关于排列、组合、二项式定理、概率复习人教

关于排列、组合、二项式定理、概率复习【知识要点】高考重视对本单元的考查，原因之一是排列组合是学习概率的基础，二项式定理与高等数学的知识有关，多年来，高考排列、组合、二项式定理为一个小题，排列组合试题从形式上看有以下几种最为常见：数字问题，人或物的排列问题，几何问题，选代表或选样品的问题，集合的子集个数问题，试题的难度多数与教材习题相当，少数题有难度，多为几何问题。二项式定理试题题型为以下几种，求展开式中的某一项或某一项系数的问题，求所有项系数和或者奇数顼、偶数项系数和的问题，二项式某一项为字母，求这个字母的值的问题，求近似值的问题，试题难度不大，与教材习题难度相当。概率试题主要以应用问题形式出现，2003年概率题以中档题形式出现，分值为12分。排列、组合、二项式定理、概率的复习要求：1要求理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题。2二项式定理和二项展开式的性质，并能利用它们计算和证明一些简单的问题。3会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n次独立重复试验时恰好发生k次的概率。 排列、组合、二项式定理、概率在解题过程中应注意： 1在处理排列组合问题时，“分类”与“分步”的区分，以及“分类”或“分步”的具体标准2排列与组合的区别及组合数公式、性质的简单应用3二项式展开式中抽象符号的认识及其简单应用4区别“互斥”事件与“独立”事件排列组合试题从解法上看，大致有下面几种：第一，有附加条件的排列组合问题，大多需要运用分类讨论的方法注意分类不重不漏；第二，元素相邻，看做一个整体的方法，也就是“捆绑”的方法；第三，元素不相邻，用插空的方法；第四，排列与组合的混合型问题，分步骤，用乘法原理解决；第五，间接法，把不符合条件的排列或组合剔除掉；第六，穷举法，把符合条件的所有排列或组合写出来。【例题举列】例1：7个人A、B、C、D、E、F、G按以下要求排成一排，问各有多少种不同的排法？（1）A、B必须在两端；（2）A不能在左端，B不能在右端；（3）A、B、C必须排在一起；（4）A、B、C两两不在一起；（5）A、B、C的顺序固定。解：（1）先排A、B与两端，有种方法，再排其余元素，有。故共有2120=240种排法。（2）方法一：在种全排列中，A在左端和B在右端的各有种，但它们中都含有A 在左端且B在右端的情况，故有-2+种排法。 方法二：分成A在或不在右端两种情况，再按加法原理，得（种）评注：其中A不在右端类，可分三步骤完成：A的排法有种，接着B的排法也有种，最后是其余的元素的排法，有种。（3）先将A、B、C看成一个整体与其余4个元素作全排，再将A、B、C作全排列，故答案为（种）（4）先对D、E、F、G作全排列，再在间隙及两头空档共5处中选3个插入A、B、C，故有（种）（5）方法一：由于A、B、C顺序固定的每一个排列对应着A、B、C顺序任意的个排列，故答案为（种）。 方法二：分两步完成，先在7个位置中选取4个排D、E、F、G（视7个位置为“元素”，与D、E、F、G的对应关系为“顺序”），有种排法，而接下来排A、B、C方法是唯一的，故共有=840种排法。例2：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的拿法有（ ）（A）6种 （B）9种 （C ）11种 （D）23种 （1993全国高考题） 解法1：用A1，A2，A3，A4表示4个人，Ai的贺卡编号为I. 由于A1不对应1,故分三种情况”列举”符合题意的对应:若A1对2,有同理列出A1对3,4的对应.累计共有9个,故答案选B.解法2:分成三步骤来完成:.确定A1对应的卡号i,i=2,3或4,有3种方法.第步完成后,对应中的i,确定Ai对应的卡号j,j可取除i外的其余3个数,故有3种方法.可知A1，A2，A3，A4中除A1,Ai外的其余2人,与1,2,3,4中除i,j外的两卡号的对应总是唯一的.故答案为331=9.解法3:如图,在三棱锥的4个顶点A1，A2，A3，A4处放上1,2,3,4,使Ai处不放I即为所求,第一种情况是,同一棱上两点的下标互换,当A与A的下标互换时,必有A与A的下标互换,这相当于取三棱锥的一对异面直线,共有3对异面直线,得出3种贺卡拿法.第二种情况是没有同一棱两点下标互换,如A1取2,A2取3,A3取4,A4取1这对应着空间四边形A1A2A3A4,也相当于从三棱锥中去掉一对异面直线;去掉三棱锥中的3 对异面直线对应着3个空间四边形,每个空间四边形可顺序逆序对应两种贺卡取法(如A1A2A3A4逆序为A1A4A3A2即A1取4,A4取3,A3取2,A2取1),共有23=6种贺卡拿法. 由加法原理,得3+6=9(种).例3：4个不同的球，全部放入3个不同的盒子中，要求不同能有空盒，问有多少种不同的放法？解法一；从4个不同的小球中取出2个看成一个“大球”，有种取法，再把这“3个球”全部放入3个盒子中，有种方法，共有种放法。解法二：从3个盒子中选出1个，有种选法；再从4个小球中选出2个放入盒子中，有种方法；最后把剩余的2个小球放入剩余的2个盒子中，有种方法，所以共有种方法。评注：本题从元素（即球）的角度考虑，必定有2个小球放入同一个盒子中，所以这个问题的本质是相邻问题，可用“捆绑法”解决。从位置（即盒子）的角度考虑，有一个盒子放入了2个小球，可视为特殊位置而优先考虑。这道题也可以这样解：先把4个球分为三组，每组分别为1个，1个和2个小球，有种分法，再全部放入3个盒子中，有种放法，故共有种放法。例4：（）求展开式中x6项的系数； （） 的中间项和系数最大的项。解：（）要求展开式样这两个多项式乘积中的x6项，可分类考虑，前展开式的x3项乘后展开式中的x3项，前展开式的x2项乘后展开式中的x4项，前展开式的x项乘后展开式中的x5项，再相加即得，所以整个展开式的x6项的系数为 （） 由已知得 即 的展开式共有8项，故中间项是第四项和第五项，分别为设Tr+1是系数最大的项，则由得 因r为整数，故r=5,所以展开式中系数最大的项是评注：求两个二项式幂的积的展开式或展开式中的某项,要先求出两个展开式,再利用多项式乘积的方法展开,然后再合并同类项得展开式或其中某项,特别是求某项(或其系数)时,往往不再展开,而是通过分类求和,这时要注意不重不漏.如求三项式的幂的展开式或某项,也可以先利用二项展开式的幂展开,再类比上面方法解得.关于二项展开式的中间项,如幂指数n是偶数,则展开式的中间项仅1项是,n是奇数,则中间项有2项为.另外“系数最大的项”与“系数最小的项”是两个概念，系数最大的项不一定是中间项。例5:在圆内接正2n+1边形的顶点中任取三点组成三角形,求圆心在三角形内部的概率.解: 总体所含基本事件的个数为.由于顶点数为奇数,故所取三角形不能是直角三角形,即圆心不会在三角形的边上.圆心在三角形内部,它等价于所取三点构成锐角三角形,记这一随机事件为A,则其互斥事件表示所取三点构成钝角三角形.我们计算所含基本事件的个数,即有多少个这样的钝角三角形.而钝角三角形的总数为:个.由于每个基本事件是等可能的,故于是.评注:等可能事件的概率是概率中最基本的,但又十分重要的一种概率模型.为解决此类问题,要涉及到许多计数方法,有时从正面计算P(A)有困难时,不妨试试P().计算一个随机事件所含基本事件个数时要做到”不重不漏”,对比较复杂的问题,有时还要分类讨论,这就要找准确分类标准.例5：某班有学生36人，血型分别为：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人，若从这个班随机抽出2人，求这两人血型相同的概率.解：设抽取2人是A型记为事件A，抽取2人是B型记为事件B，抽取2人是AB型记为事件C，抽取2人是O型记为事件D，抽取2人血型相同的记为事件M，则事件A、B、C、D彼此互斥 P（A）=，P（B）=，P（C）=，P（D）= P（M）=P（A）P（B）P（C）P（D）=答：略 评注：从各血型中各抽出2人是相互独立的事件,而抽出2人的概率又是等可能的.所以应根据题设有关事件中的独立性,互斥性,采取相应的概率公式来计算.例6：有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.（）求恰有一件不合格的概率；（）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）（2003.全国高考江苏卷）解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.（）， 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为答：恰有一件不合格的概率为0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为 解法二：三件产品都合格的概率为由（）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为答：至少有两件不合的概率为0.012.评注:要注意互斥事件,相互独立事件的意义.并能准确运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式计算某些事件的概率.例7：有外形相同的球分装在三个不同的盒子中，每个盒子10个球，其中第一个盒子中7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个，试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球，如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率 .解：设事件A从第一个盒子中取得一个标有字母A的球，事件B=从第一个盒子中取得一个标有字母B的球，则A，B互斥，且P（A）=，P（B）=；事件C=从第二号盒子中取一个红球，事件D=从第三号盒子中取一个红球，则C，D互斥，且P（C）= 显然，事件AC与事件BD互斥，且事件A与C是相互独立的， B与D也是相互独立的.所以试验成功的概率为答：本次试验成功的概率为评注：解决本题的关键是正确判断事件的类型,从而选择相应的计算公式.例8：设人的某一特征（如眼睛大小）是由他一对基因决定，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人是纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，（1）1个孩子有显性决定特征的概率是多少？（2）2个孩子中至少有一个有显性决定的特征的概率是多少？解：孩子一对基因为dd, rr, rd的概率分别为, , , 孩子有显性决定特征具有dd或 rd 一个孩子有显性决定特征的概率为+= 2个孩子中至少有一个有显性决定特征的概率为1C ()2=评注：这是由概率所解决的有关遗传学方面的问题.【专题训练】16名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(A)720种 (B)360种 (C)240种 (D)120种 2在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2 3某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）A6B12C15D30 4 设，那么的值是( ) A. 121 B. 122 C. 120 D. 243 5某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是A.24B.144C.576D.7206一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：（10，20），2；（20，30），3；（30，40），4；（40，50），5；（50，60），4；（60，70），2，则样本在（，50）上的频率为A. B. C. D.7在今年公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员二名，农业企业管理人员和农业法宣传人员各一名，报考农业公务员的考生有10人，则可能出现的录用情况种数是A.5040 B.2520 C.1260 D.2108四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有(A)150种(B)147种 (C)144种(D)141种 9小王打算用70元购买面值为20元和30元的两种IC电话卡，若他至少买一张，则不同的买法一共有A.5种B.6种C.7种 D.8种 10从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A小B大C相等D大小不能确定11A、B、C、D、E，5个人站成一排，A与B不相邻且A不在两端的概率为A.B.C.D.以上全不对126人一个小组，其甲为组长，乙为副组长，从6人中任选4人排成一排，若当正、副组长都入选时，组长必须排在副组长的左边（可以不相邻），则所有不同排法种数是A.288B.276C.252D.72二填空题： 13.张强同学参加数、理、化竞赛获奖的概率均为，一周内张强同学参加了数、理、化三科竞赛，那么其中恰有一科获奖的概率是_. 4/914.将一个骰子连续抛掷两次，以所得的点数分别作为一点的横坐标与纵坐标，则满足xy20的点的个数是 .15在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内.年龄（岁）30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱 毫米）110 115 120 125 130 135 （ ）145舒张压（水银柱 毫米）70 73 75 78 80 83 （ ）8816某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种.（以数字作答）17. 求展开式的常数项.18同时抛掷15枚均匀的硬币一次（1） 试求至多有1枚正面向上的概率；（2） 试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等?请说明理由.19. 要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗小组，男医生甲和女医生乙至少有1人参加，且男、女医生均不少于2名，有多少种不同的选法？20. 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是.从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是.问：（）第二次闭合后出现红灯的概率是多少？（）三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少？【答案简析】13.14. 将