高等数学微分中值定理教学PPT课件.ppt

第三章导数的应用,第一节微分中值定理,第二节函数的性质,第三节洛必达法则,1,第一节微分中值定理,本节主要内容:,2,一、罗尔中值定理,定义3.1.1导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点),3,引理的直观意义:可导函数极值点处的切线平行于x轴.,4,定理3.1.1（罗尔中值定理）设函数y=f(x)在区间a,b上有定义，如果（1）函数f(x)在闭区间a，b上连续；（2）函数f(x)在开区间（a，b）内可导；（3）函数f(x)在区间两端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)；则在（a，b）内至少存在一个点ab，使得f()=0.,例如,5,定理的证明,6,7,罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点，在该点处的切线平行于x轴(如下图）。,8,1.罗尔定理中的是(a,b)内的某一点，定理仅从理论上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值；,2.罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个条件均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件不全满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下例子：,两点说明：,9,例,10,例,11,例1验证罗尔中值定理对函数f(x)=x3+4x2-7x-10在区间-1,2上的正确性，并求出,解得,令f(x)=3x2+8x-7=0,（1）f(x)=x3+4x2-7x-10在区间-1,2上连续；,（2）f(x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；,（3）f(-1)=f(2)=0；,所以f(x)满足定理的三个条件.,解,12,例2证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根,存在性：令f(x)=x5-5x+1，则f(x)在0,1上连续,f(0)=1，f(1)=-3，由介值定理：至少存在一点x0(0,1),使f(x0)=0，x0即为方程的小于1的正实根.,唯一性：设另有x1(0,1),x1x0,使f(x1)=0,因为f(x)在x1，x0之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一点(在x1，x0之间),使得f()=0,但f(x)=5x4-50,x(0,1),矛盾,所以为唯一实根.,证明,13,例3不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数，说明方程f(x)=0有几个实根,函数f(x)在R上可导,所以在区间1,2,2,3上满足罗尔定理的条件,所以在区间（1,2)（2,3)内分别至少有一实根；,又f(x)=0是二次方程,至多有二个实根；,所以方程f(x)=0有且仅有两个实根,它们分别落在区间（1,2)（2,3)内,解,14,定理3.1.2（拉格朗日中值定理）设函数y=f(x)满足（1）在闭区间a，b上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；那么在(a，b)内至少存在一点(ab)，使得f(b)-f(a)=f()(b-a)或,二、拉格朗日中值定理,15,注意到,Rolle定理是Lagrange定理的特殊情况。,证明思想,构造辅助函数法,由于证明这个定理，目前只有Rolle定理可用，因此想若能构造一个辅助函数(x),使其满足Rolle定理的条件，同时想办法接近要证明的结论.,16,则函数j(x)在区间ab上满足罗尔定理的条件(1)(2)又,作辅助函数,所以，由罗尔中值定理，在(a,b)内至少存在一点,使,即f(a)-f(b)=f()(b-a),定理的证明,17,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,1.拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立的充分不必要条件；,2.当f(a)=f(b)时，拉格朗日中值定理即为罗尔中值定理；,3.设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,x0,x0+x(a,b)则有,几点说明：,18,拉格朗日定理的几何意义：当曲线方程满足拉格朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点，使得该点的切线平行于曲线两端点(a,f(a)与(b,f(b)的连线，其斜率为,19,推论1设y=f(x)在a,b上连续，若在(a,b)内的导数恒为零，则在a,b上f(x)为常数.,推论2如果函数y=f(x)与y=g(x)在区间(a,b)内的导数处处相等，即f(x)=g(x)，则这两个函数在(a,b)内只相差一个常数，即f(x)-g(x)=C,20,设f(x)=arcsinx+arccosx,由推论1知f(x)=C,所以,例4证明：,又因为,即,证明,则f(x)在0,1上连续，又,21,设f(x)=ln(1+x),则f(x)在0,x上满足拉格朗日中值定理的条件，即,由于,因为00时，,所以上式变为,即,证明,22,定理3.1.3（柯西中值定理）设函数y=f(x)与y=g(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且g(x)在(a,b)内恒不为零，则至少存在一点(a,b)，使得,注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(x)=x时的一种特例。,三、柯西中值定理,23,分析:,问题转化为证,构造辅助函数,证:作辅助函数,且,24,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考:柯西定理的下述证法对吗?,两个不一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,25,弦的斜率,切线斜率,几何意义：,注意：,26,