北京朝阳区高三数学第二次综合练习二模理

北京市朝阳区2019届高三数学第二次（5月）综合练习（二模）试题 理（含解析）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，则( )A. B. C. D. 且【答案】A【解析】【分析】根据不等式解法得B=x|0x2，然后根据并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可【详解】根据不等式的解法，易得B=x|0x2，又有A=x|x1，则AB=x|x0故选：A【点睛】本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题2.复数i（1+i）的虚部为（）A. B. 1C. 0D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案【详解】i（1+i）=-1+i， i（1+i）的虚部为1 故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率进行了估算根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求的方法绘制的程序框图如图所示执行该程序框图，输出s的值为（）A. 4B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【详解】第一次，否，第二次，否，第三次，是，程序终止，输出s=，故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键比较基础4.在ABC中，c=4，则b=（）A. B. 3C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，根据正弦定理即可计算解得b的值【详解】，c=4， ，由正弦定理 ，可得：，解得：b=3故选：B【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题5.已知等差数列的首项为，公差，则“成等比数列” 是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意，设数列的公差为d，从充分性与必要性的角度分析“成等比数列”和“”的关系，综合即可得答案【详解】根据题意，设数列的公差为d， 若成等比数列，则，即（a1+2d）2=a1（a1+8d），变形可得：a1=d， 则“成等比数列”是“a1=d”的充分条件； 若a1=d，则a3=a1+2d=3d，a9=a1+8d=9d，则有，则“成等比数列”是“a1=d”的必要条件； 综合可得：“成等比数列”是“”的充要条件； 故选：C【点睛】本题考查等差、等比数列的定义以及判断，涉及充分必要的定义与判断，属于基础题6.已知函数f（x）=，若函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合推出a的范围即可【详解】函数f（x）=，函数图象如图：函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是：（0，+）故选：D【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力7.在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A. 有最小值B. 有最大值C. 为定值3D. 为定值2【答案】D【解析】【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可【详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D，F，B，E，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图所以在后面的投影的面积为S后=11=1，在上面的投影面积S上=DE1=DE1=DE，在左面的投影面积S左=BE1=CE1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2故选：D【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力属于中档题8.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且BAC=，BC=1，P为BC中点过点P作PQBC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先建系，由三点共圆得点A的轨迹方程为，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0），由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为，半径为.所以点A的轨迹方程为：，则 ，则 ，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，则在方向上投影的最大值是，故选：C【点睛】本题考查了轨迹问题及平面向量数量积的运算，属中档题二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知，则a，b，c中最小的是_【答案】【解析】【分析】由对数值大小的比较得：b=ln31，又2e3，所以log32log3e1，即cab，得解【详解】b=ln31， 又2e3， 所以log32log3e1， 即cab， 故a，b，c中最小的是c 故答案为：c【点睛】本题考查了对数值大小的比较，属简单题10.已知点M（1，2）在抛物线C：y2=2px（p0）上，则点M到抛物线C焦点的距离是_【答案】2【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线方程，求出p=2，求得焦点F（1，0），利用抛物线的定义，即可求点M到抛物线C焦点的距离【详解】由点M（1，2）在抛物线C：y2=2px（p0）上，可得4=2p，p=2， 抛物线C：y2=4x，焦点坐标F（1，0）， 则点M到抛物线C焦点的距离是：1+1=2， 故答案为：2【点睛】本题考查抛物线标准方程及抛物线的定义，考查计算能力，属于基础题11.圆（为参数）上的点P到直线（t为参数）的距离最小值是_【答案】【解析】【分析】化成直角坐标方程后用点到直线的距离，再减去半径【详解】由得x2+（y-1）2=1，由，得x-2y-3=0，圆心（0，1）到直线x-2y-3=0的距离，所以所求距离的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题12.实数满足能说明“若的最大值是，则”为假命题的一组值是_.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】画出约束条件的可行域，目标函数取得最大值的直线，然后求解即可【详解】实数x，y满足的可行域以及x+y=4的直线方程如图：能说明“若z=x+y最大值为4，则x=1，y=3”为假命题的一组（x，y）值是（2，2）故答案为：（2，2）【点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键13.由数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，偶数共有_个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有_个【答案】 (1). 60 (2). 36【解析】【分析】对于第一空：分2步分析：分析可得要求三位偶数的个位有3种情况，在剩下的5个数字中任选2个，安排在前2个数位，由分步计数原理计算可得答案； 对于第二空：按个位数字分3种情况讨论，分别求出每种情况下的三位数的数目，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意， 对于第一空：分2步分析： 要求是没有重复数字的三位偶数，其个位是2、4或6，有3种情况， 在剩下的5个数字中任选2个，安排在前2个数位，有种情况， 则有320=60个符合题意的三位偶数； 对于第二空：分3种情况讨论： ，当其个位为2时，十位数字只能是1，百位数字有4种情况，此时有4个符合题意的三位数； ，当其个位为4时，十位数字可以是1、2、3，百位数字有4种情况，此时有34=12个符合题意的三位数； ，当其个位为6时，十位数字可以是1、2、3、4、5，百位数字有4种情况，此时有54=20个符合题意的三位数； 则有4+12+20=36个符合题意的三位数； 故答案为：60，36【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），M（-4，0），N（4，0），P（0，-2），Q（0，2），H（4，2）线段OM上的动点A满足；线段HN上的动点B满足直线PA与直线QB交于点L，设直线PA的斜率记为k，直线QB的斜率记为k，则kk的值为_；当变化时，动点L一定在_（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上【答案】 (1). (2). 双曲线【解析】【分析】根据向量关系得到A，B的坐标，再根据斜率公式可得kk=；设P（x，y），根据斜率公式可得P点轨迹方程【详解】；A（-4，0），又P（0，-2），；B（4，2-2），kk=，设L（x，y），则，即故答案为：，双曲线【点睛】本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，属中档题三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当时，求证：【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期 （2）利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域【详解】（1）=.所以f（x）的最小正周期（2）证明：因为，即，所以f（x）在上单调递增当时，即时，所以当时，【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型16.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照7，8），8，9），9，10分组，绘成频率分布直方图如图：专家 A B C D E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 （1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分请直接写出与的大小关系【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由频率和为1可得a的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率；（2）计算概率可得分布列和期望（3）由两组数据的比重可直接作出判断.【详解】（1）由图知，某场外观众评分不小于9的概率是 （2）X的可能取值为2，3P（X=2）=；P（X=3）=所以X的分布列为X23P所以E（X）=2由题意可知，所以E（Y）=np=（3）【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题17.在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面D，E分别是边BC，AC的中点，线段与交于点G，且，（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）证明EGAB1然后利用直线与平面平行的判定定理证明EG平面AB1D （2）取B1C1的中点D1，连接DD1建立空间直角坐标系D-xyz，通过向量的数量积证明BC1DA，BC1DB1然后证明BC1平面AB1D （3）求出平面B1CB的一个法向量，平面AB1C的一个法向量，设二面角A-B1C-B的平面角为，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可【详解】（1）证明：因为E为AC中点，G为B1C中点所以EGAB1又因为EG平面AB1D，AB1平面AB1D，所以EG平面AB1D （2）证明：取B1C1的中点D1，连接DD1显然DA，DC，DD1两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），B（0，-2，0），C（0，2，0）所以，又因为，所以BC1DA，BC1DB1又因为DADB1=D，所以BC1平面AB1D （3）解：显然平面B1CB的一个法向量为=（1，0，0）设平面AB1C的一个法向量为：=（x，y，z），又，由得设x=1，则，则所以设二面角A-B1C-B的平面角为，由图可知此二面角为锐二面角，所以【点睛】本题考查直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力18.已知函数且a0）（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）的极小值为，试求a的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可知，由此能求出曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程（2）当a-1时，求出，解得，不成立；当a=-1时，0在（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）单调递减f（x）无极小值；当-1a0时，极小值f（1）=-a-4，由题意可得，求出；当a0时，极小值f（1）=-a-4由此能求出a的值【详解】（1）函数f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（aR，且a0）由题意可知 曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 （）当a-1时，x变化时变化情况如下表：x1（1，+）-0+0-f（x）极小值极大值此时，解得，故不成立当a=-1时，0在（0，+）上恒成立，所以f（x）在（0，+）单调递减此时f（x）无极小值，故不成立当-1a0时，x变化时变化情况如下表：x（0，1）1-0+0-f（x）极小值极大值此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，解得或因为-1a0，所以当a0时，x变化时变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）-0+f（x）极小值此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，解得或，故不成立综上所述【点睛】本题考查切线方程的求法，考查极值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题19.已知椭圆的离心率为.（）求椭圆的方程；（）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明直线过轴上的定点.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由离心率列方程可求得椭圆方程； （2）当直线AB的斜率不存在时，直线BD过点（2，0）当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y=k（x-1），联立方程组，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0利用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线BD过x轴上的定点【详解】（1）解：由题意可得,解得，所以椭圆C的方程为 （2）直线BD恒过x轴上的定点N（2，0）证明如下（a）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不妨设A（1，），B（1，），D（3，）此时，直线BD的方程为：y=（x-2），所以直线BD过点（2，0）（b）当直线l的斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB为y=k（x-1），D（3，y1）由得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0所以x1+x2=，x1x2=（*）直线BD：y-y1=（x-3），只需证明直线BD过点（2，0）即可.令y=0，得x-3=，所以x=即证，即证.将（*）代入可得.所以直线BD过点（2，0）综上所述，直线BD恒过x轴上的定点（2，0）【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查了直线恒过定点，考查推理论证能力、运算求解能力，考查由特殊到一般的思想，是难题20.对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）=a+b|aA，bA，记集合S（A）的元素个数为d（S（A）定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=AS（A）（1）若A=0，1，2，求S（A），T（A）；（2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A）=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A1，2，3，4，5，6，7，8且1，2，3，25，26T（T（A），求元素个数最少的集合A【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据定义直接进行计算即可（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明 （3）首先证明：1A，然后根据条件分别判断A中元素情况即可得到结论【详解】（1）若集合A=0，1，2，则S（A）=T（A）=0，1，2，3，4 （2）令不妨设充分性：设是公差为的等差数列则 且所以共有2n-1个不同的值即d（S（A）=2n-1必要性：若d（S（A）