江苏高三数学质量检测

江苏省2019届高三数学4月质量检测试题（含解析）一、填空题（请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.设集合，则_.【答案】【解析】【分析】由题，解不等式求得集合A，再求得 得出答案.【详解】因为集合，集合，所以故选A【点睛】本题考查了集合的交集，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于第_象限.【答案】一【解析】【分析】先由题对复数进行运算化简，求得在复平面所对应的点，可得结果.【详解】复数所以复数在复平面所对应的点为在第一象限故答案为一【点睛】本题考查了复数的概念，运算化简是解题的关键，属于基础题.3.“”是“”的_条件.（填：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）【答案】必要不充分条件【解析】【分析】由题，很明显必要性成立，再取可得充分性不成立，可得答案.【详解】由可以推出，故必要性成立；当， 成立，但无意义，所以不成立，故充分性不成立故答案为必要不充分条件【点睛】本题考查了充分必要条件，熟悉对数函数的性质是解题的关键，属于基础题.4.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，现场作的7个分数的茎叶图如图，则5个剩余分数的方差为_.【答案】6【解析】【分析】由题，先去掉最高和最低分，求得剩下数的平均数，再利用方差公式求得方差即可.【详解】由图观察，最高分为99，最低分为87，所以剩下的5个数的平均数：所以方差： 故答案是6【点睛】本题考查了茎叶图，熟悉平均数和方差的求法是解题的关键，属于基础题.5.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中概率为_.【答案】【解析】从个社团中随机选择个，有6种选法，其中数学建模社团被选中的选法有3种选法，所以概率为 6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为_. 【答案】【解析】【分析】直接模拟运行程序即得解.【详解】s=1-,k=2,s=,k=3,输出s=.故答案为：【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7.已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】设出双曲线方程，由已知条件易得，求得a，b的值，可得方程.【详解】设焦点在x轴上的双曲线方程为： 一条渐近线方程倾斜角为，取焦点，因为焦点到渐近线的距离为2，所以解得 所以双曲线方程： 故答案为【点睛】本题考查了双曲线的性质，掌握好双曲线的性质是解题的关键，属于较为基础题.8.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的表面积为_.【答案】【解析】【分析】由题意，先求得圆柱体的高和底面圆的半径，再利用表面积公式求得圆柱的表面积.【详解】因为圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，所以圆柱的高为： ，底面直径： ，底面周长为： 所以其表面积为： 故答案为【点睛】本题考查了圆柱体的表面积，熟悉公式，清楚圆柱展开图形的形状是解题的关键，属于较为基础题.9.设四边形为平行四边形，.若点满足，则=_.【答案】9【解析】【分析】利用向量的加减运算法则，对进行变形，最后用向量表示，再将代入可得答案.【详解】由题， 故答案为9【点睛】本题考查了向量数量积，解题的关键是掌握平面向量的加减运算法则，属于中档题目.10.若在是减函数，则a的最大值是_.【答案】【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，kZ，得，kZ，取k0，得f（x）的一个减区间为，结合已知条件即可求出a的最大值【详解】解：f（x）cosxsinx（sinxcosx），由，kZ，得，kZ，取k0，得f（x）的一个减区间为，由f（x）在a，a是减函数，得，则a的最大值是故答案为：【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题11.已知函数，.若存在2个零点，则a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】把的零点问题归结为与函数有两个不同交点的问题，通过移动动直线得实数的取值范围.【详解】有两个不同的零点等价于有两个不同的解，即有两个不同的解，所以的图像与有两个不同的交点.画出函数的图像，当即时，两图像有两个不同的交点，故答案为.【点睛】含参数的函数的零点个数问题，可以利用函数的单调性和零点存在定理来判断，如果该函数比较复杂，那么我们可以把该零点个数问题转化为两个熟悉函数图像的交点问题，其中一个函数的图像为动直线，另一个函数不含参数，其图像是确定的.12.已知公差为d的等差数列满足，且是的等比中项；记，则对任意的正整数n均有，则公差d的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先由等差数列性质，求得通项公式，即可得到数列的通项，再利用求和公式求得可得结果.【详解】因为公差为d的等差数列满足，且是的等比中项，所以，解得 所以即所以 故答案为【点睛】本题考查了数列的综合，解题的关键是在于通项公式的求法和求和公式的运用，属于中档题目.13.已知点，若分别是和直线上的动点，则的最小值为_.【答案】6【解析】【分析】设出点P的坐标和点R的坐标，分别表示出其向量，利用坐标求其模长，可得表示为圆与直线上一点距离的问题，再利用点到直线的距离求得其最小值.【详解】因为分别是和直线上的动点，所以设点，点 所以 所以表示的是圆上一点与直线直线上一点距离的最小值，圆是圆心为(0,0)半径为2的圆直线一般式： 最小值为： 故答案为6【点睛】本题考查了直线与圆的综合，会结合到参数方程和向量的坐标运算，模长的求法，属于较难题目.14.用表示中的最大值，已知实数满足，设，则M的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由题，先求得M最大值时，x和y的关系范围，再画出图像，分别求得不同范围的的最小值即可求得答案.【详解】由题，当 当，解得 所以当时，即图像的区域1当，即 解得，所以当，即图像的区域3所以当在区域2时，综上可得：在区域1中，；在区域2中，；在区域3中，在区域1中，当且紧当时，取最小值为 在区域2中，当且紧当时，取最小值为 在区域3中，当且紧当时，取最小值为综上所述，可得M的最小值为【点睛】本题考查了函数与不等式综合，熟悉理解题意，求最值是解题的关键，属于难题.二、解答题（请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点.（1）求的值；（2）若角满足，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题，先求得的值，再利用倍角公式，求得；（2）由恒等变化，可得，再利用已知条件求得、代入求解即可.【详解】（1）（2），又，且终边在第三象限，.当时，.当时，【点睛】本题考查了三角综合求值，熟悉三角函数线和恒等变化是解题的关键所在，属于较为基础题.16.如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点O，E是棱上一点，且平面.（1）求证：E是的中点；（2）若，求证：.【答案】（1）见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）连接，由平面结合线面平行性质定理可得，结合是中点及，可得结果；（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直.试题解析：（1）连接，因为平面， 平面，平面 平面，所以. 因为侧面是菱形，所以是中点， 所以，E是AB中点. （2）因为侧面是菱形，所以 ， 又，面，所以面，因为平面，所以 17.已知椭圆的离心率为，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为。（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k的直线过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与两点，以线段为直径的圆截直线所得的弦的长度为，求直线的方程。【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a2b2+c2，即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出及，结合弦的长度为，即可求斜率k的值，从而求得直线方程。【详解】解：（1）由椭圆的离心率为，得，.由得， ，所以椭圆方程为（2）解：设直线，中点联立方程得，.所以，点到直线的距离为 由以线段为直径的圆截直线所得的弦的长度为得，所以，解得，所以直线的方程为或【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出及，代入弦长公式列方程求解，还考查了圆的弦长计算，考查学生的计算能力，属于中档题18.如图（1）是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下：如图（2），自直立于水面的空中平台的上端点P处分别向水池内的三个不同方向建水滑道，水滑道的下端点在同一条直线上，平分，假设水滑梯的滑道可以看成线段，均在过C且与垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求.（1）求滑梯的高的最大值；（2）现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目趣味性，设计，求该滑梯装置（即图（2）中的几何体）的体积最小值.【答案】（1）m（2）562.5.【解析】【分析】（1）分别设出CB、CA、PC的长，分别表示出面积，再利用不等关系求解即可；（2）利用已知条件，求得体积是关于x的函数，再利用导函数判别单调性求得最小值即可.【详解】（1）设.由题意知，由及平分得，所以.因为，所以，所以.所以滑道的高的最大值为m.（2）因为滑道的坡度为，所以.由（1）知，即.又，所以.所以三棱锥P-ABC的体积， 所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，所以该滑梯装置的体积最小为562.5m.【点睛】本题考查了解三角形和立体几何应用实际问题，熟悉题意，仔细分析，结合导函数的应用求最值是解题的关键，属于中档题目.19.已知函数，设直线分别是曲线的两条不同的切线；（1）若函数为奇函数，且当时，有极小值为-4；（i）求的值；（ii）若直线亦与曲线相切，且三条不同的直线交于点，求实数m的取值范围；（2）若直线，直线与曲线切于点B且交曲线于点D，直线与曲线切于点C且交曲线于点A，记点的横坐标分别为，求的值.【答案】（1） ； ； （2）.【解析】【分析】（1）根据奇函数和求得；又，求得和；假设切点和切线方程，根据极大值点为可确定一条切线为；将代入切线方程可得：和，从而可得的两根为，构造函数，结合图像求得的范围；（2）根据可得，从而；将切线代入求解出，从而得到.【详解】（1） 是奇函数，且且，即 而当时有极小值 经检验满足题意，则 设是曲线上的一点由知：，过点的切线方程为：消去即得：由此切线方程形式可知：过某一点的切线最多有三条；又由奇函数性质可知：点是极大值点从而是一条切线且过点再设另两条切线的切点为、，其中则可令切线，将代入的方程中化简可得：且从而有：且是方程的两根构造函数：由得：或而，结合图象：可得：实数的取值范围是：（2）令，；由及可得：而，化简可得：，即将切线的方程代入中并化简得：，即；同理：则，【点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的综合应用问题，在解题过程中需要利用导数值即为切线的斜率写出函数的切线方程，根据不同条件要求进行变量之间的互化；解题关键是将切线条数问题转化为方程根的个数问题，利用构造函数的方式结合函数图像求得结果.本题对学生转化与划归思想和计算能力有较高的要求.20.如果数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为d（1）若，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；（2）若数列具有“性质P”，求证；且；（3）若数列具有“性质P”，且存在正整数k，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由.【答案】（）不具有性质；（）证明见解析；（）.【解析】分析：（）利用举反例的方法证明数列不具有“性质”. （）利用反证法证明 且. （）先通过分析得到,再分类讨论得到每一种情况下数列的个数，最后得到总数.详解：（）若，公差，则数列不具有性质理由如下：由题知，对于和，假设存在正整数k，使得，则有，解得，矛盾！所以对任意的， （）若数列具有“性质P”，则假设，则对任意的，. 设，则，矛盾！假设，则存在正整数，使得设， ，则，但数列中仅有项小于等于0，矛盾.假设，则存在正整数，使得设， ，则，但数列中仅有项大于等于0，矛盾,综上， （）设公差为的等差数列具有“性质P”，且存在正整数，使得若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数，这与数列具有“性质P”矛盾，故设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，设，则，因为，所以，即数列每一项均是整数由（）知，故数列的每一项均是自然数，且是正整数由题意知，是数列中的项，故是数列中的项，设，则，即因为，故是的约数所以，,当时，得，故，共2019种可能；当时，得，故，共1010种可能；当时，得，故，共3种可能；当时，得，故，共2种可能；当时，得，故，共2种可能；当时，得，故，共1种可能；当时，得，故，共1种可能；当时，得，故，共1种可能综上，满足题意的数列共有（种）经检验，这些数列均符合题意 点睛：本题的难点是第（）问，难在先要通过分析转化得到数列的特征，,这一点突破后，后面就迎刃而解了.本题主要考查学生的知识迁移转化能力，属于难题.21.已知矩阵，向量求向量，使得【答案】【解析】【分析】利用矩阵的运算法则及矩阵相等的定义即可求出.【详解】， 设，由得 ，即， 解得，所以【点睛】本题主要考查了矩阵的运算法则，属于中档题.22.在平面直角坐标系中，直线1的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程是，（为参数），直线1与圆C交于两个不同的点，点P在圆C上运动，求面积的最大值.【答案】【解析】试题分析：根据直线及圆的方程，可求出，设点，则点到直线的距离为，即可求出面积最大值.试题解析：设点，则点到直线的距离为从而求出面积最大值为23.如图，在四棱锥中，平面，M为的中点.（1）求异面直线所成角的余弦值；（2）点N在线段上，且，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.【答案】（1）（2）1【解析】试题分析：（1）利用空间向量求线线角，先根据题意确定空间直角坐标系，设立各点坐标，表示直线方向向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据线线角与向量夹角关系得线线角余弦值（2）利用空间向量求线面角，先根据题意确定空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求面的法向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据线面角与向量夹角互余关系列等量关系，解出的值试题解析：（1）因为平面，且平面，所以，又因为，所以两两互相垂直分别以为轴建立空间直角坐标系，则由，可得，又因为为的中点，所以所以，2分所以，所以异面直线，所成角的余弦值为5分（2）因为，所以 ，则，设平面的法向量为，则即令，解得，所以是平面的一个法向量7分因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得，所以的值为10分考点：利用空间向量求空间角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.24.如图，将一个正三角形的每一边都等分后，过各分点作其它两边的平行线形成一个三角形网.记为n等分后图中所有梯形的个数.（1）求的值；（2）求的表达式.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）直接作出图形，分别求得值即可；（2）先分清楚梯形分别有正放和反放两张情况，分别求得他们的个数，可得总个数，再利用排列组合数和n为奇数偶数，进行化简，可得