1-5 线性空间的同构.ppt

,哈尔滨工程大学理学院矩阵论教学团队,DepartmentofMathematics,CollegeofSciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材,矩阵论教程国防工业出版社2012,其他辅导类参考书（自选）,课程要求,作业要求,矩阵论网站,授课预计(8学时),第一章线性空间与线性映射,线性空间,线性子空间,线性映射与线性变换,线性变换的不变子空间,线性空间的同构,教学内容和基本要求,2,掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；,3,理解线性映射及线性变换的概念，掌握线性映射及变换的矩阵表示。掌握线性映射的值域、核等概念.,重点:线性空间的概念；子空间的维数定理；线性映射及线性变换;不变子空间难点:基变换与坐标变换;不变子空间,4,理解线性变换的不变子空间得相关概念和性质,1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；,线性空间是解析几何和线性代数中向量概念的抽象化。本章将给出线性映射和线性变换的概念与性质，同时也建立了矩阵和线性映射及线性变换之间的一种关系,线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的回顾和延伸。,线性空间的同构,1.5,我们知道，在数域F上的n维线性空间V中取定一组基后，V中每一个向量有唯一确定的坐标:,向量的坐标是F上的n元数组，因此属于,这样一来，取定了V的一组基,反过来，对于中的任一元素是V中唯一确定的元素，并且:,即也是满射.,因此，是V到的一一对应.,这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.,设都是数域F上的线性空间，如果映射,具有以下性质：,则称的一个同构映射，并称线性空间,同构，记作,ii),iii),i)为双射,定义,为V的一组基，则前面V到的一一对应,例1.V为数域F上的n维线性空间，,这里为在基下的坐标,就是一个V到的同构映射，所以,定理1,数域F上任一n维线性空间都与Fn同构.,同构映射，则有：,设是数域F上的线性空间，的,同构映射的性质,中分别取,证：在同构映射定义的条件iii),即得,线性相关（线性无关）.,V中向量组线性相关（线性无关）,的充要条件是它们的象,证因为由,可得,反过来，由,可得,而是一一对应，只有,所以可得,的逆映射为的同构映射.,证设为V中任意一组基.,由2，3知，为的一组基.,所以,任取,I为恒等变换.,证首先是11对应，并且,由于是同构映射，有,同理，有,所以，为的同构映射.,再由是单射，有,是的子空间，且,若W是V的子空间，则W在下的象集,证首先，,使,于是有,由于W为子空间，所以,从而有,所以是的子空间.,显然，也为W到的同构映射，即,两个同构映射的乘积还是同构映射.,证：设为线性空间的同构,映射，则乘积是的11对应.,所以，乘积是的同构映射.,同构关系具有：,反身性：,对称性：,传递性：,定理2,证：,若由性质2之4）即得,若,有,例2、把复数域看成实数域R上的线性空间，,证法一：证维数相等,证明：,首先，可表成,其次，若则,所以，1，i为C的一组基，,又，,所以，,故，,证法二：构造同构映射,则为C到R2的一个同构映射.,作对应,作成实数域R上的线性空间.,把实数域R看成是自身上的线性空间.,例3、全体正实数R+关于加法与数量乘法：,证明：并写出一个同构映射.,证：作对应,易证为