内蒙古包钢第一中学高三数学适应性考试一理

包钢一中2015届高三适应性考试（一）理 科 数 学注意：本试卷分第I卷（选择题；填空题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22-24题为选考题，其它为必考题。考生作答时，将答案写在答题纸上，在本试卷上答题无效。考试结束后，只需将答题纸交回。 参考公式：样本数据，的标准差 其中为样本平均数； 柱体体积公式 其中为底面面积，为高；锥体体积公式 其中为底面面积、为高；第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则集合（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由集合的运算规则可得：，故，故选C.2. 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z2z1=（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D【解析】由于复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，z2=2+i则z2z1=2+i2+i=2+i2i2+i2i=3+4i5=1，故选D.3. 以下命题：随机变量服从正态分布N(0，2)，若P(2)=0.023，则P(-22)=0.954；函数f(x)=ex+12x2的零点所在的区间是(1,2)；“|x|1”的充分不必要条件是“x1”；0cosxdx=0。其中假命题的个数是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】随机变量服从正态分布N（0，2），若P（2）=0.023，则P（22）=12P（2）=0.954，是真命题；函数f(x)=ex+12x-2在R上单调递增，又f0=12=10，函数f(x)的零点所在的区间是（0，1），因此是假命题；x1x1，反之不成立，因此“x1”的充分不必要条件是“x1”，是真命题；0cosxdx=202cosxdx=2sinx02=20 ，因此是假命题其中假命题的个数是2，故选C.4. 已知实数x,y满足2xy0xy+10x+y+10，则z=2x+y的最大值为（ ）A. 4 B. 0 C. -1 D. -2【答案】A【解析】画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=2x+y转化为：y=2x+z，由图象得：y=2x+z过（1，2）时，z最大，Z最大值=4 ，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 阅读下面的程序框图,运行相应的程序,输出的S为（ ）A. -240 B. -210 C. 190 D. 231【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得程序运行的功能是计算并输出求S=122+32+202的值，当i=21时，满足条件n20，程序运行终止，S=122+32+202=210，故选B.6. ABC外接圆的半径为2，圆心为O，且， ，则的值是( )A. 12 B. 11 C. 10 D. 9【答案】A【解析】2OA+AB+AC=0，即有2OA+OBOA+OCOA=0，可得OB+OC=0，则O为BC的中点，即有ABAC，又|OA=AB|，则ABO为等边三角形，且边长为2，由勾股定理可得AC=BC2AB2=23，则CACB=|CA|CB|cosACB=23432=12，故选A.7. 若函数f(x)=sin(x+)(0且0且|2）在区间6，23上是单调减函数，且函数值从1减小到-1，T2=236=2，即函数的周期T=，T=2=，=2，则fx=sin2x+，f6=sin（26+）=1，sin3+=1，即3+=2+2k，kZ，即=6+2k，kZ，|2，当k=0时，=6，即fx=sin2x+6，则f4=sin24+6=sin2+6=cos6=32，故选C.8. 已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设a=f(log47),b=f(log123),c=f(0.20.6)，则a,b,c的大小关系是（ ）A. cab B. cbaC. bca D. ab01x2x0，则方程f(2x2+x)=a(a0)的根的个数不可能为（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】D【解析】作函数f(x)=|lgx|x01-x2x0的图象如图，2x2+x=2（x+14）218；故当a=f18时，方程f2x2+x=a有一个负根14，再由|lg2x2+x|=f18得，2x2+x=10f18，及2x2+x=10f18，故还有四个解，故共有5个解；当a1时，方程f2x2+x=a有四个解，当f18a01-x2x0的图象，由于2x2+x=2（x+14）218，故可分为a=f18，a1和f18a1三种情形，结合图象分析根的个数.二填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13. 二项式(x1x2)6展开式的常数项是_【答案】15【解析】二项式(x-1x2)6展开式中的通项公式为Tr+1=C6rx6r（1）rx2r=(1)rC6rx63r，令63r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为(1)2C62=15，故答案为15.14. 在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2b2=3bc， sinC=23sinB，则A=_【答案】6【解析】将sinC=23sinB，利用正弦定理化简得：c=23b，代入得a2b2=3bc=6b2，即a2=7b2，由余弦定理得：cosA=b2+c2a22bc=b2+12b27b243b2=32，A为三角形的内角，A=6，故答案为6.点睛：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键；已知sinC=23sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数.15. 如图过拋物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则拋物线的方程为_【答案】y2=3x【解析】试题分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，NCB=30，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6x=1，而x1+p2=3,x2+p2=1，由直线AB：y=k(xp2)，代入抛物线的方程可得，k2x2(pk2+2p)x+14k2p2=0，即有x1x2=p24(3p2)(1p2)=p24p=32，得y23x考点：抛物线的标准方程16. 若实数a,b,c,d满足(blna)2+(cd+2)2=0，则(ac)2+(bd)2的最小值为_【答案】92【解析】belna2+cd+32=0，b=elna，d=c+3，设函数y=elnx，y=x+3，(a-c)2+(b-d)2表示y=elnx上的点到直线y=x+3上的点的距离平方，对于函数y=elnx，y=ex，令y=ex=1得x=e，曲线y=elnx与y=x+3平行的切线的切点坐标为（e，e），所以切点到直线y=x+3即xy+3=0的距离为d=|ee+3|2=322，所以(a-c)2+(b-d)2的最小值为(322)2=92，故答案为92.第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第17题-第21题为必考题，第22题第24题为选考题，考生任选一题做答。三、解答题：解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤17. 公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，S515，且a2,a4,a8成等比数列。（1）求an的通项公式；（2）设bn1a12+1a22+1a32+1an2，证明：bn2。【答案】(1)an=n（2）见解析【解析】试题分析：（1）设出等差数列的首项和公差，由已知得到首项和公差的两个关系式，求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）利用放缩法及列项相消法得证.试题解析：（1）在等差数列an中，设其首项为a1，公差为d，S5=15，5a1+542d=15 又a2，a4，a8成等比数列，a42=a2a8，即a1+3d2a1+da1+7d，由，得a1=1，d=1，an=1+n11=n，an的通项公式为an=n（2）bn=1+122+1n21+112+1(n1)n=1+112+1n11n=21n2，bn2.点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于cn=an+bn，其中an和bn分别为特殊数列，裂项相消法类似于an=1nn+1，错位相减法类似于cn=anbn，其中an为等差数列，bn为等比数列等.18. 如图，已知长方形ABCD中，,M为DC的中点。将ADM 沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM。（1）求证： ； （2）若点是线段上的一动点，问点E在何位置时，二面角的余弦值为55。【答案】（1）见解析（2）E为BD的中点【解析】试题分析：（1）由已知条件可以比较容易的建立空间坐标系，因此求解时可采用空间向量求解，求出直线的方向向量和平面的法向量后，证明两直线垂直即证明两直线的方向向量是垂直的，二面角的大小可转化为两个半平面法向量的夹角，因此（2）求解时先设出点的位置，直线的方向向量和平面法向量夹角转化为二面角求得点的位置试题解析：（1）因为平面AMD平面ABCD，AB=2.AD=1.M是DC的中点，AD=DM,取AM的中点O，连结OD，则DO平面ABCM，取AB的中点N，连结ON，则ONAM，以O为原点如图建立空间直角坐标系，根据已知条件，得A(22,0,0),B(22,2,0),M(22,0,0),D(0,0,22)，则AD=(22,0,22),BM=(0,2,0),所以ADBM=0，故ADBM（）设DE=DB，因为平面AMD的一个法向量n=（0，1，0） ME=MD+DB=(2222,22,2222)，AM=(2,0,0)设平面AME的一个法向量为m=(x,y,z)，2x=02y+22(1)z=0取y=1，得x=0,y=1,z=21，所以m=(0,1,21)，因为cosm,n=mn|m|n|=55求得=12，所以E为BD的中点。考点：1线面垂直的判定；2二面角的求解19. 自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是ACDB，乙线是AEFGHB，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段.假设这三条路段堵车与否相互独立.这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示.经调查发现，堵车概率x在23,1上变化，y在0,12上变化.在不堵车的情况下.走线路甲需汽油费500元，走线路乙需汽油费545元.而每堵车1小时，需多花汽油费20元.路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据.CD段EF段GH段堵车概率xy14平均堵车时间（单位：小时）a21（表1）堵车时间（单位：小时）频数0,18(1,26(2,338(3,424(4,524（表2）（1）求CD段平均堵车时间a的值.（2）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率.（3）在(2)的条件下，某4名司机中走甲线路的人数记为X，求X的数学期望。【答案】（1）a=3（2）78（3）EX=3.5【解析】试题分析：（1）用每一段的时间的平均值乘以对应的概率，即为所求；（2）先求出走线路甲所花汽油费的期望E，再求出走乙线路多花汽油费的数学期望为E择走甲线路应满足E（545+）E0，结合x、y的范围，利用几何概型求出选择走甲线路的概率；（3）根据二项分布的特征求其期望.试题解析：（1） a=0.58100+1.56100+2.538100+3.524100+4.524100=3 （2）设走线路甲所花汽油费为元，则E=500(1-x)+(500+60)x=500+60x法一：设走乙线路多花的汽油费为元， EF段、GH段堵车与否相互独立， P(=0)=(1-y)(1-14)，P(=20)=(1-y)14，P(=40)=y(1-14)，P(=60)=14y E=40y+5 走乙线路所花汽油费的数学期望为E(545+)=545+E=550+40y 依题意选择走甲线路应满足(550+40y)-(500+60x)0，6x-4y-50,又23x1,0yb0)的左、右焦点,B为短轴的一个端点，E是椭圆C上的一点，满足，且EF1F2的周长为2(2+1).（1）求椭圆C的方程；（2）设点M是线段OF2上的一点，过点F2且与x轴不垂直的直线交椭圆C于P、Q两点，若MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线距离的取值范围.【答案】（1）x22+y2=1（2）(0,12)【解析】试题分析：（1）由已知，设，则，由此能求出椭圆的方程；（2）设点，（），直线的方程为，k0，由，得：，由此利用韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出点到直线距离的取值范围.试题解析：（1）由已知F1(-c,0)，设B(0,b)，即OF1=(-c,0),OB=(0,b)OE=(-c,22b)即E(-c,22b) c2a2+12b2b2=1 得：ca=22又PF1F2的周长为2(2+1) 2a+2c=2+22 又得：c=1,a=2 b=1 所求椭圆C的方程为：x22+y2=1 （2）设点M(m,0)(om1),直线的方程为y=k(x-1)(k0)由y=k(x-1)x2+2y2=2 消去y，得：(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0 设P(x1,y1),Q(x2,y2)，PQ中点为N(x0,y0) 则x1+x2=4k21+2k2 y1+y2=k(x1+x2-2)=-2k1+2k2x0=x1+x22=2k21+2k2 y0=y1+y22=-k1+2k2即N(2k21+2k2,-k1+2k2) MPQ是以M为顶点的等腰三角形 MNPQ 即k2m(1+2k2)-2k2=-1 m=k21+2k2=12+1k2(0,12) 设点M到直线l:kx-y-k=0距离为d，则d2=k2(m-1)2k2+1=k2(k2+1)(1+2k2)20（1）当a=2,b=1，求函数fx的极值； （2）设gx=a(x1)exfx，若存在x1，使得gx+gx=0成立，求ba的取值范围。【答案】（1）f1max=1e；f12min=4e （2）-1，+【解析】试题分析：（1）求出a=2，b=1的函数fx的导数，求得单调区间，求得极值；（2）求出gx的导数，由题意可得存在x1，使2ax33ax22bx+b=0成立由a0，则ba=2x33x22x1，设ux=2x3-3x22x-1 (x1)，求出导数，判断单调性，即可得到所求范围.试题解析：（1）当a=2，b=1时，fx=（2+1x）ex，定义域为(，0)(0，)所以fx=（x+1)(2x-1)x2ex 令fx=0，得x1=-1，x2=12，列表x-，-1-1-1，00，121212，+fx+00+fx极大值极小值由表知fx的极大值是f-1max=1e，fx的极小值是f12min=4e.（2）因为gx=（ax-bx-2a)ex，所以gx=(bx2+ax-bx-a)ex由gx+ gx=0，得（ax-bx-2a)ex+(bx2+ax-bx-a)ex=0，整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0存在x1，使g (x)g (x)0成立等价于存在x1，使2ax33ax22bxb0 成立因为a0，所以ba=2x3-3x22x-1设ux=2x3-3x22x-1(x1)，则ux=8x(x-34)2+316(2x-1)2因为x1时，ux0恒成立，所以ux在1，+是增函数，所以uxu1=-1，所以ba-1，即ba的取值范围为-1，+请考生在第22,23,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。22. （选修4-1：几何证明选讲） 如图，点A在直径为15的O 上，PBC是过点O的割线，且PA=10，PB=5.（1）求证：PA与O相切；（2）求SDACB的值【答案】（1）见解析（2）SACB=45【解析】试题分析：（1）利用勾股定理证明PAOA，再利用切线的判定方法，即可得出结论；（2）证明PABPCA，可得ABAC=PBPA=510=12，求出AC，BC，即可求SABC的值.试题解析：（1）证明：连结OA ,因为O 的直径为15，所以OA=OB=7.5又PA=10 ，PB=5 ，所以PO=12.5 在APO 中，PO2=156.25，PA2+OA2=156.25 即PO2=PA2+OA2，所以PAOA ，又点A在O上 故PA与O 相切（2）解：PA为O 的切线，ACB=PAB , 又由P=P , PABPCA,ABAC=PBPA=510=12 设AB=k，AC=2k , BC为O的直径且BC=15，ABAC BC=k2+(2k)2=5k=15 所以k=35 SACB=12ACAB=122kk=k2=4523. （选修44；坐标系与参数方程）已知曲线C1的极坐标方程是=4cos,曲线C1经过平移变换x=x+2y=y1得到曲线C2；以极点为原点,极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是x=2+tcosy=1+tsin(为参数).(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C1交于A、B两点,点M的直角坐标为(2,1),若AB=3MB,求直线l的普通方程.【答案】() C1:(x2)2+y2=4. ；C2:(x4)2+(y+1)2=4 () 15x5y215=0或15x+5y215=0【解析】试题分析：（1）利用直角坐标与极坐标间的