吉林东北师范大学附属中学高中数学4.1.5第五讲圆内接四边形教案新人教选修4

第五讲 圆内接四边形教学目标知识与技能：圆内接四边形的性质定理与判定定理.过程与方法：用运动变化的思想，从圆内接四边形运动到极端情形（有两个顶点重合），由“圆内接四边形的外角等于它的内对角”猜想“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”；获得猜想后，应用分类思想，把弦切角分为三类（以弦过圆心为分界点），先证明弦过圆心时命题成立，再把其他两种情形化归为弦过圆心时的情形。可以看到，在弦切角定理的内容展开过程中，渗透和明确了运动变化思想、特殊化思想、分类讨论思想、化归思想。情感态度价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点圆内接四边形的性质定理与判定定理教学难点圆内接四边形的性质定理与判定定理课时3课时一基础知识回顾1、如图15-61，A、B、C三点都在O上，点D是AB延长线上一点，AOC=140，CBD的度数为（ ）A40 B50C70 D110答案:C.2、如图15-62，BC是O的直径，则BAECBD= 答案:90.3、如图15-63，BAC=50，则DE= 答案:230.4、在圆内接四边形ABCD中，ABC=524，则D= ；若AC=72，B比D大30，则A= ，D= CDBA图15-63EOCOEBA图15-62DCODBA图15-61答案:140,140,75.二典型例题讲解例1如图15-64，1和O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D.经过点B的直线EF与O1交于点E，与O2交于点FO2O1FEDCBA图15-64求证：CEDF分析：要证明CEDF，只要证明EF=180或CD=180证明：连结AB ABEC是O1的内接四边形， BAD=E ADFB是O2的内接四边形， BADF=180 EF=180 CEDF评析：本题通过连结两圆的公共弦AB，在两圆中同时出现了圆内接四边形，利用圆内接四边形的性质使问题得以解决.本题还可以再通过延长EF（或FD）来证明CEDF如图，若该题再作如下两种图形上的变化，结论CEDF依然成立O1O2DABCEFACDBEFO1O2例如图15-66，设ABC为锐角三角形，高BE与以AC为直径的圆交于点P，Q，高CF与以AB为直径的圆交于点M，N，求证：P，M，Q，N四点共圆分析：要证明P，M，Q，N四点共圆，就是要证明四边形PMQN的对角互补或两个顶点对一条线段的张角相等证明：连结PN，PM，MQ 设ABC的高交于点H，则BC边上的高AD过点HADC=90，AFC=90，CBADNFQPEM图15-65H D，F都在以AC为直径的圆上 AD与PQ相交于点H， HPHQ=HAHD同理可得：HMHN= HAHD HPHQ= HMHN PHN=MHQ， PHNMHQ HNP=HQM 即MNP=PQM P，M，Q，N四点共圆评析：事实上，本题的证明中得到HPHQ= HMHN后就可以得到P，M，Q，N四点共圆这是圆幂定理的逆定理这个逆定理也可以用来判定四点共圆例3如图15-65，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交ABC的外接圆于点F，连结FB、FC（1）求证：FB=FC；（2）求证：FB2=FAFD；（3）若AB是ABC外接圆的直径，EAC=120，BC=6cm，求AD的长分析：要证明FB=FC，就是证明ABC是等腰三角形，即证明FBC=FCB解：（1）AD平分EAC， FEDCBA图15-66EAD=DAC 四边形AFBC内接于圆， DAC=FBC EAD=FAB=FCB， FBC=FCB FB=FC（2）FAB=FCB=FBC ，AFB=BFD， FBAFDB FB2=FAFD（3）AB是圆的直径， ACB=90 EAC=120， DAC=EAC=60，BAC=60D=30 BC= 6， AC= AD=2AC= 4cm评析：图中FB与FC在同一个三角形中，因此可以通过圆内接四边形的性质和同弧所对的圆周角证明角相等.将第（2）题中的乘积式转化为比例式不难发现只需证明FBAFDB即得第（3）问实际上是解一个直角三角形三精选试题演练PACBD图15-671、四边形ABCD内接于O，若ABCD=234m，则m= ；这个四边形的最大内角是 ，最小内角是 答案:3，120，60.2.如图15-67已知P是圆外一点，直线PB、PD分别与圆交于点A、B和C、D，若AC=3，BD=5，PD=10，则PA= 答案:6.3、如图15-68，四边形ABCD内接于O，CEBD，与AB的延长线交于点E图15-68DECBAO求证：提示：连结AC，证ADCCBE；ABCDE图15-694、如图15-69，AD是ABC外角EAC的平分线，AD与三角形的外接圆交于点D求证：DB=DC提示：证DBC=DCB；5、如图15-70，ABC内接于O，ABAC，BAC外角的平分线交O于E，EFAB，垂足为F，求证：ABAC=2AF提示：在BA上截取BG=CA，连结EB、EC、EG，证EBGECA，可得EG=EA，从而有AG=2AF，即ABAC=2AF；FEABC图15-70O6、如图15-71，已知ABC内接于O，弦AB的垂直平分线与AC、AB分别交于点D、E，与O交于F、G，与BC的延长线交于点H求证：（1）CG平分ACH；（2）ODDH=ADDC提示：连结OA、AG、GB，（1）ACG=ABG=BAG=GCH，CG平分ACH；FEDCBA图15-71GHO（2）证AODHCD；PDCBA图15-72O7、如图15-72，已知O是等边ABC的外接圆，P是BC上的点，CP、AB的延长线交于点D，求证：（1）D=CBP；（2）AC2=CPCD提示：连结AP，（1）证D=CAP=CBP；（2）证CAPCDA；8、如图15-73，（1）ABCD为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E，F，AED，AFB的角平分线交于M，求证：EMFM；（2）在四边形ABCD中，AB，DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点F，AED，AFB的角平分线交于M，且EMFM，求证：四边形ABCD内接于圆OCBA图15-73FEGH提示：（1）设ED与HF交于点K，证明EH=EK；（2）证ABCD=180；DM9、如图15-74，设AB，CD是O的两条弦，且AB过CD的中点M，CP，DP均为O的切线，求证：PO平分APB提示：连结OA、OBPO过CD的中点，O，C，D，P四点共圆，OMMP=MCMD=MAMB，O，P，A，B四点共圆，OAB=OPB，OB