材料力学课件4.（剪力弯矩图微分关系）

哈尔滨工业大学本科生课 2.6 2.6 内力图剪力图与弯矩图内力图剪力图与弯矩图 2.7 2.7 弯矩、剪力和分布荷载之间的关系弯矩、剪力和分布荷载之间的关系 2.8 2.8 利用弯矩、剪力和载荷的关系作剪力图 和弯矩图 利用弯矩、剪力和载荷的关系作剪力图 和弯矩图 第2章 内力及内力图第2章 内力及内力图 上一讲主要内容回顾上一讲主要内容回顾 右手法则：右手法则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示 扭矩矢的方向， 右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示 扭矩矢的方向， 若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。 T T 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： 5.扭矩的符号规定右手螺旋法则5.扭矩的符号规定右手螺旋法则 I I T I I T I I T e M I I T e M 上一讲主要内容回顾上一讲主要内容回顾 受力特点：受力特点： 垂直于轴线的垂直于轴线的所有外力（载荷和 支座反力） 所有外力（载荷和 支座反力）作用在纵向对称面内。作用在纵向对称面内。 变形特点：变形特点： 轴线由直线变成了在纵向对称面 内的平面曲线。 轴线由直线变成了在纵向对称面 内的平面曲线。 1.平面弯曲1.平面弯曲 上一讲主要内容回顾上一讲主要内容回顾 工程中，常见的三种静定梁的计算简图：工程中，常见的三种静定梁的计算简图： 简支梁简支梁 一端是固定铰支约束 另一端可动铰支约束 一端是固定铰支约束 另一端可动铰支约束 悬臂梁悬臂梁 一端为固定端 另一端自由 一端为固定端 另一端自由 外伸梁外伸梁 绞支座支撑 梁的一端或两端伸 于支座之外 绞支座支撑 梁的一端或两端伸 于支座之外 上一讲主要内容回顾上一讲主要内容回顾 剪力和弯矩的正负号规则：剪力和弯矩的正负号规则： 左上右下为正 s F s F s F s F 上压下拉为正 向下凸出为正MM MM s FM 哈尔滨工业大学本科生课 2.6 内力图剪力图和弯矩图2.6 内力图剪力图和弯矩图 2.6 内力图剪力和弯矩图2.6 内力图剪力和弯矩图 ( )= ss FF x剪力方程 弯矩方程 剪力方程 弯矩方程 ( )=MM x 横截面的位置用梁的轴线坐标表示横截面的位置用梁的轴线坐标表示x 各横截面上的剪力和弯矩就可以表示成的函数各横截面上的剪力和弯矩就可以表示成的函数x 1. 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 ( ) = -M xFx ( ) = - s F xF F l F x s F M 2.6 内力图剪力和弯矩图2.6 内力图剪力和弯矩图 M ( x )Fx s F ( x )F F l F x s F M 2.剪力图和弯矩图2.剪力图和弯矩图 以横坐标表示梁的截面位置，纵坐标表示剪力和弯矩的数值以横坐标表示梁的截面位置，纵坐标表示剪力和弯矩的数值x 弯矩图弯矩图 （两种做法）（两种做法） 剪力图-正剪力图-正的剪力画在轴的剪力画在轴上方上方，负负的剪力图画在的剪力图画在下方下方x 土木工程:土木工程:负负弯矩画在轴弯矩画在轴上方上方x 机械工程:机械工程:正正弯矩画在轴弯矩画在轴上方上方x 2.6 内力图剪力和弯矩图2.6 内力图剪力和弯矩图 M x 0 M ( x )Fx s F ( x )F 剪力图剪力图 F s F x 0 弯矩图弯矩图 Fl F l F x s F M 以横坐标表示梁的截面位置，纵坐标表示剪力和弯矩的数值以横坐标表示梁的截面位置，纵坐标表示剪力和弯矩的数值x 2.剪力图和弯矩图2.剪力图和弯矩图 弯矩图弯矩图 （两种做法）（两种做法） 剪力图-剪力图-正的剪力画在轴上方，负的剪力图画在下方正的剪力画在轴上方，负的剪力图画在下方x 土木工程:土木工程:负弯矩画在轴上方负弯矩画在轴上方x 机械工程:机械工程:正弯矩画在轴上方正弯矩画在轴上方x 2.6 内力图剪力和弯矩图2.6 内力图剪力和弯矩图 l A B q 例1例1 s Fql /qx2剪力方程剪力方程 A R B R 解：利用对称性,支反力解：利用对称性,支反力 2 AB R = R = ql / x A R q s F M 2 ql 2 ql / 2l s F ql Mxqx 2 1 22 弯矩方程弯矩方程 2 8 ql M 2.6 内力图剪力和弯矩图2.6 内力图剪力和弯矩图 解:1)求约束反力,并验算 2) 解:1)求约束反力,并验算 2)分段分段列剪力与弯矩方程列剪力与弯矩方程 AC段 ：段 ： BC段 ：段 ： AB R =F R =F 21 33 s l F ( x )F(x) 2 0 33 l M( x )Fx (x) 2 0 33 s l F ( x )F(xl ) 1 33 ) Fl M( x )(lx(xl ) 33 / l 3 例2例2 / l 23 F AB C A RB R s F M A R x A 0 3 l x B R M s F x lx 3 l xl 2.6 内力图剪力和弯矩图2.6 内力图剪力和弯矩图 解:1)求支座反力,并验算 2) 解:1)求支座反力,并验算 2)分段分段列剪力与弯矩方程列剪力与弯矩方程 AC段 ：段 ： BC段 ：段 ： R AB RFF 21 33 s l F ( x )F(x) 2 0 33 l M( x )Fx (x) 2 0 33 s l F ( x )F(xl ) 1 33 ) Fl M( x )(lx(xl ) 33 / l 3 例2例2 / l 23 F AB C A RB R 3）作剪力图与弯矩图3）作剪力图与弯矩图 Fl 2 9 s F M F 2 3 F 1 3 2.6 内力图剪力和弯矩图2.6 内力图剪力和弯矩图 在集中力作用处，在集中力作用处， 剪力图发生突变剪力图发生突变，其突变 量就等于集中力的数值； 弯矩连续，但 ，其突变 量就等于集中力的数值； 弯矩连续，但弯矩图在此 出现转折 弯矩图在此 出现转折（斜率不同的点）（斜率不同的点） / l 3 例2例2 / l 23 F AB C A RB R 3）作剪力图与弯矩图3）作剪力图与弯矩图 Fl 2 9 s F M F 2 3 F 1 3 2.6 内力图剪力和弯矩图2.6 内力图剪力和弯矩图 解： 1)解： 1)求支座反力求支座反力 2)2)分段列内力方程分段列内力方程 AC段段 CB段段 s m F ( x ) l ()axl a 例3例3 b m A B C B R l A R A m R l B m R l s F M x Axa0 A R m M( x )x l B R M s F x lx axl B ( ) = z mm Mxlxmx ll ( ) s m F x l 0()xa 2.6 内力图剪力和弯矩图2.6 内力图剪力和弯矩图 3）3）作剪力图与弯矩图作剪力图与弯矩图 M s F m l am l bm l 解： 1)解： 1)求支座反力求支座反力 2)2)分段列内力方程分段列内力方程 AC段段 CB段段 s m F ( x ) l ()axl A m R l B m R l m M( x )x l ( ) = z mm Mxlxmx ll ( ) s m F x l 0()xa a 例3例3 b m A B C B R l A R 2.6 内力图剪力和弯矩图2.6 内力图剪力和弯矩图 在集中力偶作用处，在集中力偶作用处， 剪力连续， 弯矩发生突变，其突 变量就等于集中力偶 矩的值。 剪力连续， 弯矩发生突变，其突 变量就等于集中力偶 矩的值。 3）3）作剪力图与弯矩图作剪力图与弯矩图 M s F m l am l bm l a 例3例3 b m A B C B R l A R 2.6 内力图剪力和弯矩图2.6 内力图剪力和弯矩图 Ay F A B 0 M 1m1m 1m1m 2m qF DC E By F 外力规律发生变化的截面 1.集中力、集中力偶作用点； 2.分布载荷的起点和终点处的横截面。 外力规律发生变化的截面 1.集中力、集中力偶作用点； 2.分布载荷的起点和终点处的横截面。 控制截面控制截面 哈尔滨工业大学本科生课 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间 的微分关系 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间 的微分关系 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 q x( ) q x( ) )(xFs )(d)(xFxF ss M x( ) M xM x( )( ) d dx x 设梁上作用有任意载荷设梁上作用有任意载荷 分布载荷集度分布载荷集度为 方向规定 为 方向规定:向上为正:向上为正 q x( ) q x( ) dx 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 q x( ) )(xFs)(d)(xFxF ss M x( )M xM x( )( ) d )()(d)()(xdFxFxxqxF sss y x 0 y F () () s dFx q x dx 剪力函数的一阶导数 等于分布载荷集度 剪力函数的一阶导数 等于分布载荷集度 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 q x( ) ( ) s F x( )d( ) ss F xF x M x( )M xM x( )( ) d 2 1 d=d 2 ()()()()() s M xFxxq x dxM xM x y x 0 c M () () s dM x Fx dx c 忽略高阶小量忽略高阶小量 2 1 2 ()q x dx 弯矩函数的一阶导数 等于剪力函数 弯矩函数的一阶导数 等于剪力函数 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 d() () d s Fx q x x d() () d s M x Fx x 2 2 d() () d M x q x x 微分关系几何意义微分关系几何意义 剪力图剪力图上某点处切线的上某点处切线的斜率斜率等 于梁上该点处的分布载荷集度 等 于梁上该点处的分布载荷集度q 弯矩图弯矩图上某点处切线的上某点处切线的斜率斜率等 于梁上该点处截面上的剪力 等 于梁上该点处截面上的剪力 s F 弯矩图的凹向弯矩图的凹向取决于分布载荷 集度的正负 取决于分布载荷 集度的正负 q 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律 1.梁段上无分布载荷：1.梁段上无分布载荷： 0(1) s dF x q x dx () () 剪力图切线斜率为零 弯矩为一次函数 剪力图切线斜率为零 弯矩为一次函数 (2) s dM x Fx dx () ()常数 弯矩图为平直线弯矩图为平直线 0 0 0 s Fx() 弯矩为增函数弯矩为增函数 弯矩为减函数，上斜直线弯矩为减函数，上斜直线 弯矩图直线 F 弯矩图直线 Fs s为常数，剪力图为平直线为常数，剪力图为平直线 下斜直线下斜直线 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律 1.梁段上无分布载荷：1.梁段上无分布载荷： 若梁段没有分布载荷，只有集中力和集中力偶 剪力图和弯矩图不可能出现曲线图形 其中剪力必为常数，弯矩可能是常数或一次函数 若梁段没有分布载荷，只有集中力和集中力偶 剪力图和弯矩图不可能出现曲线图形 其中剪力必为常数，弯矩可能是常数或一次函数 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律 2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数 剪力为增函数，上斜直线剪力为增函数，上斜直线 剪力为减函数，下斜直线剪力为减函数，下斜直线 剪力为一次函数 剪力图为斜直线 剪力为一次函数 剪力图为斜直线 0 0 q x() (1) s dFx q x dx () ()常数常数0 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律 2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数 (1) s dM x Fx dx () ()一次函数一次函数 M x()为二次函数， 弯矩图为二次曲线为二次函数， 弯矩图为二次曲线 0 0 q x() M x()应有极小值应有极小值 M x()应有极大值应有极大值 弯矩图为弯矩图为上凸曲线上凸曲线 弯矩图为弯矩图为下凸曲线下凸曲线 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律 2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数 0 0 q x() M x()应有极小值应有极小值 M x()应有极大值应有极大值 弯矩图为弯矩图为上凸曲线上凸曲线 弯矩图为弯矩图为下凸曲线下凸曲线 M x()极值的位置在的截面极值的位置在的截面0 s Fx () 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 l A B q 例1例1 A R B R ql 2 ql 2 / 2l s F ql 2 8 M 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系 M s F m l am l bm l a 例3例3 b m A B C B R l A R / l 3 例2例2 / l 23 F AB C A RB R Fl 2 9 s F M F 2 3 F 1 3 哈尔滨工业大学本科生课 2.8 利用利用M、Fs与与q的微分关系作 剪力图和弯矩图 的微分关系作 剪力图和弯矩图 2.8 利用微分关系作剪力、弯矩图2.8 利用微分关系作剪力、弯矩图 作图要点：作图要点： (1)(1)计算支反力，并在梁上计算支反力，并在梁上标出其实际方向标出其实际方向 (2)(2)利用微分关系，利用微分关系，确定确定剪力和弯矩图的剪力和弯矩图的形状形状 (3)(3)考虑考虑集中力、集中力偶的位置，剪力和弯矩的集中力、集中力偶的位置，剪力和弯矩的突变突变 (4)(4)计算控制截面计算控制截面上的剪力和弯矩值上的剪力和弯矩值 (5)(5)验算验算，剪力图和弯矩图自左端到右端应，剪力图和弯矩图自左端到右端应封闭封闭 自左向右剪力突变方向与集中力方向相同 顺时针转向的弯矩使弯矩图向下突变 自左向右剪力突变方向与集中力方向相同 顺时针转向的弯矩使弯矩图向下突变 2.8 利用微分关系作剪力、弯矩图2.8 利用微分关系作剪力、弯矩图 (1)(1)计算支反力，计算支反力，标出其实际方向标出其实际方向 作图要点：作图要点： (2)(2)利用微分关系，利用微分关系，确定形状确定形状 (3)(3)考虑考虑集中力、集中力偶的集中力、集中力偶的突变突变 自左向右自左向右剪力突变方向与集中 力方向相同 剪力突变方向与集中 力方向相同 顺时针转向的弯矩使弯矩图向下 突变 顺时针转向的弯矩使弯矩图向下 突变 (4)(4)计算控制截面计算控制截面值值 (5)(5)验算验算，自左端到右端应，自左端到右端应封闭封闭 AB R = R = ql / 2 l A B q 例1例1 A R B R ql 2 ql 2 / 2l s F ql 2 8 M 2.8 利用微分关系作剪力、弯矩图2.8 利用微分关系作剪力、弯矩图 / l 3 例2例2 / l 23 F AB C A RB R Fl 2 9 s F M F 2 3 2 = 3 A RF = 3 B F R F 3 (1)(1)计算支反力，计算支反力，标出其实际方向标出其实际方向 作图要点：作图要点： (2)(2)利用微分关系，利用微分关系，确定形状确定形状 (3)(3)考虑考虑集中力、集中力偶的集中力、集中力偶的突变突变 自左向右自左向右剪力突变方向与集中 力方向相同 剪力突变方向与集中 力方向相同 顺时针转向的弯矩使弯矩图向下 突变 顺时针转向的弯矩使弯矩图向下 突变 (4)(4)计算控制截面计算控制截面值值 (5)(5)验算验算，自左端到右端应，自左端到右端应封闭封闭 2.8 利用微分关系作剪力、弯矩图2.8 利用微分关系作剪力、弯矩图 M s F m l am l bm l a 例3例3 b m A B C / B Rm l l / A Rm l (1)(1)计算支反力，计算支反力，标出其实际方向标出其实际方向 作图要点：作图要点： (2)(2)利用微分关系，利用微分关系，确定形状确定形状 (3)(3)考虑考虑集中力、集中力偶的集中力、集中力偶的突变突变 自左向右自左向右剪力突变方向与集中 力方向相同 剪力突变方向与集中 力方向相同 顺时针转向的弯矩使弯矩图向下 突变 顺时针转向的弯矩使弯矩图向下 突变 (4)(4)计算控制截面计算控制截面值值 (5)(5)验算验算，自左端到右端应，自左端到右端应封闭封闭 2.8 利用微分关系作剪力、弯矩图2.8 利用微分关系作剪力、弯矩图 利用剪力、弯矩与分布荷载间的利用剪力、弯矩与分布荷载间的积分关系积分关系定值定值 s d d Fx q x x d d s M x Fx x 任意两截面的剪力差任意两截面的剪力差=两截面间 分布载荷图所包围的面积 任意两截面的弯矩差 两截面间 分布载荷图所包围的面积 任意两截面的弯矩差=两截 面间剪力图所包围的面积 两截 面间剪力图所包围的面积