北京昌平区高三数学上学期期末质量检测理

北京市昌平区2019届高三数学上学期期末质量检测试题 理本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）若集合，则A B C D是否结束开始， 输出（2）设满足 那么的最大值为 A B C D（3）右图是一个算法流程图，则输出的的值为A B C D（4）设是单位向量，是非零向量，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件（5）设分别为直线（为参数）和曲线：（为参数）上的点，则的最小值为A BCD （6）数列是等差数列 ，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则A + B C+ D（7）九章算术是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示,一斛米的体积约为立方尺，由此估算出堆放的米约有A斛 B斛 C斛 D斛（8）设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的值可以是A B C D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知复数满足（是虚数单位），则复数的共轭复数 _.（10）已知点为抛物线的焦点，则点坐标为_；若双曲线（）的一个焦点与点重合，则该双曲线的渐近线方程是 （11）已知展开式中的系数为，则实数的值为 . （12）能说明“若点与点在直线的同侧，则”是假命题的一个点的坐标为_.（13）已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数的最大值是_ （14）已知函数其中且 （i）当时，若，则实数的取值范围是_; (ii) 若存在实数使得方程有两个实根，则实数的取值范围是_.三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（15）（本小题满分13分）若的面积为,，且为锐角.() 求的值；() 求的值.（16）（本小题满分14分）如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面， . () 求证：;() 求直线与平面所成角的正弦值;() 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（17）（本小题满分13分） 某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：汽车型号 I II III IV V回访客户（人数） 250 100 200 700 350满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.()从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；()从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；()用 “”, “”, “”, “”, “”分别表示I, II, III, IV, V型号汽车让客户满意， “”, “”, “”, “”, “” 分别表示I, II, III, IV, V型号汽车让客户不满意.写出方差的大小关系.（18）（本小题满分13分）已知椭圆过点 ，离心率为.记椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点.（）求椭圆的标准方程；（）若线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.（19）（本小题满分13分）已知函数()若，求曲线在点处的切线方程；()若恒成立，求实数的取值范围(20) （本小题满分14分）已知集合，,对于数列，且对于任意，有记为数列的前项和.()写出，的值；()数列中，对于任意，存在，使，求数列的通项公式；()数列中，对于任意，存在，有.求使得成立的的最小值昌平区20182019学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准（理科） 2019.1一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)题号 1 2 3 4 5 6 78答案ADBC BCAB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 10.； 11. 12. （答案不唯一） 13. 14. ；三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（15）（本小题满分13分）解: 因为的面积为,所以 ，所以 因为 中，为锐角，所以. 6分（II）在中，由余弦定理，所以 由正弦定理 , 所以 .所以. 13分（16）（本小题满分14分）证明：() 在五面体中，因为四边形是矩形， 所以.因为,所以.因为 所以. 4分() 取的中点，的中点,连接因为四边形是矩形,所以.因为,是的中点，所以,且.因为平面平面，平面平面， 所以平面.如图，建立空间直角坐标系,依题意得.所以，平面的法向量为.设直线与平面所成角为，则,所以直线与平面所成角的正弦值为. 9分() 由 得.设平面的法向量为，则有即 令则.因为平面的法向量为,所以.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 14分（17）（本小题满分13分）解：（）由题意知，样本中的回访客户的总数是，满意的客户人数，故所求概率为 4分（）.设事件为“从I型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，事件为“从V型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且、为独立事件.根据题意，估计为0.5，估计为0.2 .则; ; .的分布列为的期望 . 11分（） 13分（18）（本小题满分13分）解：（）由题意可知 解得 故椭圆的标准方程为 . 5分（）依题意，直线的方程为.联立方程组消去并整理得.,设、，故，,设的中点为，则.因为线段的垂直平分线与轴交于点， 当时，那么； 当时，即 .解得因为所以，即.综上，的取值范围为. 13分（19）（本小题满分13分）解：函数的定义域为.（I）时，,，且.所以曲线在点处的切线方程为 ，即. 5分（II）若恒成立，即恒成立设，只要即可；当时，令，得.变化情况如下表：极大值所以，故满足题意.当时，令，得（舍）或；变化情况如下表：极大值所以，令，得.当时，存在满足，所以不能恒成立，所以不满足题意.综上，实数的取值范围为. 13分（20）（本小题满分14分）解：（I），.因为，且对于任意，所以. 4分（II）对于任意，有，所以对于任意，有，即数列为单调递增数列.因为对于任意，存在，使，所以因为，所以对于任意，有，所以，当时，有，即，所以当时，有，所以.又，数列的通项公式为：. 10分（II