广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三数学上学期第一次联考试题 理

广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三数学上学期第一次联考试题 理本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求1已知集合Ax，B，则AB.A. x0x2 B. x0x2 C. x2x3 D. x2x32若复数的共轭复数满足,则.A.B.C. D.3下列有关命题的说法错误的是.A. 若“”为假命题，则、均为假命题； B. 若是两个不同平面，,，则 ；C. “”的必要不充分条件是“”；D. 若命题p：，则命题：；4已知某离散型随机变量X的分布列为X0123P 则X的数学期望.A B1C D25已知向量、均为非零向量，则、的夹角为.ABCD6若，则的值为.A. B. C. D. 7若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为.A. 4B. 12C. 16D. 68设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=.A5B6C7D89已知定义在R上的偶函数对任意 都有，当取最小值时，的值为.A.1B.C.D.10在如图直二面角ABDC中，ABD、CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将ABE 沿BE翻折到A1BE，在ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是.ABC与平面A1BE内某直线平行 BCD平面A1BECBC与平面A1BE内某直线垂直 DBCA1B11定义为个正数的“均倒数”，若已知正整数数列 的前项的“均倒数”为，又，则.A. B. C. D. 12已知函数在上有两个零点，则的取值范围是.A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13设满足约束条件，则的最大值为 ；14若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中的系数为 ；15已知点P在双曲线上，轴(其中为双曲线的右焦点)，点到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为 ；16已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上， BAC=120。，若三棱锥的体积为，则球的表面积为 ；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）如图，在中，角所对的边分别为，；（1）证明：为等腰三角形；（2）若为边上的点，且ADB =2ACD，求的值18（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，且为等边三角形，平面平面；点分别为的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值19. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰好关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由20（本小题满分12分）已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间上有零点，求的值；（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合21. （本小题满分12分）某景区的各景点从2020年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变下表是从2020年至2020年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：第年12345678910旅游人数（万人）300283321345372435486527622800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型： 模型：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程y=50.8x+169.7；模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近（1）根据表中数据，求模型的回归方程 y=aebx（精确到个位，精确到001）（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）回归方程i=110yi-yi23040714607参考公式、参考数据及说明：对于一组数据，其回归直线w=a+v的斜率和截距的最小二乘法估计分别为=i=1nwi-wvi-vi=1nvi-v2, a=w-v刻画回归效果的相关指数R2=1-i=1nyi-yi2i=1nyi-y2参考数据：，55449 605834195 900表中请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程(10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.23选修4-5：不等式选讲(10分）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值 广深珠三校2020届高三第一次联考理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求题号123456789101112答案BCCBBADDADCD12、已知函数（为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是（ ）A. B. C. D. 【详解】由得，当时，方程不成立，即，则， 设（且），则，且，由得，当时，函数为增函数，当且时，函数为减函数，则当时函数取得极小值，极小值为，当时，且单调递减，作出函数的图象如图：故：要使有两个不同的根，则即可，即实数的取值范围是.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13 19 ； 14 15 ； 15； 16；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）如图，在中，角所对的边分别为，；（1）证明：为等腰三角形；（2）若为边上的点，且，求的值【详解】（1），由正弦定理得： .2分由余弦定理得：； .4分化简得：,所以即， .5分故为等腰三角形 .6分（2）如图， 由已知得， ， .8分又， .10分即，得，由（1）可知，得 .12分18（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，且为等边三角形，平面平面；点分别为的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）设的中点为，连接，为的中点，所以为的中位线，则可得，且； .2分在梯形中，且，所以四边形是平行四边形， .4分，又平面，平面，平面 .6分法二：设为的中点，连接，为的中点，所以是的中位线，所以，又平面，平面，平面， .2分又在梯形中，且，所以四边形是平行四边形，又平面，平面，平面， .4分又，所以平面平面，又平面，平面 .6分（2）设的中点为，又因平面平面，交线为，平面，平面，又由，即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系 .7分已知点， .8分设平面的法向量为：则有，可得平面的一个法向量为， .10分可得：， .11分所以直线与平面所成角的正弦值为 .12分19. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰好关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【详解】（）由题意可得，又a2b2c2， .2分解得a24，b21，所以，椭圆的方程为 .4分（）存在x轴上在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称，设直线l的方程为x+my0，与椭圆联立可得设A（x1，y1），B（x2，y2），假设在x轴上存在定点Q（t，0）y1+ y 2，y 1 y 2 .6分PN与QN关于x轴对称，kAQ+kQB0， .7分即y1（x2t）+y2（x1t）0，t .9分在x轴上存在定点Q（，0）使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称 .10分特别地，当直线l是x轴时，点Q（，0）也使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称 .11分综上，在x轴上存在定点Q（，0）使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称 .12分20（本小题满分12分）已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间上有零点，求的值；（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合【详解】（1），所以切线斜率为，又，切点为，所以切线方程为 -2分（2）令，得，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以的极小值为，又，所以在区间上存在一个零点，此时；因为，所以在区间上存在一个零点，此时综上，的值为0或3 -6分（3）当时，不等式为显然恒成立，此时；当时，不等式可化为， -7分令，则，由（2）可知，函数在上单调递减，且存在一个零点，此时，即所以当时，即，函数单调递增；当时，即，函数单调递减所以有极大值即最大值，于是 -9分当时，不等式可化为，由（2）可知，函数在上单调递增，且存在一个零点，同理可得综上可知又因为，所以正整数的取值集合为 -12分21. （本小题满分12分）某景区的各景点从2020年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变下表是从2020年至2020年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：第年12345678910旅游人数（万人）300283321345372435486527622800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型： 模型：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近（1）根据表中数据，求模型的回归方程（精确到个位，精确到001）（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）回归方程3040714607参考公式、参考数据及说明：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为刻画回归效果的相关指数 参考数据：，55449 605834195 900表中解：（1）对取对数，得， 1分设，先建立关于的线性回归方程。， 3分 5分6分模型的回归方程为。 7分（2）由表格中的数据，有3040714607，即， 9分即， 10分模型的相关指数小于模型的，说明回归模型的拟合效果更好。 11分2021年时，预测旅游人数为（万人） 12分请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程(10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值. 【详解】（1）设，.且点，由点为的中点，所以 3分整理得.即， 化为极坐标方程为. 5分（2）设直线：的极坐标方程为.设，因为，所以，即. 6分联立整理得. 7分则解得.