北京房山区高三数学第一次模拟测试理

北京市房山区2019年高考第一次模拟试卷数学（理）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A=x|x24，B=0，1，则正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合A，对选项做出判断即可得答案【详解】集合A=x|x24=x|-2x2， 且B=0，1， AB=B正确 故选：C【点睛】本题考查集合交集运算的应用，属于基础题2.执行如图所示的程序图，如果输入，则输出的的值为A. 7B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，依次判断是否满足条件即可得到结论【详解】若输入a=1，b=2，则第一次不满足条件a6，则a=2，第二次不满足条件a6，则a=22=4，第三次不满足条件a6，则a=42=8，此时满足条件a6，输出a=8，故选：B【点睛】本题主要考查程序框图的识别和运行，依次判断是否满足条件是解决本题的关键，比较基础3.在极坐标系中，圆=2cos的圆心坐标为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把圆的极坐标方程转化为直角坐标方程，求出圆心直角坐标即可【详解】由=2cos，得=2cos，化简为直角坐标方程为：x2+y2-2x=0，即，所以圆心（1，0），即圆心（1，0）的极坐标为（1，0）.故选：D【点睛】本题考查圆的极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于基础题4.已知为单位向量，且的夹角为，则=（）A. 2B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】由向量的数量积的运算法则，化简求解即可【详解】因为为单位向量，且的夹角为，且，得，解得=2故选：A【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，属于基础题5.某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求该三棱锥的四个面的面积中最大面积即可【详解】该多面体为一个三棱锥D-ABC，是正方体的一部分，如图所示，其中3个面是直角三角形，1个面是等边三角形，所以，该三棱锥的四个面的面积中最大的是：故选：C【点睛】本题考查了三棱锥的表面积，简单几何体的三视图，把三棱锥放在正方体中是解题的关键，属于基础题6.设为实数，则是的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】若成立，则a1，满足成立；若成立，得，解得或a0，当a0时，不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，也考查了解不等式，属于基础题7.已知函数f（x）=2x（x0）与g（x）=ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在同一直角坐标系中作出函数f（x）=2x（x0）与g（x）=ln（x+a）的图象，观察图象得出结论【详解】在同一直角坐标系中作出函数f（x）=2x（x0）与g（x）=ln（x+a）的图象，当y=lnx向左平移a（a0）个单位长度，恰好过（0，1）时，函数f（x）与g（x）就不存在关于y轴对称的点，所以0ae，当y=lnx向右平移（a0）个单位长度，函数f（x）与g（x）总存在关于y轴对称的点，当a=0时，显然满足题意，综上：ae，故选：B【点睛】本题考查两个函数图象上点的对称问题，数形结合是解题的关键，属于中档题8.九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）A. 天B. 天C. 天D. 天【答案】C【解析】【分析】设蒲的长度组成等比数列an，其a1=3，公比为，其前n项和为An；莞的长度组成等比数列bn，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn利用等比数列的前n项和公式及对数的运算性质即可得出【详解】设蒲的长度组成等比数列an，其a1=3，公比为，其前n项和为An，则An=.莞的长度组成等比数列bn，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn则Bn ，由题意可得： ，整理得：2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）n=26估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为_【答案】-1【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算化简即可得答案【详解】，复数z的虚部为-1故答案为：-1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题10.若满足，则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义即可得到结论【详解】作出，满足对应的平面区域，由，得，平移直线，由，解得由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，此时，故答案为4【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11.中，已知BC=6，AC=4，则B=_【答案】【解析】【分析】由正弦定理可求sinB的值，结合大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值【详解】BC=6，AC=4，由正弦定理，得：sinB=，ACBC，得B为锐角，所以B=故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，属于基础题12.已知点A（-2，0），B（0，2），若点P在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，则面积的最小值为_【答案】4【解析】【分析】先求出AB的方程，求出圆心C到直线AB的距离，用此距离减去半径，再乘以，即为所求【详解】点A（-2，0），B（0，2），AB的直线方程为=1，即x-y+2=0圆心C（3，-1）到直线AB的距离为d=，因为点P在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，所以点P到直线AB距离的最小值为：=，且.则ABP面积的最小值为.故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题13.函数y=f（x），x1，+），数列an满足，函数f（x）是增函数；数列an是递增数列写出一个满足的函数f（x）的解析式_写出一个满足但不满足的函数f（x）的解析式_【答案】 (1). f（x）=x2 (2). 【解析】【分析】本题第一个填空可用到常用的函数f（x）=x2；第二个填空要考虑到函数和对应的数列增减性不同【详解】由题意可知：在x1，+）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f（x）=x2第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为：则这个函数在1，上单调递减，在，+）上单调递增，在1，+）上不增函数，不满足而对应的数列为：在nN*上越来越大，属递增数列故答案为：f（x）=x2；【点睛】本题主要考查常用函数的增减性的熟悉以及函数和数列对应的增减性的区别，属于中档题14.已知曲线F（x，y）=0关于x轴、y轴和直线y=x均对称，设集合S=（x，y）|F（x，y）=0，xZ，yZ下列命题：若（1，2）S，则（-2，-1）S；若（0，2）S，则S中至少有4个元素；S中元素的个数一定为偶数；若（x，y）|y2=4x，xZ，yZS，则（x，y）|x2=-4y，xZ，yZS其中正确命题的序号为_（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】【分析】结合曲线F（x，y）=0关于x轴、y轴和直线y=x均对称，利用对称性分别进行判断即可【详解】若（1，2）S，则（1，2）关于y=x对称的点（2，1）S，关于x轴对称的点（2，-1）S，关于y轴对称的点（-2，-1）S；故正确， 若（0，2）S，关于x轴对称的点（0，-2）S，关于y=x对称的点（2，0）S，（-2，0）S，此时S中至少有4个元素；故正确， 若（0，0）S，则（0，0）关于x轴，y轴，y=x对称的点是自身，此时S中元素的个数为奇数个，故错误； 若（x，y）|y2=4x，xZ，yZS，则关于y对称的集合为（x，y）|y2=-4x，xZ，yZS， 从而（x，y）|y2=-4x，xZ，yZS关于y=x对称的集合（x，y）|x2=-4y，xZ，yZS，故正确， 故答案为：【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合函数图象的对称性分别进行验证是解决本题的关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数（）求f（0）的值；（）求函数f（x）的定义域；（）求函数f（x）在上的取值范围【答案】（）1；（）；（）（1，2【解析】【分析】（）把x0代入函数计算求解即可；（）由函数的分母不为0，即可求得定义域；（）由三角函数恒等变形得=，再由x的范围求得范围，即可求出函数f（x）取值范围【详解】（）；（）由cosx0，得函数的定义域是；（）=，即，得1函数f（x）在上的取值范围为（1，2【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数中的恒等变换应用，属于基础题16.苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同,它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地批发价格市场份额市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，求该箱苹果价格低于元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取箱富士苹果进行检验，从产地共抽取箱,求的值；从这箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验，求两箱产地不同的概率；（3）由于受种植规模和苹果品质的影响，预计明年产地的市场份额将增加，产地的市场份额将减少，其它产地的市场份额不变，苹果销售价格也不变（不考虑其它因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱元，明年苹果的平均批发价为每箱元，比较的大小.（只需写出结论）【答案】（1）0.60；（2）；（3）【解析】【分析】（1）价格低于元的概率等价于价格低于元的市场占有率之和；（2）根据分层抽样的计算公式进行计算，可得出从产地共抽出的箱数；将5箱进行编号，列举出选择两箱的所有可能，然后根据古典概型计算公式进行求解；（3）根据平均值计算公式进行估算。【详解】（1）设事件：“从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，该箱苹果价格低于160 元”. 由题意可得：=0.15+0.25+0.20=0.60 .（2）地抽取； 地抽取所以 .设地抽取的3箱苹果分别记为；地抽取的2箱苹果分别记为，从这5箱中抽取2箱共有10种抽取方法.,来自不同产地共有6种.所以从这箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验，两箱产地不同的概率为： .（3）【点睛】本题考查了分层抽样、古典概型、平均数等知识，理清题意是解决问题的前提，熟练运用分层抽样、古典概型等公式是关键，属于基础题。17.如图1，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E，F，O分别为DC，AE，BC的中点以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE平面ABCE（如图2）（）求证：BC平面POF；（）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（）在线段PE上是否存在点M，使得AM平面PBC？若存在，求的值；若不存在，说明理由【答案】（）见解析；（）；（）见解析【解析】【分析】（I）由面面垂直的性质定理得PF平面ABCE，可得PFBC，结合BCOF，可得BC平面POF；（II）建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量，通过计算法向量与的夹角得出线面角的正弦值；（III）设则，令，计算的值得出结论【详解】（）在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD中点，所以DADE，即PAPE，又F为AE的中点，所以PFAE，又平面PAE平面ABCE，平面PAE平面ABCEAE，PF平面PAE，所以PF平面ABCE，BC平面ABCE，所以PFBC，由F，O分别为AE，BC的中点，易知FOAB，所以OFBC，所以BC平面POF，（）过点O做平面ABCE的垂线OZ，以O为原点，分别以OF，OB，OZ为x，y，z轴建立坐标系Oxyz，则，设平面PBC的法向量为由得，令z3得， ， 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值.（）在线段PE上不存在点M，使得AM平面PBC证明如下：点M在线段PE上，设则， ,若AM平面PBC，则，由得，解得20，1所以在线段PE上不存在点M，使得AM平面PBC【点睛】本题考查了面面垂直性质定理的应用和线面垂直的判定，向量法计算线面角和判定线面平行，属于中档题18.已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点为F，且|AF|=3（）求椭圆的方程；（）过点F做互相垂直的两条直线l1，l2分别交直线l：x=4于M，N两点，直线AM，AN分别交椭圆于P，Q两点，求证：P，F，Q三点共线【答案】（）；（）见解析【解析】【分析】（）根据离心率和|AF|3，可得a2，c1，从而求出椭圆的方程；（）设l1：y=k1（x-1），联立l1和椭圆的方程，得P坐标，因为直线l1，l2垂直，同理得Q坐标.且F（1，0），所以按和分类讨论，判断即可.【详解】（）设椭圆的半焦距为c，依题意：，得b2=a2-c2=3，所以椭圆的方程是（）由题意可知，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，A（-2，0），F（1，0），设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k2=-1直线l1的方程为y=k1（x-1），则M点坐标为（4，3k1），得，设直线AM的方程为，由得：因为x=-2是方程的根，所以，同理可得当，即时，可得，又F（1，0），所以P，F，Q三点共线；当，即，时，得kQF=kPF，所以P，F，Q三点共线；综上所述：P，F，Q三点共线.【点睛】本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和椭圆的关系，考查了分类讨论和转化思想，直线的斜率问题，属于中档题19.已知函数（）当m=0时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（）若函数f（x）的图象在x轴的上方，求m的取值范围【答案】（）y=-x+1；（）【解析】【分析】（）求得f（x）解析式和导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程；（）由题意，求得f（x）的导数，按m0，0m1分类讨论，得f（x）的单调性，计算得最小值，解不等式即可得所求的范围【详解】（）当m0时，f（x）xlnx，f（x）lnx1，所以f（1）0，f（1）1，所以曲线yf（x）在x1处的切线方程是yx+1；（）“函数f（x）的图象在x轴的上方”，等价于“x0时，f（x）0恒成