北京朝阳区高一数学下学期期末考试

北京市朝阳区20182019学年度第二学期期末质量检测高一年级数学学科试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.直线 倾斜角的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.【详解】直线化成斜截式为，因为 ，所以.故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.2.在中，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理可得 ， 又 .故选A.【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法.注意增根的排除，大边对大角是常用排除方法.3.已知直线，若，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】根据直线垂直斜率之积为1求解.【详解】因为，所以，解得.故选B.【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，注意斜率不存在的情况.4.在正方体中，分别是棱的中点，则异面直线和所成角的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平移到，平移到，则与所求的角即为所求的角.【详解】如图所示，分别是棱的中点又，和所成的角为.故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角，常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】分析条件的特殊情况，结合定理举例推翻错误选项即可.【详解】当直线是相交且垂直，确定的平面与平行时，故A错误；当相交，直线与交线平行时，故B错误；当直线在面内，且，直线垂直的交线时，故C错误；垂直与同一直线的两个平面平行，故D正确.故选D.【点睛】本题考查空间线面的位置关系，结合定理与举例判断.6.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按，分组，绘制成频率分布直方图（如图）从身高在，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】先求，三组频率，再求各组频数，最后根据分层抽样总体与各层抽样比例相同求解.【详解】各组频率等于各组矩形的面积，所以，身高在，的频率分别为0.3，0.2，0.1，身高在，的频数分别为30，20，10，分层抽样的比例为 .所以，身高在内的学生中选取的人数为.故选A.【点睛】本题考查频率分布直方图与分层抽样，属于基础题.7.如图，设A，B两点在河的两岸，某测量者在A同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50米，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为（ ）A. 50 米B. 50米C. 25 米D. 米【答案】A【解析】【分析】先根据三角形内角和求，再根据正弦定理求解.【详解】在中，则由正弦定理得 ，所以 m.故选A.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.8.如图，在正方体中，是棱上的动点下列说法正确的是（ ）A. 对任意动点在平面内不存在与平面平行的直线B. 对任意动点在平面内存在与平面垂直的直线C. 当点从运动到的过程中，二面角的大小不变D. 当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大【答案】C【解析】【分析】不论是在任意位置，平面即平面，再求解.【详解】因为在平面内，且平行平面，故A错误；平面即平面，又平面与平面斜相交，所以在平面内不存在与平面垂直的直线，故B错误；平面即平面，平面与平面是确定平面，所以二面角不改变，故C正确；平面即平面，点到平面的距离为定值，故D错误.故选C.【点睛】本题考查空间线面关系，属于综合题.本题的关键在于平面的确定.9.2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.凸多面体顶点数棱数面数三棱柱695四棱柱8126五棱锥6106六棱锥7127根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ）A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】C【解析】【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解.【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为：棱数顶点数面数2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数128218.故选C.【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.10.已知二次函数交轴于两点(不重合)，交轴于点. 圆过三点.下列说法正确的是（ ） 圆心在直线上； 的取值范围是； 圆半径的最小值为； 存在定点，使得圆恒过点.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与轴有两个焦点可得的取值范围；假设圆方程为，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点.【详解】二次函数对称轴为，因为对称轴为线段的中垂线，所以圆心在直线上，故正确；因为二次函数与轴有两点不同交点，所以，即，故错误；不妨设在的左边，则， 设圆方程为 ，则 ，解得， ，因为，所以即，故错误；由上得圆方程为，即，恒过点，故正确.故选D.【点睛】本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11.某学校甲、乙两个班各15名学生参加环保知识竞赛，成绩的茎叶图如下：则这30名学生的最高成绩是_；由图中数据可得_班的平均成绩较高【答案】 (1). 96 (2). 乙【解析】【分析】最高成绩位的“茎”最大的“叶”上的最大数，再分析两个班的成绩主要集中在哪些“茎”上，比较这些“茎”的大小即可得出结果.【详解】由茎叶图可知，30名学生的最高成绩是96分，因为甲班的成绩集中在（60， 80）分，乙班的成绩集中在（70，80）分，故乙班的平均成绩较高。【点睛】本题主要考查对茎叶图的理解. 平均成绩决定于数据的集中区域与集中程度.12.在中，已知，则_【答案】3【解析】【分析】根据余弦定理求解.【详解】由余弦定理得： 即 解得或（舍去）【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.13.某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积是_【答案】6【解析】【分析】先作出几何体图形，再根据几何体的体积等于正方体的体积减去三棱柱的体积计算.【详解】几何体如图所示： 去掉的三棱柱的高为2，底面面积是正方体底面积的 ，所以三棱柱的体积： 所以几何体的体积：【点睛】本题考查三视图与几何体的体积.关键是作出几何体的图形，方法：先作出正方体的图形，再根据三视图“切”去多余部分.14.已知直线与圆交于两点，若，则_.【答案】【解析】分析】根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离： ，由得，解得.【点睛】本题考查直线与圆的应用.此题也可联立圆与直线方程，消元后用弦长公式求解.15.已知是两个不同平面，直线，给出下面三个论断： 以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题_.【答案】（答案不唯一，或）【解析】【分析】假设其中两个论断为条件，其余为结论，再根据线面关系的定理推断命题是否正确.【详解】为条件，为结论，证明如下：若，则内有一条直线与平行，若，则内必有两条相交直线与垂直，所以直线与直线垂直，所以，所以.【点睛】本题考查空间线面关系的证明，此题也可举例推翻错误命题.16.已知两条直线, 将圆及其内部划分成三个部分, 则的取值范围是_；若划分成的三个部分中有两部分的面积相等, 则的取值有_种可能.【答案】 (1). (2). 3【解析】【分析】易知直线过定点，再结合图形求解.【详解】依题意得直线过定点，如图： 若两直线将圆分成三个部分，则直线必须与圆相交于图中阴影部分.又，所以的取值范围是；当直线位于时，划分成的三个部分中有两部分的面积相等.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系的应用，直线的斜率，结合图形是此题的关键.三、解答题：本大题共4小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17.如图，在中，是的中点，的面积为.（）求的长；（）求的值；（）判断是否为锐角三角形，并说明理由.【答案】（）AB=4,AC=；（）；（）见解析【解析】【分析】（）先根据三角形面积公式求，再根据余弦定理求；（）根据正弦定理求解；（）根据勾股定理及三边关系判断【详解】（）由，得.因为是的中点，所以.在中，由余弦定理得.故.（）在中，由正弦定理，.所以. （）是锐角三角形.因为在中，.所以是最大边，故是最大角.且.所以为锐角.所以为锐角三角形.【点睛】本题考查正弦定理余弦定理在解三角形中的综合应用.判断三角形的形状也可用余弦定理求最大角的余弦值判断.18.某市从高二年级随机选取1000名学生，统计他们选修物理、化学、生物、政治、历史和地理六门课程（前3门为理科课程，后3门为文科课程）的情况，得到如下统计表，其中“”表示选课，“空白”表示未选科目方案 人数物理化学生物政治历史地理一220二200三180四175五135六90（）在这1000名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，求该学生选修政治的概率； （）在这1000名学生中，从选择方案一、二、三的学生中各选取2名学生，如果在这6名学生中随机选取2名，求这2名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目的概率；（）利用表中数据估计该市选课偏文（即选修至少两门文科课程）的学生人数多还是偏理（即选修至少两门理科课程）的学生人数多，并说明理由.【答案】（）；（）；（）该市选课偏理的学生人数多【解析】【分析】（）根据古典概型公式求解；（）列出所有的情况，根据古典概型公式求解；（）根据样本频率估计概率判断.【详解】（）设事件 为“在这名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，该学生选修政治”.在这名学生中，选修物理的学生人数为， 其中选修政治的学生人数为，所以.故在这名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，该学生选修政治的概率为. （）设这六名学生分别为A1,A2,B1,B2,C1,C2，其中A1,A2选择方案一，B1,B2选择方案二，C1,C2选择方案三.从这6名学生中随机选取2名，所有可能的选取方式为：A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共有种选取方式.记事件为“这2名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目”.在种选取方式中，这2名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目的选取方式有A1A2，B1B2，C1C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，A1C1，A1C2，A2C1，A2C2，共11种，因此.（）在选取的1000名学生中，选修至少两门理科课程的人数为人， 频率为.选修至少两门文科课程的人数为人， 频率为.从上述数据估计该市选课偏理的学生人数多.【点睛】本题考查统计与概率，属于综合题.概率的计算首先要识别是哪种概型，再根据相关计算公式求解.19.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，（）求证：平面；（）求证：平面； （）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析【解析】【分析】（）转化为证明；（）转化为证明，；（）根据线面平行的性质定理.【详解】（）因为四边形为正方形，所以，由于平面，平面，所以平面.（）因为四边形为正方形，所以.平面平面，平面平面，所以平面.所以.取中点，连接.由，可得四边形为正方形.所以.所以.所以.因为，所以平面. （）存在，当为的中点时，平面，此时. 证明如下：连接交于点，由于四边形为正方形，所以是的中点，同时也是的中点.因为，又四边形为正方形， 所以，连接，所以四边形为平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面. 【点睛】本题考查空间线面的关系.线面关系的证明要紧扣判定定理，转化为线线关系的证明.20.在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切.（）求圆的方程及的值；（）若直线与圆相交于两点，且，求的值；（）在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）, ；（）；（）见解析【解析】【分析】（）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径求解；（）用坐标表示向量积，再联立直线与圆方程，消元代入向量积求解；（）假设A、P的坐标，根据两点距离公式与建立等式，再根据A、P分别满足直线和圆的方程化简等式，最后根据等式恒成立的条件求解.【详解】（）由于圆与线