大学物理课件4刚体

刚体刚体 本课时教学基本要求本课时教学基本要求 1、掌握刚体平动、定点转动和定轴转动等概、掌握刚体平动、定点转动和定轴转动等概 念，理解刚体的基本运动为定轴转动和平动；念，理解刚体的基本运动为定轴转动和平动； 2、理解力矩和转动惯量的物理意义；、理解力矩和转动惯量的物理意义； 3、掌握刚体转动惯量的计算、定轴转动定律、掌握刚体转动惯量的计算、定轴转动定律 及其应用；及其应用； 4、掌握刚体角动量定理和角动量守恒。、掌握刚体角动量定理和角动量守恒。 2018/3/221 刚体刚体 4.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 一、刚体一、刚体 比质点更接近自然界中的物体的比质点更接近自然界中的物体的理想模型理想模型，即，即 考虑了物体的形状和大小，但其形状和大小不会因考虑了物体的形状和大小，但其形状和大小不会因 受外力而改变受外力而改变。 刚体是大量质点的集合或大量质点组成的系统。刚体是大量质点的集合或大量质点组成的系统。 研究的方法：研究的方法：将刚体看成由许多小质点将刚体看成由许多小质点-质元组质元组 成，利用已知的质点规律的叠加来研究刚体的成，利用已知的质点规律的叠加来研究刚体的整体整体 规律规律 2018/3/222 刚体刚体 定轴转动绕某轴转动 质点的运动整体平动 刚体的运动 定轴转动绕某轴转动 质点的运动整体平动 刚体的运动 二、刚体的运动分类二、刚体的运动分类 平动和转动，可以描述所有质元（质点）的运动。平动和转动，可以描述所有质元（质点）的运动。 一般运动：质心的平动加绕质心的转动一般运动：质心的平动加绕质心的转动 三、刚体的平动三、刚体的平动 几何学特征：刚体中任意直线在运动过程中始终几何学特征：刚体中任意直线在运动过程中始终 保持平行。保持平行。 运动学特征：刚体中的各质点具有完全相同的运运动学特征：刚体中的各质点具有完全相同的运 动状况（任意时刻相同动状况（任意时刻相同 v 和和 a ) )。 刚体刚体质点质点 2018/3/223 刚体刚体 刚体平动刚体平动质点运动质点运动 平动：若刚体中所有点平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同，的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始连线总是平行于它们的初始 位置间的连线位置间的连线 . 2018/3/224 刚体刚体 四、刚体的定轴转动四、刚体的定轴转动 定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不 动的直线（转轴）上。各质元的线量一般不同（因为半径动的直线（转轴）上。各质元的线量一般不同（因为半径 不同）但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。不同）但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。 如果转轴上只有一点固定不动，而转轴的方向在不断的改如果转轴上只有一点固定不动，而转轴的方向在不断的改 变，这种运动称为变，这种运动称为定点转动定点转动。 转动平面：与转轴垂直的平面。转动平面：与转轴垂直的平面。 转动平面上各质点的运动转动平面上各质点的运动 刚体的刚体的定轴转动定轴转动 定轴转动的特点：各点绕轴作圆周运动，平行轴的各点具有相定轴转动的特点：各点绕轴作圆周运动，平行轴的各点具有相 同的运动状态。同的运动状态。 刚体的定轴转动的描述刚体的定轴转动的描述 2018/3/225 刚体刚体 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动动. 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 . 刚体的平面运动刚体的平面运动 . 2018/3/226 刚体刚体 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+ 2018/3/227 刚体刚体 x 五、刚体运动的描述：（共同特征五、刚体运动的描述：（共同特征-角量描述）角量描述） 1. 角速度、角加速度：角速度、角加速度： 定轴转动：刚体上每一质点定轴转动：刚体上每一质点 均在作绕轴的圆周运动均在作绕轴的圆周运动 z 参考平面参考平面 )(t )()(ttt+= 角位移角位移 )(t=角坐标角坐标 约定约定 r 沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 r 沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 tt t d d lim 0 = = 角速度角速度 参考轴参考轴 z 2018/3/228 刚体刚体 角加速度：平均角加速度角加速度：平均角加速度 瞬时角加速度瞬时角加速度 ttt = = 12 12 2 0 lim ttt t d d d d 2 = 角速度作为矢量：角速度作为矢量：* 所以角加速度也是矢量所以角加速度也是矢量 dt d = 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向 来越慢；方向相反，转动速度越与 来越快；方向一致，转动速度越与 来越慢；方向相反，转动速度越与 来越快；方向一致，转动速度越与 2018/3/229 刚体刚体 2. 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动 at+= 0 vv 2 2 1 00 attxx+=v )(2 0 2 0 2 xxa+= vv t+= 0 )(2 0 2 0 2 += 2 2 1 00 tt+= 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 2018/3/2210 刚体刚体 3. 角量与线量的关系角量与线量的关系 t er =v r t e v 2 n t ra ra = = t a n a n 2 t erera += t d d = tt 2 2 d d d d = a 2018/3/2211 刚体刚体 r F M 沿沿Z Z轴分量为轴分量为对对Z 轴的力矩轴的力矩, , 如何求如何求？Z M M F sinrFM = =MrF= ，= ， 对对O 点的力矩点的力矩：F 一一. . 力矩力矩(torque) Z F 转 动 平 面 r A M Z M O 4.2 4.2 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 2018/3/2212 刚体刚体 一般而言，力不处在转动平面内一般而言，力不处在转动平面内 FrM = 只能引起轴的只能引起轴的 变形变形, 对转动无贡献对转动无贡献。 1 Fr )( 21 FFr += 21 FrFr += 转动 平面 1 F F 2 F r 问问: 1 Fr 作用是什么作用是什么? 答答: 2018/3/2213 刚体刚体 是转轴到力作是转轴到力作 用线的距离，称为力臂用线的距离，称为力臂。 sindr= 22 sin Z MrFF d= （1 1） （2 2）对转轴的力矩垂直对转轴的力矩垂直 转轴，转轴， 1 F 在定轴转动中不予考虑。在定轴转动中不予考虑。 （3 3）在转轴方向确定后，力对在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用转轴的力矩方向可用+ +、- -号表示。号表示。 转动 平面 1 F F 2 F r 因此因此: d 2018/3/2214 刚体刚体 （4） 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消 jiij MM = j r i r i j ij F ji F d O ij M ji M 2018/3/2215 刚体刚体 O r m z 二二转动定律推导转动定律推导 F t F n F sinrFM = mrmaF= tt 2 iejjjj rmMM=+ 2）刚体刚体 质量元受质量元受外外力力，内内力力 j F e j F i M 1）单个质点单个质点与转与转 轴刚性连接轴刚性连接 m 外外力矩力矩内内力矩力矩 2 mrM = 2 t mrrFM= O z j m j r j F e j F i 2018/3/2216 刚体刚体 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成 正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 . rmMM jj j j j j 2 ie =+ 0= j ijjiij MMM )rmM jj j j 2 e ( = 转动定律转动定律JM = 2 j j jr mJ =定义转动惯量定义转动惯量mrJd 2 = O z j m j r j F e j F i 2018/3/2217 刚体刚体 讨论：讨论： （3 3）问问: :J J 的大小与哪些因素有关的大小与哪些因素有关? ? （2 2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；负的力矩为正；负方向加速的力矩为负。方向加速的力矩为负。 t JJM d d = 转动惯量是转动转动惯量是转动惯性大小的量度；惯性大小的量度； （1） M 一定，一定，J 转轴位置，质量分布转轴位置，质量分布 = 2 iir mJ 2018/3/2218 刚体刚体 三、转动惯量三、转动惯量 积分元选取：积分元选取： = =md l,ldd线元：线密度：线元：线密度： S,Sdd面元：面密度：面元：面密度： V,Vdd体元：体密度：体元：体密度： md md md 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量 += 2 22 2 11 2 rmrmrmJ j j j 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量 mrrmJ j j j d 22 =：质量元：质量元 md 2018/3/2219 刚体刚体 【例例】求转动惯量求转动惯量 mm l mm l l 2m l 2 i i ir mJ = = 222 2 ) 2 () 2 (l ml m l mJ=+=+= 2 mlJ = = 2 2mlJ = = 转动惯量与质量分布有关。转动惯量与质量分布有关。* 2018/3/2220 刚体刚体 l O O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 r rmdd= = l rrJ 0 2d rd 3 2/ 0 2 12 1 d2lrrJ l = 2 3 1 ml= r rrmrJddd 22 = rd 2l2l O O 2 12 1 ml= 如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒 可见可见: J=Jc+m(l/2)2 【例】【例】一一质量为质量为、长为长为的的均匀细长棒，求通均匀细长棒，求通 过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . m l 2018/3/2221 刚体刚体 O R O R 4 0 3 2 d2RrrJ R = r d r 【例】【例】一质量为一质量为、半径为、半径为的均匀圆盘，求通过的均匀圆盘，求通过 盘中心盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 . mR 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为，在盘，在盘 上取半径为上取半径为，宽为，宽为的圆的圆 环环 rrd 2 Rm=而而 rrmd2d=圆环质量圆环质量 2 2 1 mRJ =所以所以 rrmrJd2dd 32 = 圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量 2018/3/2222 刚体刚体 2 mdJJ CO += 四四 平行轴定理平行轴定理 P 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、形形 状及转轴的位置状及转轴的位置 . 质量为质量为的刚体的刚体，如果对如果对 其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则 则 对任一与该轴平行对任一与该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量 C J m d d C O m 注意注意 22 2 1 mRmRJ P += 圆盘对圆盘对P 轴轴 的转动惯量的转动惯量 RmO 2018/3/2223 刚体刚体 平行轴定理和垂直平行轴定理和垂直 轴定理轴定理 2 mdJJ CO +=+= yxz JJJ+= 2018/3/2224 刚体刚体 竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？ 2018/3/2225 刚体刚体 观看转动惯量的录像！观看转动惯量的录像！ 2018/3/2226 刚体刚体 五五刚体的回转半径刚体的回转半径 刚体的回转刚体的回转 半径半径 刚体的回转半径刚体的回转半径 = 半径为半径为 的薄圆环的转动惯量的薄圆环的转动惯量 g R m J Rg= i iir mJ 2 222 )( g i gi i ii mRRmrmJ= 质量都分布在同一距离上质量都分布在同一距离上 回转半径反映了刚体相对于轴的质量分布。回转半径反映了刚体相对于轴的质量分布。 Rg越大，质量分布离轴越远。越大，质量分布离轴越远。 2018/3/2227 刚体刚体 联合起来运用与 对刚体的动力学问题 联合起来运用与 对刚体的动力学问题 cz maFJM= 六、转动定律及其应用：六、转动定律及其应用： 【解题步骤】：【解题步骤】： （1） 确定研究对象，进行受力分析，画出隔离体受力图；确定研究对象，进行受力分析，画出隔离体受力图； （2） 建立坐标系，假设建立坐标系，假设a、 的正方向，并尽可能使两的正方向，并尽可能使两 者在运动方向保持一致；者在运动方向保持一致； （3） 对质点的平动用牛顿第二定律，对刚体的转动用转对质点的平动用牛顿第二定律，对刚体的转动用转 动定律，列联立方程；动定律，列联立方程； （4） 由物体之间的连接关系及角量与线量的对应关系，由物体之间的连接关系及角量与线量的对应关系， 列出补充方程；列出补充方程； （5） 求解方程，并分析结果的合理性与物理意义。求解方程，并分析结果的合理性与物理意义。 2018/3/2228 刚体刚体 4.5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 = i iiii i i rmrmL)( 2 v 2 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 12 2 1 JJtM t t = d 非刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理 1122 2 1 dJJtM t t = O i r i m i v t L t J dt d JJM d d d )(d = JL = z 2018/3/2229 刚体刚体 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守守 恒条件恒条件0=M 若若不变，不变， 不变；若不变；若变，变， 也变，但也变，但不变不变. JJL =J 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 12 2 1 JJtM t t = d 3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 0=M常量常量= JL，则，则若若 讨论讨论 exin MM 在在冲击冲击等问题中等问题中L常量常量 2018/3/2230 刚体刚体 有许多现象都可以有许多现象都可以 用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明. 自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律动量守恒定律 能量守恒定律能量守恒定律 角动量守恒定律角动量守恒定律 电荷守恒定律电荷守恒定律 质量守恒定律质量守恒定律 宇称守恒定律等宇称守恒定律等 花样滑冰花样滑冰 跳水运动员跳水跳水运动员跳水 2018/3/2231 刚体刚体 作业：作业： 4-2 4-3 4-6 4-9 4-12 2018/3/2232 刚体刚体 飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度 rad75 )6(2 )5( 2 22 0 2 = = = 21 0 srad 6 srad 30 50 = = = t 【例例】一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150rmin-1， 因受因受 制动而均匀减速，经制动而均匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 . 试求：试求：（1）角）角 加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始）制动开始 后后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上时飞轮边缘上 一点的线速度、切向加速度和法向加速度一点的线速度、切向加速度和法向加速度 . 解解 （1） ,srad5 1 0 = . 0 =t = 30 s 时，时， 设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动0 0 =时，时，t = 0 s 2018/3/2233 刚体刚体 （2）s6=t时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度 11 0 srad4srad)6 6 5( =+=t （3）s6=t 时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小 22 sm5 . 2sm42 . 0 =rv 该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度 2222 n 22 t sm 6 . 31sm)4(2 . 0 sm105 . 0 sm) 6 (2 . 0 = = ra ra 转过的圈数转过的圈数r 5 . 37 2 75 2 = N 2018/3/2234 刚体刚体 【例例】在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕 垂直其横截面通过中心的轴转动垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速开始时，它的角速 度度，经，经300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转已知转 子的角加速度与时间成正比子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转问在这段时间内，转子转 过多少转？过多少转？ 0 0 = 解解由题意，令由题意，令，即，即，积分，积分ct=ct t = d d = t ttc 00 dd 得得 2 2 1 ct= 当当t=300s 时时 11 srad600minr18000 = 所以所以 33 22 srad 75 srad 300 60022 = = t c 2018/3/2235 刚体刚体 转子的角速度转子的角速度 232 srad 150 2 1 tct = 由角速度的定义由角速度的定义 23 srad 150 d d t t = 得得tt t dsrad 150 d 0 23 0 = 有有 33 srad 450 t = 在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数 43 103)300( 4502 2 = = N 32 srad)75(2 =tc 2018/3/2236 刚体刚体 例例 质量为质量为的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，和一质静止在光滑水平面上，和一质 量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量、质量 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为的物体的物体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可且滑轮与轴承间的摩擦力可 略去不计略去不计. 问：（问：（1） 两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？ 水平水平 和竖直两段绳索的张力各为多少？（和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体物体 B 从从 B m C m 再求线加速度及再求线加速度及 绳的张力绳的张力. 静止落下距离静止落下距离时，时， 其速率是多少？（其速率是多少？（3） 若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩 擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设 它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为 f M y A m A B C A m B m C m 2018/3/2237 刚体刚体 A B C A m B m C m T1 F T2 F A P Ox T1 F N F A m y O T2 F B P B m amF AT1 = amFgm BT2B = JRFRF= T1T2 Ra = 解解 （1）隔离物体分）隔离物体分 别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作 受力分析，取坐标如图，受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律 、转、转 动定律列方程动定律列方程 . T2 F T1 F C P C F 2018/3/2238 刚体刚体 2 CBA B mmm gm a + = 2 CBA BA T1 mmm gmm F + = 2 )2( CBA BCA T2 mmm gmmm F + + = 如令如令，可得，可得0 C =m BA BA T2T1 mm gmm FF + = （2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率 2/ 2 2 CBA B mmm gym ay + =v A B C A m B m C m T1 F T2 F 2018/3/2239 刚体刚体 （3） 考虑滑轮与轴承间的摩考虑滑轮与轴承间的摩 擦力矩擦力矩，转动定律，转动定律 f