高中数学 第3章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.3 直线的一般式方程教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）

3.2.3 直线的一般式方程疱丁巧解牛知识巧学 直线的一般式方程1.直线和二元一次方程的关系： 因为在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角.(1)当90时，直线斜率存在，方程可写成y=kx+b，它可变形为kx-y+b=0，与二元一次方程一般形式Ax+By+C=0比较，有A=k，B=-1，C=b.(2)当=90时，直线斜率不存在，其方程可写成x=x1，比较有A=1，B=0，C=-x1(显然A、B不同时为0). 所以，在平面直角坐标系中，对于任何一条直线有一个表示这条直线的关于x、y的二元一次方程. 反过来，二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0， 其中A、B不同时为0，(1)当B0时，方程可化为y=，它表示斜率为，在y轴上截距为的直线(斜截式方程).(2)当B=0时，由于A、B不同时为0，必有A0，方程可化为x=，它表示一条与y轴平行或重合的直线. 所以在平面直角坐标系中，任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线. 综上可知，在平面直角坐标系中，直线与关于x、y的二元一次方程是一一对应的.2.我们把关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.3.直线的一般式方程与四种特殊形式之间可以进行相互转化，关系如下：要点提示 在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的还是四种特殊形式,只是最后结果化为一般式.问题探究问题1 直线方程Ax+By+C=0的系数A、B、C满足什么关系时，这条直线有以下性质？(1)与两条坐标轴相交；(2)只与x轴相交；(3)是y轴所在直线.探究:由直线的一般式方程观察直线图象的特征.若直线与两坐标轴都相交，但直线的斜率存在且不为0，故A0,B0.若只与x轴相交，即与x轴垂直，所以直线斜率不存在，则A0,B=0.若是y轴所在直线，即x=0，所以A0,B=0,C=0.问题2 一条直线的一般式方程为Ax+By+C=0，如果它的图象通过第二、三、四象限，你能得出系数A、B、C的符号关系吗？探究:因为直线Ax+By+C=0的图象通过第二、三、四象限，所以此直线既不能与坐标轴平行又不能过原点，且其斜率必须为负，在y轴上的截距必小于0，可得ABC0且,，所以可以判断系数A、B、C必同号.典题热题例1 已知直线经过点A(6，-4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.思路解析：本题中直线的点斜式方程可直接得到，主要体会由点斜式向一般式的转化过程，把握直线方程的一般式的特点.解：经过点A(6，-4)，斜率为的直线的点斜式方程由公式可得y+4=(x-6)，化为一般式可得4x+3y-12=0.深化升华 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x、y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、含y项、常数项顺序排列.求直线方程的题目，如无特别要求时，结果写成直线方程的一般式.例2 直线ax-6y-12a=0(a0)，在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求a值及直线的斜率.思路解析：先将直线方程化为截距式，由条件求出a值，然后化成斜截式求出斜率.解：a0，ax-6y-12a=0可化为.它在x轴和y轴上的截距分别为12和-2a. 则12=-6a，a=-2. 此时直线的方程为x+3y-12=0. 化为斜截式为y=.a=-2，其斜率为.深化升华 直线方程的一般式和特殊形式的互相转化问题.要注意各种形式的特征,并且在求解相关问题时，能根据具体题目的要求选择恰当的方程形式，尤其在求解直线的方程时，并不一定要设直线的一般式，但在没有特别说明的情况下，最终结果要化为直线的一般式.例3 直线kx+y-k=0与射线3x-4y+5=0(x-1)有交点，求k的取值范围.思路解析：直线kx+y-k=0表示过定点的直线系.可以通过数形结合求得k的取值范围.另一种思路是先由两直线方程消去y，求得x用k表示的式子，利用x的取值范围求出k的取值范围.解：由kx+y-k=0，即k(x-1)+y=0，直线系过定点(1,0)，斜率k=-k，由数形结合可以看出k(,+)(-,，所以k(-,)