2+c2-b2又cosB=a2+c2-b22ac=12，0B5.024所以有97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记”是否顺利与普查对象类别有关；（3）以频率作为概率，选择1家企事业单位入户登记顺利的概率为45，选择1家个体经营入户登记顺利的概率为35，X的可能取值为0,1,2,3,4，则PX=0=15253=8625，PX=1=45253+15C3135252=68625，PX=2=45C3135252+15C3235225=198625，PX=3=45C3235225+15C33353=243625，PX=4=45C33353=108625，所以X的分布列为X 01234P 8625 68625 198625 243625 108625 EX=08625+168625+2198625+3243625+4108625=2.6，所以，X的数学期望为2.6.【点睛】本题考查了抽样的方式、独立检验思想的应用、概率分布等知识，考查学生的计算能力，属于中档题.19.已知A为圆C:x2+y2=1上一点，过点A作y轴垂线交y轴于点B，点P满足BP=2BA.（1）求动点P的轨迹方程；（2）设Q为直线l:x=3上一点，O为坐标原点，且OPOQ，求POQ面积的最小值.【答案】(1) x24+y2=1 (2) 32.【解析】【分析】（1）设出A、P点坐标，用P点坐标表示A点坐标，然后代入圆方程，从而求出P点的轨迹；（2）设出P点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ面积的值，当斜率存在时，利用点P坐标表示POQ的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.【详解】解：（1） 设Px,y，由题意得：Ax1,y,B0,y，由BP=2BA，可得点A是BP的中点，故x+0=2x1，所以x1=x2，又因为点A在圆上，所以得x24+y2=1，故动点P的轨迹方程为x24+y2=1.（2）设Px1,y1，则y10，且x124+y12=1，当x1=0时，y1=1，此时Q3,0,SPOQ=32；当x10时，kOP=y1x1,因为OPOQ,即kOQ=-x1y1,故Q3,-3x1y1，OP=x12+y12，OQ=31+x12y12=3x12+y12y1，SPOQ=12OPOQ=32x12+y12y1，x124+y12=1代入SPOQ=324-3y12y1=324y1-3y1 0y11设fx=4x-3x0x1 因为f(x)=4x230恒成立， fx在0,1上是减函数，当y1=1时有最小值，即SPOQ32,综上：SPOQ的最小值为32.【点睛】本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.20.如图，在四棱锥PABCD中，ADCD,AB/DC,PA底面ABCD，DC=2AB=2AD=4,H为棱PC上一点，点E为棱DC的中点，过AH的平面交PD,PB于M,N两点，且MN/平面ABCD.（1）证明：MNPE；（2）若PB于底面PAE所成角的正弦值为1010，BHCD,求二面角PBHD的余弦值.【答案】(1)见证明；(2) 19.【解析】【分析】（1）因为MN/平面ABCD，故能得到MN/BD，要证BDPE，即证BD平面PAE，故只需在平面PAE内求出两条相交直线与BD垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量知识求出二面角P-BH-D的余弦值.【详解】证明：（1） MN/平面ABCD,MN平面PBD,平面PBD平面ABCD=BD，MN/BD，DC=2AB=2AD=4, 点E为棱DC的中点，DA=AB=BE=ED=2，ADCD,AB/DC,ABED是正方形，BDAE,PA底面ABCD，BDAP,AEAP=A，AE,AP平面APE,BD平面PAE，BDPE,又MN/BD,MNPE.（2）因为PB与底面PAE所成角的正弦值为1010，设AEBD=O,由（1）可知，BPO是PB与底面PAE所成角的平面角，所以sinBPE=BOPB=1010,因为BO=2,所以PB=25，在RtPOB中，PO=PB2-BO2=32,在RtPAO中，PA=PO2-AO2=4,因为BHCD,又BECD,BEBH=B，BE,BH平面BHE,CD平面BHE，CDHE，因为ADCD,又APCD,ADAP=A，AD,AP平面ADP,CD平面ADP，CDDP，在平面PDC内，E为DC中点，所以H是PC的中点，以A为原点，分别以AB,AD,AP为x轴、y轴、轴，建立如图的空间直角坐标系O-xyz，P0,0,4，C4,2,0，B2,0,0，D0,2,0，H2,1,2所以PB=2,0,-4,BH=0,1,2， DB=2,-2,0,DH=2,-1,2，设平面PBH是法向量为m=x1,y1z1，则mBH=0mPB=0所以-2x1-4z1=0y1+2z1=0令x1=2，则y1=-2,z1=1， 所以m=2,-2,1设平面DBH的法向量为n=x2,y2,z2，则nDB=0nDH=0,所以2x2-2y2=02x2-y2+2z2=0， 令y2=1，则x2=1， z2=-12， 所以m=1,1,-12设二面角P-BH-D所成角为，显然为锐角，所以cos=mnmn=19所以二面角P-BH-D所成角为余弦值为19.【点睛】本题考查了立体几何中异面直线的垂直问题、利用空间向量解决二面角的问题，解题的前提是要能建立出空间坐标系，正确写出各个点的坐标，理清法向量的夹角与二面角的关系是解题的关键，还考查了学生的计算能力.21.已知函数fx=x+1exalnx，其中e为自然对数的底数.（1）若a=1，判断函数的单调性，并写出证明过程；（2）若a1e,0，求证：对任意x0,2，都有fx1aa2ea.【答案】(1) 函数y=fx在0,+上单调递增；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用导数法解决函数的单调性问题；（2）要证fx1-a-a2e-a，即证f(x)max0，解得xln2,+为函数gx=ex-2x的单调递增区间，由gx=ex-20 ，gx=ex-x2在x0,+为单调增函数， gxg0=10，fx=ex-x2xex0所以函数fx=x+1ex+lnx在其定义域0,+单调递增.（2）fx=-xex-ax=-1xa+x2ex ， 令gx=-x2exx0,gx=xx-2ex,x0,2时，gx0， gx在2,+单调递增,gxmin=g2=-4e2， 又g0=0,x+时 gx0a-1e2,0时，a=-x2ex有正根x10,2，即fx=-xex-ax=-1xa+x2ex有正零点x10,2又x0,x1时， fx0, xx1,2时，fx0,x=x1为函数fx=x+1ex-alnx的极大值点，此时a=-x12exa-1e2,0， -1e-x12ex10，gx在0,2单调递减，且g1=-1e，00，0-ax11fx1=Fx1F-a=-a+1e-a+a2e-aln-a=-a+1+a2ln-ae-a0-a1e，ln-a-1，a2ln-a-