19872014年考研数学试题答案及评分参考1999VIP

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 1 页 1999 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（一）学（一） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 3 1 tan 11 lim 2 0 xxx x . (2) 2 2 0 sin)sin(xdttx dx d x . (3) 微分方程 2 4 x yye的通解为y 22 1212 1 () 4 xx cecx eCC 其中 ，为任意常数. (4) 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 1 ,0,0 n n 个 ，. (5) 设两两相互独立的三事件 A，B 和 C 满足条件：ABC=，P(A)=P(B) P(C) 2 1 ， 且已知 9 () 16 P AB ，则 P(A) 1 4 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设( )f x是连续函数，( )F x是( )f x的原函数， 则 (A) (A) 当( )f x是奇函数时，( )F x必是偶函数 (B) 当( )f x是偶函数时，( )F x必是奇函数 (C) 当( )f x是是周期函数时，( )F x必是周期函数 (D) 当( )f x是单调增函数时，( )F x必是单调增函数. (2) 设( )f x 2 1 cos 0 ( )0 x x x x g xx ，其中( )g x是有界函数，则( )f x在0 x 处 （D） (A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导 (D)可导 (3) 设 12/122 2/10 )( xx xx xf， 0 1 ( )cos 2 n n a S xan x ，x， 其中 1 0 ), 2 , 1 , 0(cos)(2nxdxnxfan，则) 2 5 (s等于 (C) (A) 2 1 (B) 2 1 (C) 4 3 (D) 4 3 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 2 页 (4) 设 A 是m n矩阵，B 是n m矩阵，则 (B) (A) 当mn时，必有行列式|AB|0 (B) 当mn时，必有行列式|AB| = 0 (C) 当nm时，必有行列式|AB|0 (D) 当nm时，必有行列式|AB| = 0 (5) 设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从(0,1)N和(1,1)N,则 (B) (A) 1 (0) 2 P XY (B) 1 (1) 2 P XY (C) 1 (0) 2 P XY (D) 1 (1) 2 P XY 三、三、(本题满分本题满分 5 分分) 设( )yy x,( )zz x是方程)(yxxfz和( , , )0F x y z 所确定的函数，其中f和 F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 dx dz . 解：解：分别在()( , , )0zxf xyF x y z和的两端对x求导，得 (1)2 03 xyz dzdy fxf dxdx dydz FFF dxdx 分 分 整理后得 yzx dydz xffxf dxdx dydz FFF dxdx . 由此解得 () (0) yx yz yz fxfFxf F dz Fx f F dxFxf F . 5 分 （注：注：不写出条件0 yz Fx f F不扣分）. 四、四、(本题满分本题满分 5 分分) 求dyaxyedxyxbyeI x L x )cos()(sin(，其中, a b为正的常数，L为从点 (2 ,0)Aa沿曲线 y= 2 2xax到点(0,0)O的弧. 解一：解一：添加从点(0,0)O沿0y 到点(2 ,0)Aa的有向直线段 1 L， 1 (sin()(cos) xx L L Ieyb xy dxeyax dy 1 (sin()(cos) xx L eyb xy dxeyax dy 1 分 由格林公式，前一部分 2 1 ()() 2 D Iba dxdya ba , 3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 3 页 其中D为 1 LL所围成的半区域. 直接计算后一积分可得 2 2 2 0 ()2 a Ibx dxa b . 4 分 从而 2223 12 ()2(2) 222 IIIa baa ba ba . 5 分 解二：解二：(sin()(cos) xx L Ieyb xy dxeyax dy sincos() xx LL eydxeydyb xy dxaxdy . 1 分 前一部分与路径无关，所以 (0,0) (2 ,0) sincossin|0 xxx a Le ydxeydyey . 2 分 对后一部分，取L的参数方程： cos sin xaat yat ，0t从 到，得 () Lb x y dxaxdy 2222332 0 (sinsin cossincoscos)a bta btta btatat dt 223 11 2 22 a ba ba . 4 分 从而 23 (2) 22 Ia ba . 5 分 五、五、(本题满分本题满分 6 分分) 设函数( )y x(0)x 二阶可导且,1)0(, 0)(yxy，过曲线( )yy x上任意一点 ( , )P x y作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为 1 s， 区间0, x上以( )yy x为曲边的曲边梯形面积记为 2 s，并设 21 2ss 恒为 1，求此曲线 ( )yy x的方程. 解：解：曲线( )yy x上在点( , )P x y处的切线方程为( )()Yyy x Xx. 它与x轴的交点为(,0) y x y .由于( )0, (0)1y xy，从而( )0y x ， 于是 2 1 1 () 22 yy Sy xx yy . 又 2 0 ( ) x Sy t dt，由条件 12 21SS知 2 0 ( )1 x y y t dt y （*） 2 分 两边对x求导并化简得 2 ( )yyy. 3 分 令p y ，则上述方程可化为 2 dp ypp dy ，从而 dpdy py . 解得 1 pC y，即 1 dy C y dx ，于是 12 C x C ye . 5 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 4 页 注意到(0)1y，并由（*）式得(0)1 y .由此可得 12 1,0CC， 故所求曲线的方程是 x ye. 6 分 六、六、(本题满分本题满分 6 分分) 试证：当0 x 时， 22 ) 1(ln) 1(xxx. 证证一：一：令 22 ( )(1)ln(1)xxxx，知(1)0. 由于 1 ( )2 ln2,(1)0 xxxx x . 2 1 ( )2ln1,(1)20 xx x . 3 3 2(1) ( ) x x x . 3 分 所以当01x时，( )0 x；当1x 时，( )0 x， 从而推知当(0,)x时( )0 x. 4 分 由(1)0推知当01x时，( )0 x；当1x 时，( )0 x. 5 分 再由(1)0推知当0 x 时 22 (1)ln(1)xxx. 6 分 证证二：二：令 1 ( )ln 1 x xx x ，有 2 22 121 ( )0 (1)(1) x x xxx x ， （当0 x ）. 3 分 因(1)0，所以当01x时，( )0 x，当1x 时，( )0 x. 5 分 于是当0 x 时 222 (1) ( )(1)ln(1)0 xxxxx.即 22 (1)ln(1)xxx. 6 分 （注：注：也可令( )(1)ln(1)xxxx来处理.） 七、七、(本题满分本题满分 7 分分) 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出 井口（见图） ，已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米 50 牛，抓 斗抓起的污泥重 2000 牛，提升速度为 3m/s，在提升的过程中，污 泥以 20 牛/秒的速率从缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井 口，问克服重力需做多少焦耳的功？ （说明： 1N 1m =1J；m，N，s，J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳； 抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计） 解：解： 作x轴如图所示， 将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功 123 wwww.其中 1 w是 克服抓斗自重所做的功； 2 w是克服缆绳重力所做的功； 3 w为提升污泥所做的功. 由题意知 1 400 30 12000w . 1 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 5 页 将抓斗由x处提升到xdx处，克服缆绳重力所做的功为 2 50(30)dwx dx， 从而 30 2 0 50(30)22500wx dx . 3 分 在时间间隔 ,t tdt内提升污泥需所做功为 3 3(2000 20 )dwt dt， 4 分 将污泥从井底提升至井口共需时间 30 10 3 ，故 10 3 0 3(200020 )57000wt dt . 5 分 因此，共需做功12000225005700091500w（J）. 6 分 八、八、(本题满分本题满分 7 分分) 设S为椭球面 1 22 2 22 z yx 的上半部分，点( , , )P x y zS，为S在点P处的切 平面，),(zyx为点(0,0,0)O到平面的距离，求. ( , , ) S zdS x y z . 解：解：设(, ,)X Y X为上任意一点，则的方程为1 22 xXyY zZ， 1 分 从而知 122 2 2 ( , , )() 44 xy x y zz . 3 分 由 22 1 22 xy z ，有 2222 , 2 12 1 2222 zxzy xy xyxy . 4 分 2 2 22 22 4 1 2 1 22 xyzz dSd xy xy ， 5 分 所以 22 222 00 113 (4)(4) ( , , )442 SD zdS xyddrrdr x y z . 7 分 九、九、(本题满分本题满分 7 分分) 设 4 0 tann n axdx ， (1) 求 2 1 1 () nn n aa n 的值； (2) 试证：对任意的常数0，级数 1 n n a n 收敛. 证：证：(1) 因 2 4 2 0 11 ()tan(1 tan) n nn aaxx dx nn 1 分 1 2 4 00 111 tan tansec (1) nnxt xxdxt dt nnn n ， 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 6 页 故 2 11 111 ()1 (1)1 nn nii ii Saa ii in . 所以 2 1 1 ()lim1 nnn n n aaS n . 4 分 (2) 因 1 4 2 00 tan tan 1 n n n t xt axdxdt t ， 5 分 1 0 1 1 n t dt n 6 分 所以 1 11 (1) n a nnnn ，故由1 1 知 1 1 1 n n 收敛，从而 1 n n a n 收敛. 7 分 十、十、(本题满分本题满分 8 分分) 设矩阵A 1 53 10 ac b ca ，其行列式1A ，又A的伴随矩阵 * A有一个特征值 0 ，属于 0 的一个特征向量为( 1,1,1)T ，求cba,和 0 的值. 解：解：根据题设可得 * |AAA EE, 1 分 和 * 0 A 2 分 于是 * 00 AAAA.又 * AAE ,所以 0A , 即 0 111 5311 1011 ac b ca , 4 分 由此可得 0 0 0 (1)1(1) ( 53)1(2) ( 1)1(3) ac b ca ，由(1)和(3)，解得 0 1. 5 分 将 0 1代入(2)和(1)，得3,bac . 由|1A 和ac,有 1 53331 10 aa a aa ,故2ac. 因此 0 2,3,2,1abc. 8 分 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m n实矩阵， T B为B的转置矩阵， 试证： T B AB 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 7 页 为正定矩阵的充分必要条件是B的秩( )r Bn. 证：证： 必要性.设 T B AB为正定矩阵， 则对任意的实n维列向量0 x ,有()0 TT xB AB x ， 即()()0 T BxA Bx ，于是0Bx . 2 分 因此0Bx 只有零解. 从而( )r Bn. 3 分 充分性. 因() TTTTT B ABB A BB AB，故 T B AB为实对称矩阵. 若( )r Bn，则线性方程组0Bx 只有零解. 从而对任意的实n维列向量0 x ,有0Bx . 4 分 又A为正定矩阵，所以对于0Bx ，有()()0 T BxA Bx . 于是当0 x 时，()0 TT xB AB x ，故 T B AB为正定矩阵. 6 分 十二、十二、(本题满分本题满分 8 分分) 设随机变量 X 和 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于 X 和 关于 Y 的边缘分布中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处. Y X 1 y 2 y 3 y ii pxXP 1 x 1 8 2 x 1 8 jj pyYP 1 6 1 解：解： Y X 1 y 2 y 3 y ii pxXP 1 x 1 24 1 8 1 12 1 4 2 x 1 8 3 8 1 4 3 4 jj pyYP 1 6 1 2 1 3 1 注注：每个正确答数给 1 分. 十三、十三、(本题满分本题满分 6 分分) 设总体X的概率密度为( )f x 2 3 6 ( , ),0 0 x xx 其他 ， 12 , n XXX是取自总体 X 的简单随机样本. (1) 求的矩估计量； (2) 求的方差 ( )D 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 8 页 解：解：(1) 2 3 0 6 ()( )() 2 x E Xxf x dxx dx . 2 分 记 1 1 n i i XX n ，令 2 X ，得的矩估计量为2X. 3 分 (2) 由于 32 22 3 0 66 ()( )() 20 x E Xx f x dxx dx , 22 222 6 () ()( ) 20220 DXE XE X , 5 分 所以2X的方差为 2 4 ( )(2)4 ()() 5 DDXD XD X nn . 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 9 页 数数 学（二）学（二） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 曲线 tey tex t t cos 2sin 在点（0，1）处的法线方程为 012 xy. (2) 设函数( )yy x由方程xyxyxsin)ln( 32 确定，则.1 0 x dx dy (3) 2 2 513 ln(613)4arctanC (C) 61322 xx dxxx xx 为任意常数. (4) 函数 2 2 1 x y x 在区间 13 , 22 上的平均值为 3 1 12 . (5) 【 同数学一 第一、 （3）题 】 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 【 同数学一 第二、 （2）题 】 (2) 设 15 sin 0 0 sin ( ),( )(1) x x t t xdtxtdt t ，则当0 x 时，( )x是( )x的 (C) (A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷 (3) 【 同数学一 第二、 （1）题 】 (4) “对任意给定的1 , 0总存在正整数 N， 当Nn 时， 恒有2axn” 是数列 n x 收敛于a的 （C） (A) 充分条件但非必要条件. (B) 必要但非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (5) 记行列式 3475344 53542333 32221222 3212 xxxx xxxx xxxx xxxx 为)(xf， 则方程0)(xf的根的个数为 (B) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 10 页 三、三、(本题满分本题满分 5 分分) 计算 2 0 1tan1 sin lim ln(1) x xx xxx . 解：解：原式 0 tansin1 lim ln(1)1tan1 sin x xx xxxxx 0 11 cos lim 2ln(1) x x xx 3 分 0 1sin1 lim 22 1 x x x x . 5 分 四、四、(本题满分本题满分 6 分分) 计算 2 1 arctanx dx x . 解：解：原式 2 1 11 111 arctanarctan (1) xdxdx xxxx 2 分 2 2 1 111 limlim lnln(1)ln2 41422 bb x dxbb xx 2 1 ln2lim ln 42 1 b b b 4 分 1 ln2 42 . 6 分 五、五、(本题满分本题满分 7 分分) 求初值问题 22 1 ()(0) 0 x yxydxxdyx y 的解. 解：解：原方程可化为 22 yxydy dxx ， 1 分 令yxu，得 2 分 2 1 du uxuu dx ， 3 分 即 2 1 dudx x u . 4 分 解得 2 ln(1)ln()uuCx，其中0C 为任意常数， 5 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 11 页 从而 2 1uuCx，即 2 2 1 yy Cx xx ，亦即 222 yxyCx. 6 分 将 1 |0 x y 代入,得1C ,故初值问题的解为 222 yxyx,化简得 2 11 22 yx.7 分 注注:不化简不扣分. 六、六、(本题满分本题满分 7 分分)【 同数学一 第七题 分值不同 】 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 已知函数 3 2 (1) x y x ，求： (1) 函数的增减区间及极值； (2) 函数图形的凹凸区间及拐点； (3) 函数图形的渐进线. 解：解：所给函数的定义域为(,1)(1,). 2 3 (3) (1) xx y x ，令0y ，得驻点03xx及. 1 分 4 6 (1) x y x ，令0y ，得0 x . 2 分 列表讨论如下： x (,0) 0 (0,1) (1,3) 3 (3,) y 0 0 y 0 y 拐点 极小值 由此可知：(1) 函数的单调增加区间为(,1)(3,)和，单调减少区间为(1,3)； 3 分 极小值为 3 27 | 4 x y . 4 分 (2) 函数图形在区间(,0)内是（向上）凸的，在区间(0,1)，(1, )内是（向上）凹 的，拐点为点(0,0). 6 分 (3) 由 3 2 1 lim (1) x x x 知，1x 是函数图形的铅直渐近线； 7 分 又 2 2 limlim1 (1) xx yx xx ， 3 2 lim()lim2 (1) xx x yxx x . 故2yx是函数图形的斜渐近线. 8 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 设函数)(xf在闭区间 1,1上具有三阶连续导数，( 1)0f ，1) 1 (f，0)0( f ， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 12 页 证明：在开区间( 1,1)内至少存在一点，使得3)( f. 证：证：由麦克劳林公式得 23 11 ( )(0)(0)(0)( ) 2!3! f xffxfxfx，其中介 于0 x与之间， 1,1x . 1 分 分别令11xx 和，并结合已知条件，得 11 11 0( 1)(0)(0)( ), 10 26 ffff ， 22 11 1(1)(0)(0)(),01 26 ffff， 4 分 两式相减，可得 12 ( )()6ff. 5 分 由( )fx的连续性，( )fx在闭区间 12 , 上有最大值和最小值， 设它们分别为Mm和， 则有 12 1 ( )() 2 mffM. 6 分 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点 12 ,( 1,1) ，使 12 1 ( )( )()3 2 fff. 8 分 九、九、(本题满分本题满分 8 分分)【 同数学一 第五题 分值不同 】 十、十、(本题满分本题满分 7 分分) 设)(xf是区间, 0上单调减少且非负的连续函数，dxxfkfa n n k n 1 1 )()(， 1,2,n，证明：数列 n a的极限存在. 解：解：由题设可得 1 (1)( )( )(1,2) k k f kf x dxf kk ， 2 分 因此 1 1 1 ( )( )0 n k k k f kf x dxf . 5 分 即数列 n a有下界. 又 1 1 (1)( )0 n nn n aaf nf x dx . 即数列 n a单调下降，故由 单调有界数列必有极限的准则知数列 n a的极限存在. 7 分 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设矩阵 111 111 111 A ，矩阵X满足XAXA2 1* ，其中 * A是A的伴随矩阵， 求矩阵X. 解解：由原等式得 *1 (2 )AE XA，其中E是 3 阶单位矩阵，用矩阵 A 左乘等式两端， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 13 页 得(|2 )A EA XE，可见(|2 )A EA可逆，从而 1 (|2 )XA EA . 3 分 由于 111 |1114 111 A ， 111 |22111 111 A EA ， 4 分 故 1 111110 11 111011 24 111101 X . 6 分 十二、十二、(本题满分本题满分 8 分分) 设向量组 12 (1,1,1,3) ,( 1, 3,5,1) , TT 3 (3,2, 1,2) , T p 4 ( 2, 6,10, )Tp ， (1)p为何值时,该向量组线性无关？并在此时将向量(4,1,6,10)T用 1234 , 线性 表出； (2)p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组. 解：解：对矩阵 1234 , 做初等行变换： 1132 411324 1326 102143 15110 6064122 3121004762pppp 11324 02143 00101 0002 1pp 3 分 (1) 当2p 时，向量组 1234 , 线性无关. 此时设 11223344 xxxx， 解得 1234 341 2,1, 22 pp xxxx pp . 6 分 (2) 当2p 时,向量组 1234 , 线性相关. 此时向量组的秩等于 3. 123 , （或 134 , ）为其一个极大线性无关组. 8 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 14 页 数数 学（三）学（三） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设)(xf有一个原函数 x xsin ，则1 4 )( 2 dxxf x. (2) 1 1 1 ( )4 2 n n n . (3) 设A 101 020 101 ，而2n为正整数，则 1 2 nn AAO. (4) 在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 )2 . 0,( 2 aN，若以 n X表示 n 次称量结果的算术平均值，则为使95. 01 . 0aXP n ， n的最小值应不小于自然数 16 . (5) 设随机变量,1,2, ;2 i j Xi jn n独立同分布，2 ij EX，则行列式 Y 11121 21222 12 . . . . n n nnnn XXX XXX XXX 的数学期望EY 0 . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 【 同数学一 第二、 （1）题 】 (2) 设),(yxf连续，且( , )( , ) D f x yxyf u v dudv，其中 D 是由1, 0 2 xxyy所 围成的区域，则),(yxf等于 （C） (A) xy (B) xy2 (C) 8 1 xy (D) 1xy. (3) 设向量可由向量组 12 , m 线性表示，但不能由向量组(I)： 121 , m 线 性表示，记向量组(II)： 121 , m ，则 (B) (A) m 不能由(I)线性表示，也不能由(II)线性表示 (B) m 不能由(I)线性表示，但可由(II)线性表示 (C) m 可由(I)线性表示，也可由(II)线性表示 (D) m 可由(I)线性表示，但不可由(II)线性表示 (4) 设,A B均为 n 阶矩阵， 且A与B相似，E为n阶单位矩阵， 则 (D) 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 15 页 (A) EAEB (B) A与B有相同的特征值和特征向量 (C) A与B都相似于一个对角矩阵 (D) 对于任意常数t，AtE 与BtE 相似. (5) 设随机变量 i X)2, 1( 4 1 2 1 4 1 101 i， 且满足10 21 XXP， 则 21 XXP 等于 (A) (A) 0 (B) 4 1 (C) 2 1 (D) 1 三、三、(本题满本题满 6 分分) 曲线 x y 1 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形, 记切点的横坐标为，试求切线方程 和这个图形的面积，当切线沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？ 解：解：由 1 y x ，得 3 2 1 2 yx ， 则切点 1 ( ,)P a a 处的切线方程为 3 11 () 2 yxa a a . 2 分 切线与x轴和y轴的交点分别为 3 (3 ,0)(0,) 2 QaR a 和 . 3 分 于是，ORQ的面积 139 3 242 Saa a . 4 分 当切点按x轴正方向趋于无穷远时，有lim a S . 5 分 当切点按y轴正方向趋于无穷远时，有 0 lim0 a S . 6 分 四、四、(本题满分本题满分 7 分分) 计算二重积分 D ydxdy ， 其中 D 是由直线2,0,xy 2y 以及曲线 2 2yyx 所为成的平面区域. 解一：解一：区域 1 DD和如图所示， 有 11 DD DD ydxdyydxdyydxdy ， 1 02 20 4 D D ydxdydxydy . 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 16 页 在极坐标系下，有 1 ( , )|02sin , 2 Drr . 因此 1 2sin 4 0 22 8 sinsin 3 D ydxdydrrdrd 4 分 2 81 cos4 1 2cos2 3 422 d . 6 分 于是 4 2 D ydxdy . 7 分 解二：解二：如图所示， 2 ( , )| 22,02Dx yxyyy . 1 分 D ydxdy 2 22 02 x x ydydx 222 22 000 2241 (1)ydyyyy dyyydy 3 分 令1sinyt ，有cosdytdt，则 4 分 2 22 2 0 2 1 (1)(1 sin )cosyydyttdt 22 222 0 22 cossin cos(1 cos2 ) 2 tdtttdtt dt . 6 分 于是 4 2 D ydxdy . 7 分 五、五、(本题满分本题满分 6 分分) 设生产某种产品必须投入两种要素， 1 x和 2 x分别为两要素的投入量，Q 为产出量；若 生产函数为 21 2xxQ ，其中,为正常数，且1.假设两种要素的价格分别为 1 p和 2 p, 试问：当产出量为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最少？ 解：解：需要在产出量 12 212x x 的条件下，求总费用 1 122 p xp x的最小值. 为此作拉格朗日函数 121 12212 ( , )(12 2)F x xp xp xx x . 2 分 令 1 112 1 1 212 2 12 20(1) 20(2) 1220(3) F pxx x F px x x F x x , 3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 17 页 由 （1） 和 （2） ， 得 212 12 121 , pxp a xx pxp .将 1 x代入 （3） ， 得 12 21 21 6,6 pp xx pp . 5 分 因驻点唯一，且实际问题存在最小值，故计算结果说明 21 12 12 6,6, pp xx pp 时， 投入总费用最小. 6 分 六、六、(本题满分本题满分 6 分分) 设有微分方程)(2xyy ，其中( )x 21 01 x x ，试求在,内的连续 函数)(xyy ，使之在1 ,和, 1内都满足所给方程，且 0)0(y. 解：解： 当1x 时，有22yy ，其通解为 22 1 2 dxdx yeedxC 1 分 222 11 21(1) xxx eedxCCex 由(0)1y，得 1 1C ，所以 2 1 (1) x yex. 3 分 当1x 时，有20yy ，其通解为 2 2 22 (1) dx x yC eC ex 4 分 由 222 2 11 limlim(1)1 xx xx C eee ，得 22 2 1C ee，即 2 2 1Ce . 所以 22 (1)(1) x yeex . 5 分 于是，若补充定义函数值 2 1 |1 x ye ，则得在(,) 上的连续函数 2 22 11 ( ) (1)1 x x ex y x eex . 6 分 显然，( )y x满足题中所要求的全部条件. 七、七、(本题满分本题满分 6 分分) 设( )f x连续，且 x xdttxtf 0 2 arctan 2 1 )2 (.已知(1)1f，求 2 1 )(dxxf 的值. 解：解：令2uxt，则2,txu dtdu ， 1 分 22 02 (2)(2) ( )2( )( ) xxxx xxx tfxt dtxu f u duxf u duuf u du . 2 分 于是 22 2 1 2( )( )arctan 2 xx xx xf u duuf u dux . 3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1999 年数学试题参考解答及评分标准 1999 年 第 18 页 上式两端对x求导，得 2 4 2( )2 2 (2 )( ) 2(2 ) 2( ) 1 x x x f u duxfxf xxfxxf x x ， 即 2 4 2( )( ) 1 x x x f u duxf x x . 5 分 令1x ，得 2 1 13 2( )1 22 f u du .于是 2 1 3 ( ) 4 f x dx . 6 分 八、八、(本题满分本题满分 7 分分) 设函数)(xf在区间0,1上连续，在1 , 0内可导，0) 1 ()0( ff,1) 2 1 (f. 试证： (1) 存在) 1 , 2 1 (，使)(f； (2) 对任意实数，必存在, 0，使得1)()(ff. 证：证：(1) 令( )( )xf xx，则( )x在0,1是连续. 又(1)10 ， 11 ( )0 22 ，故由闭区间上连续函数的介值定理知，存在 1 ( ,1) 2 ， 使得( )( )0f，即( )f. 3 分 (2) 设( )( ) ( ) xx F xexef xx ， 4 分 则( )F x在0, 上连续，在0, )内可导，且(0)0, ( )( )0FFe ， 即( )F x在0, 上满足罗尔定理的条件，故存在(0, )，使得( )0F， 6 分 ( ) ( ) 10eff ，从而( ) ( )1ff. 7 分 九九、(本题满分本题满分 9 分分)【 同数学一 第十题 分值不同 】 十、十、(本题满分本题满分 7 分分) 设A为nm实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵. 已知矩阵 T BEA A.试证：当0时， 矩阵B为正定矩阵. 证：证：因为() TTTT BE A AE A AB, 2 分 所以B为n阶对称矩阵. 对于任意的实n维向量x,有 ()() () TTTTTTTT x BxxE A A xx xx A Axx xAxAx. 4 分 当xO时,有0 T x x，() ()0 T AxAx. 因此，当0时，对任意的xO，有 () ()0 TTT x Bxx xAxAx,即B为正定矩阵. 7 分 十一、十一、(本题满分本题满分 9 分分) 假设二维随机变量YX,在矩形10, 20,yxyxG上服从均匀分布