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二项式定理题型分类解析http:/www.DearEDU.com张彬政 二项式定理是高中数学的一个重要内容，高考试题中几乎年年有，考查的题型主要是选择题和填空题，多是容易题和中等难度的试题，但有时综合解答题也涉及到二项式定理的应用。一. 求特殊项 此类问题一般由通项入手，根据题意，设未知数，建立方程求解。 例1. 已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。 （1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。 分析：依条件可得关于n的方程求出n，然后写出通项，讨论常数项和有理项对r的限制。 解：依题意，前三项系数的绝对值分别为1，且 即 解得n8或n1（舍去） （1）若为常数项，当且仅当，即，而，这不可能，故展开式中没有常数项。 （2）若为有理数，当且仅当为整数。 ，即展开式中的有理项共有三项， 评注：此类问题都由通项入手，依条件列出方程并结合题意讨论，但要注意常数项和有理项概念的区别。二. 求二项式系数或展开式中的项的系数 展开式中二项式系数或展开式中的项的系数与通项有密切的联系，在通项公式中，一定要注意正、负，结合题意易获得。 例2. 求展开式的： （1）第6项的二项式系数； （2）第3项的系数； （3）的系数。 分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为； （2），故第3项的系数为9； （3），令，故r3，所求系数是 评注：求二项式系数或展开式中的项的系数可直接由通项公式得出，但要注意这两个概念的区别。三. 求相关元素 此类问题一般是根据已知条件列出等式，进而解得所要求的元素。 例3. 设，的展开式中的系数为，则n_。 分析：，则的系数为 展开整理得： 解得n4四. 求证整除、求余数 例4. 求证：能被7整除。 分析：，除以外各项都能被7整除。 又 显然能被7整除，所以能被7整除。 例5. 求除以100的余数。 分析： 由此可见，除后两项外均能被100整除，而 故除以100的余数为81。 评注：利用二项式定理解决有关多项式的整除、余数问题，关键是将所给多项式中的幂通过恒等变形变为二项式形式，使幂的底数的两项中一项含有除式（或除式的因式），而另一项的绝对值较小，然后展开证明、求解。五. 求近似值 例6. 求精确到0.01的近似值。 分析：先将0.95化为二项代数和10.05，再利用二项式定理计算。 解： 又，而以后各项的绝对值更小。 从第4项起，均可忽略不计。 评注：利用二项式定理求近似值，先将底数化为一个整数与一个绝对值较小的数的代数和，再利用
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