北京十一学校高二数学上学期期中

北京市十一学校2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题）1. 下列叙述中，错误的一项为（）A. 棱柱的面中,至少有两个面相互平行B. 棱柱的各个侧面都是平行四边形C. 棱柱的两底面是全等的多边形D. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面2. 下列函数中，在定义域内为奇函数，且在（0，+）上为减函数的是（）A. B. C. D. 3. 圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的（）A. B. C. D. 4. 设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 6. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60，b=10，则结合a的值解三角形有两解的为（）A. B. C. D. 7. 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A. B. C. D. 8. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PEA1C于E，且PA=PE，则点P的轨迹是（）A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分二、填空题（本大题共7小题）9. 圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线3x+4y+8=0的最大距离是_10. 若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是_11. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：BM与DE平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直以上四个结论中，正确的是_12. 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为_13. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，AD1B=，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为_14. 已知函数f（x）=ax2-1的图象在点A（1，f（1）处的切线与直线x+8y=0垂直，若数列的前n项和为Sn，则Sn=_15. 如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是_；最大值为_三、解答题（本大题共5小题）16. 已知函数f（x）=sin2x+sinxsin（x+）-1（0）的相邻两条对称轴之间的距离为（1）求的值；（2）当x-，时，求函数f（x）的值域17. 已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，满足a1=b1=2，2a2=b2，S2+T2=13（1）求数列an，bn通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列cn的前n项和Hn18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点（1）证明：EF平面PAC；（2）证明：AFPC19. 已知椭圆C：的右焦点，点在椭圆C上（）求椭圆C的标准方程；（）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果OAB的面积为（为实数），求的值20. 已知函数f（x）=a（x-2lnx）-x2+2x（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围答案和解析1.【答案】D【解析】解：定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围城的几何体叫棱柱；正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D错；故选：D根据棱柱的定义可知ABC对，正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D错；考查棱柱的定义，以及对空间几何体棱柱的理解；2.【答案】D【解析】解：Af（x）的定义域为（0，+），函数为非奇非偶函数；Bf（-x）=2-（-x）2=2-x2=f（x），则f（x）是偶函数，不满足条件；Cf（x）为指数函数，单调递减，为非奇非偶函数；Df（-x）=-=-f（x），则f（x）是奇函数，当x0时，函数f（x）为减函数，满足条件故选：D根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键3.【答案】C【解析】解：设一个圆锥的底面半径为r，高为h，则其体积V=；圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则所得圆锥的底面半径为2r，高为，体积为它的体积是原来体积的故选：C设一个圆锥的底面半径为r，高为h，利用圆锥体积公式求其体积，再求出变换后的圆锥的体积，则答案可求本题考查圆锥体积的求法，是基础的计算题4.【答案】B【解析】解：m，m得不到，因为，可能相交，只要m和，的交线平行即可得到m；，m，m和没有公共点，m，即能得到m；“m”是“”的必要不充分条件故选：Bm并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且m，显然能得到m，这样即可找出正确选项考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念5.【答案】B【解析】解：如图在RtMF1F2中，MF1F2=30，F1F2=2c，故选：B先在RtMF1F2中，利用MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题6.【答案】B【解析】解：由正弦定理，有，=，三角形有两解，sinB1且ba，因此由选项知，只有a=9时符合条件，故选：B根据正弦定理可得，然后根据三角形有两解可得sinB1且ba，从而得到a的范围本题考查了正弦定理和三角形中大边对大角等知识的应用，考查了转化思想，属中档题7.【答案】A【解析】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选A由已知中锥体的侧视图和俯视图，画出该几何的直观图，进而可得该锥体的正视图本题考查的知识点是简单空间几何体的三视图，其中根据已知中的三视图，画出直观图是解答的关键8.【答案】A【解析】解：连接A1P，由题意知A1AAP，因为PEA1C，且PA=PE，所以A1APA1EP，所以A1A=A1E，即E为定点因为PA=PE，所以点P位于线段AE的中垂面上，又点P在底面上，所以点P的轨迹为两平面的交线，即点P的轨迹是线段故选A由PEA1C于E，且PA=PE，得到点E是定点，然后根据PA=PE，得到点P位于A，E的中垂面上，从而得到点P的轨迹本题主要考查空间直线的位置关系的判断，以及空间点的轨迹的求法，综合性较强，难度较大9.【答案】4【解析】解：由题意可得，圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，圆心的坐标为（1，1），半径r=1，圆心到直线的距离，所以所求最大距离是4，故答案为：4根据图象可知，最大距离是圆心到直线的距离与半径长之和本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题10.【答案】【解析】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y=sin（2x+2）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+2=+k，kZ，则的最小正值为，故答案为：利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求出的最小正值本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题11.【答案】【解析】【分析】本题考查正方体的结构特征，异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是基础题将展开图复原为几何体，如图，容易判断选项的正误，得出结果【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：BM与ED平行；错误的，是异面直线；CN与BE是异面直线，错误；是平行线；从图中连接AN，AC，由于几何体是正方体，故三角形ANC是等边三角形，所以AN与CN的夹角是60，又ANBM，故CN与BM成60；正确；DMNC，DMBC，所以DM平面BCN，所以DM与BN垂直正确判断正确的答案为故答案为：12.【答案】【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和故答案为：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|AF|，再求出|AF|的值即可本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想13.【答案】【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系长方体中，BC=CC1=1，AD1B=，AD1=，AB=AD1tan=A（1，0，0），B1（1，1），B（1，0），C1（0，1）=（0，1），=（-1，0，1），cos=故答案为：如图所示，建立空间直角坐标系根据长方体中，BC=CC1=1，AD1B=，可得AD1=，AB=AD1tan=利用向量夹角公式即可得出本题考查了长方体的性质、向量夹角公式、空间线面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14.【答案】【解析】解：函数f（x）=ax2-1的导数为f（x）=2ax，可得f（x）在x=1处的切线斜率为2a，切线与直线x+8y=0垂直，可得2a=8，即a=4，则f（x）=4x2-1，=（-），可得Sn=（1-+-+-）=（1-）=故答案为：求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a=4，再由裂项相消求和，可得所求和本题考查导数的运用：求切线的斜率，数列的裂项相消求和，两直线垂直的条件，考查运算能力，属于基础题15.【答案】，；【解析】解：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1取AD的中点O，连接OB，OC，则OBAD，OCAD，OB=OC=又OBOC=O，则AD平面OBC，取BC的中点E，连接OE，则OEBC，OE=SOBC=F（x）= =1 =（0x）F（x）=，令F（x）0，解得，此时函数F（x）单调递增；令F（x）0，解得，此时函数F（x）单调递减法因此当x=时，F（x）取得最大值，=故答案分别为：，如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1取AD的中点O，连接OB，OC，则OBAD，OCAD，OB=OC=又OBOC=O，则AD平面OBC取BC的中点E，连接OE，则OEBC，可得OE，可得F（x）=（0x）利用导数研究其单调性即可得出本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三棱锥的体积计算公式、线面垂直的判定定理、勾股定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.【答案】解：（1）=，函数f（x）的最小正周期为，且0，=，解得=1，（2）x-，2x-，根据正弦函数的图象可得：当2x-=，即x=时，g（x）=sin（2x-）取最大值1当2x-=-，即x=-时，g（x）=sin（2x-）取最小值-，即f（x）的值域为【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可得f（x）=，利用正弦函数的周期公式即可求解的值（2）由已知可得2x-，根据正弦函数的图象即可解得函数f（x）的值域本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题17.【答案】解：（1）设公差为d等差数列an的前n项和为Sn，公比为q的等比数列bn的前n项和为Tn，满足a1=b1=2，2a2=b2，S2+T2=13所以：，解得，所以an=2+（n-1）=n+1，（2）由于cn=an+bn=n+1+23n-1，所以Hn=（1+2+n）+n+2（30+31+3n-1）=【解析】（1）首先利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用分组法求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型18.【答案】证明：（1）点F是棱PD的中点，点E为CD的中点EFPC，EF平面PAC，PC平面PAC，EF平面PAC（2）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，AFPD，PACD，ADCD，PAAD=A，CD平面PAD，AF平面PAD，CDAF，PDCD=D，AF平面PCD，PC平面PCD，AFPC【解析】（1）推导出EFPC，从而EF平面PAC（2）推导出AFPD，PACD，ADCD，从而CD平面PAD，进而CDAF，AF平面PCD，由此能证明AFPC本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题19.【答案】解：（）由题意知：c=，左焦点F（-，0）根据椭圆的定义得：2a=|MF|+|MF|=+，解得a=2，b2=a2-c2=4-3=1，椭圆C的标准方程为：+y2=1；（）由题意知，SABC=|AB|OP|=，整理得：=|OP|2-当直线l的斜率不存在时，l的方程为：x=，此时|AB|=1，|OP|=，=|OP|2-=-1；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+4k2）x2-8k2x+12k2-4=0，显然0，则x1+x2=-，x1x2=，y1=k（x1-），y2=k（x2-），|AB|=4，|OP|2=（）2=，此时，=-=-1；综上所述，为定值-1【解析】（）通过右焦点可知：c=，左焦点F（-，0），利用2a=|MF|+|MF|可得a=2，进而可得结论；（）通过SABC=，可得=|OP|2-，对直线l的斜率存在与否进行讨论当直线l的斜率不存在时，易得=-1；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程并与椭圆C方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式、点到直线的距离公式计算亦得=-1本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题20.【答案】解：（1）函数f（x）=a（x-2lnx）-x2+2x定义域为（0，+），f（x）=a（1-）-x+2=（x-2）（a-x），（x0）a0时，a-x0，当x（0，2）f（x）0，f（x）单调递增；当x（2，+）f（x）0，f（x）单调递减；0a2时，f（x）=0，解得x=2或x=a，当x（0，a），f（x）0，f（x）单调递减；当x（a，2），f（x）0，f（x）单调递增，当x（2，+），f（x）0，f（x）单调递减；a=2时，f（x）=-（x-2）20，f（x）在（0，+）单调递减；a2时，f（x）=0，解得x=2或x=a，当x（0，2），f（x）0，f（x）单