中考数学复习专题4.5 相似三角形的性质及其应用（解析版）

4.5 相似三角形的性质及其应用同步测试相似三角形的性质及其应用同步测试 【浙教版】【浙教版】 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题一选择题 1若ABCDEF，且 SABC：SDEF3：4，则ABC 与DEF 的周长比为（） A3：4B4：3C：2D2： 【思路点拨】由ABCDEF，SABC：SDEF3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方， 即可求得答案 【答案】解：ABCDEF，SABC：SDEF3：4， ABC 与DEF 的相似比为：2， ABC 与DEF 的周长比为：2 故选：C 【点睛】此题考查了相似三角形的性质注意相似三角形面积的比等于相似比的平方 2 （2018 秋道里区期末）如图，ABCADE，且 BC2DE，则的值为（） ABCD 【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可 【答案】解：ABCADE，且 BC2DE， ， ， 故选：B 【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答 3 （2018 秋南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是 15 和 23，它们周长的差是 40，则 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 这两个三角形的周长分别为（） A75，115B60，100C85，125D45，85 【思路点拨】根据两个相似三角形的对应边的长，可求出它们的相似比，也就求出了它们的周长比，再 根据它们的周长差为 40，即可求出两三角形的周长 【答案】解：两相似三角形的一组对应边为 15 和 23， 两相似三角形的周长比为 15：23， 设较小的三角形的周长为 15a，则较大三角形的周长为 23a， 依题意，有：23a15a40，a5， 15a75，23a115， 因此这两个三角形的周长分别为 75，115 故选：A 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比 4 （2019毕节市）如图，在一块斜边长 30cm 的直角三角形木板（RtACB）上截取一个正方形 CDEF，点 D 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上，若 AF：AC1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的面积为（） A100cm2B150cm2C170cm2D200cm2 【思路点拨】设 AFx，根据正方形的性质用 x 表示出 EF、CF，证明AEFABC，根据相似三角形 的性质求出 BC，根据勾股定理列式求出 x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可 【答案】解：设 AFx，则 AC3x， 四边形 CDEF 为正方形， EFCF2x，EFBC， AEFABC， ， BC6x， 在 RtABC 中，AB2AC2+BC2，即 302（3x）2+（6x）2， 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 解得，x2， AC6，BC12， 剩余部分的面积12644100（cm2） ， 故选：A 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解 题的关键 5 （2018 秋襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图在地面上点 P 处放一水 平的平面镜， 光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处， 已知 ABBD， CDBD， 且测得 AB1.2 米，BP1.8 米，PD18 米，那么该古城墙的高度是（） A6 米B8 米C12 米D24 米 【思路点拨】因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形， 利用对应边成比例即可解答 【答案】解：由题意知：APBCPD，ABPCDP90， RtABPRtCDP， ， CD12（米） 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出 方程，建立适当的数学模型来解决问 6 （2019 春海州区校级月考）若 P 是 RtABC 斜边 BC 上异于 B，C 的一点，过点 P 作直线截ABC，截 得的三角形与原ABC 相似，满足这样条件的直线有（）条 A1B2C3D4 【思路点拨】过点 P 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直 角就可以 【答案】解：由于ABC 是直角三角形， 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 过 P 点作直线截ABC，则截得的三角形与ABC 有一公共角， 所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与 RtABC 相似， 过点 P 可作 AB 的垂线、AC 的垂线、BC 的垂线，共 3 条直线 故选：C 【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个 三角形相似）来判定两个三角形相似 7 （2018 秋嘉兴期末）如图，有一块三角形余料 ABC，BC120mm，高线 AD80mm，要把它加工成一 个矩形零件，使矩形的一边在 BC 上，点 P，M 分别在 AB，AC 上，若满足 PM：PQ3：2，则 PM 的 长为（） A60mmBmmC20mmDmm 【思路点拨】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题 【答案】解：如图，设 AD 交 PN 于点 K PM：PQ3：2， 可以假设 MP3k，PQ2k 四边形 PQNM 是矩形， PMBC， APMABC， 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 ADBC，BCPM， ADPN， ， ， 解得 k20mm， PM3k60mm， 故选：A 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题 型 8 （2019新乐市二模） “今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几 何步而见木？”这段话摘自九章算术 意思是说：如图，矩形城池 ABCD，东边城墙 AB 长 9 里，南 边城墙 AD 长 7 里，东门点 E、南门点 F 分别是 AB、AD 中点，EGAB，FHAD，EG15 里，HG 经 过 A 点，则 FH（） A1.2 里B1.5 里C1.05 里D1.02 里 【思路点拨】首先根据题意得到GEAAFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求 得答案即可 【答案】解：如图所示： EGAB，FHAD，HG 经过 A 点， FAEG，EAFH， HFAAEG90，FHAEAG， GEAAFH， AB9 里，DA7 里，EG15 里， FA3.5 里，EA4.5 里， 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 ， 解得：FH1.05 里 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形 9 （2018 春南票区期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，O1、O2、O3分别是对角线 BD 上的三点，且 BO1 O1O2O2O3O3D，连接 AO1并延长交 BC 于点 E，连接 EO3并延长交 AD 于点 F，则 AF：DF 等于 （） A19：2B9：1C8：1D7：1 【思路点拨】根据题意，易得BO3EDO3F 和BO1EDO1A，利用相似的性质得出 DF：BE 的 值，再求出 BE：AD 的值，进而求出 AF：DF 【答案】解：根题意，在平行四边形 ABCD 中， 易得BO3EDO3F BE：FD3：1 BO1EDO1A BE：AD1：3 AD：DF9：1 AF：DF（ADFD） ：DF（91） ：18：1 故选：C 【点睛】考查了平行四边形的性质，对边相等利用相似三角形三边成比例列式，求解即可 10 （2018 秋秀洲区期末）如图，点 G 是ABC 的重心，下列结论中正确的个数有（） ；EDGCBG； 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 A1 个B2 个C3 个D4 个 【思路点拨】根据三角形的重心的概念和性质得到 AE，CD 是ABC 的中线，根据三角形中位线定理得 到 DEBC，DEBC，根据相似三角形的性质定理判断即可 【答案】解：点 G 是ABC 的重心， AE，CD 是ABC 的中线， DEBC，DEBC， DGEBGC， ，正确； ，正确； EDGCBG，正确； （）2，正确， 故选：D 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌 握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍是解题的 关键 二填空题二填空题 11 （2019奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是1：2 【思路点拨】根据 D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，求证DEFABC，然后利用相似三角形周 长比等于相似比，可得出答案 【答案】解：如图， D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点， DEAC，DFBC，EFAB， 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 DE+DF+EFAC+BC+AB， DEFABC， 所得到的DEF 与ABC 的周长之比是：1：2 故答案为：1：2 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利 用了相似三角形周长比等于相似比 12 （2019南关区一模）利用标杆 CD 测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆 CD 的高为 1.5 米，测 得 DE2 米，BD18 米，则建筑物的高 AB 为15米 【思路点拨】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得 CD 的长即可 【答案】解：ABCD， EBAECD， ，即， AB15（米） 故答案为：15 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大 13 （2019曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，已知 AB BD， BD 足分别为 B， D， AO4m， AB1.6m， CO1m， 则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为0.4m 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 【思路点拨】由ABOCDO90、AOBCOD 知ABOCDO，据此得，将已知 数据代入即可得 【答案】解：ABBD，CDBD， ABOCDO90， 又AOBCOD， ABOCDO， 则， AO4m，AB1.6m，CO1m， ， 解得：CD0.4， 栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为 0.4m 故答案为：0.4 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质 14 （2019 春广陵区校级期末）如图，ACB90，CD 是 RtABC 斜边上的高，已知 AB25cm，BC 15cm，则 BD9cm 【思路点拨】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论 【答案】解：CDAB， CDBACB90， BB， ACBCDB， ， ， 解得：BD9cm， 故答案为：9cm 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 15 （2019 春滨湖区期末）如图，平行四边形 ABCD 中，点 E 为 BC 边上一点，AE 和 BD 交于点 F，已知 ABF 的面积等于 6，BEF 的面积等于 4，则四边形 CDFE 的面积等于11 【思路点拨】利用三角形面积公式得到 AF：FE3：2，再根据平行四边形的性质得到 ADBE，SABD SCBD，则可判断AFDEFB，利用相似的性质可计算出 SAFD9，所以 SABDSCBD15，然 后用BCD 的面积减去BEF 的面积得到四边形 CDFE 的面积 【答案】解：ABF 的面积等于 6，BEF 的面积等于 4， 即 SABF：SBEF6：43：2， AF：FE3：2， 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBE，SABDSCBD， AFDEFB， （）2（）2， SAFD49， SABDSCBD6+915， 四边形 CDFE 的面积15411 故答案为 11 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构 造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质 三解答题三解答题 16 （2019余杭区二模）如图，在ABC 中，AD、BE 是中线，它们相交于点 F，EGBC，交 AD 于点 G （1）求证：FGEFDB； （2）求的值 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 【思路点拨】 （1）由 GEBC，可得出GEFDBF，再结合对顶角相等即可得出FGEFDB； （2）根据三角形中位线定理以及中线的定义得出 GEBD、AGDG，再利用相似三角形的性质得出 DFDG，进而即可得出 【答案】 （1）证明：GEBC， GEFDBF 又GFEDFB， FGEFDB； （2）AD、BE 是中线，EGBC， GE 为ADC 的中位线，BDDC， GEDCBD，AGDG FGEFDB， ， DFDG， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中线的定义以及中位线定理，解题的关键是： （1） 由 GEBC 利用相似三角形的判定定理证出EGFBDF； （2）根据相似三角形的性质结合中位线定 理得出 DFDG、AGDG 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 17 （2018 秋梁溪区校级期中） （1）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABC90，点 P 是边 AB 上 一点，若PADCBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点 P； （2）在（1）的条件下，若 AB8，AD3，BC4，则 AP 的长是2 或 6 【思路点拨】 （1）先作 CD 中垂线得出 CD 的中点，再以中点为圆心，CD 为半径作圆，与 AB 的交点 即为所求； （2）证APDBPC 得，即，解之可得 【答案】解： （1）如图所示，点 P1和点 P2即为所求 （2）ABBC， B90 ADBC， A180B90， PADPBC90 ADP+APD90， 由（1）知，CPD90， APD+BPC90， ADPBPC， APDBPC， ，即， 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 解得：AP2 或 AP6 故答案为：2 或 6 【点睛】本题主要考查作图相似变换，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及圆周角定理，相似 三角形的判定与性质等知识点 18 （2018 秋德清县期末）如图，点 C，D 在线段 AB 上，CD2ACDB，且PCD 是等边三角形 （1）证明：ACPPDB； （2）求APB 的度数 【思路点拨】 （1）根据 PCPDCD，以及 CD2ACDB，可得，又ACPPDB，则ACP PDB； （2）根据（1）的结论求出APC+BPD 度数，最后加上CPD 度数即可 【答案】 （本小题 8 分） 解： （1）PCD 是等边三角形， PCDPDC60， ACPPDB120， CD2ACDB，由 PCPDCD 可得：PCPDACDB， 即， ACPPDB； （2）ACPPDB， APCPBD PDB120， DPB+DBP60， APC+BPD60 APBCPD+APC+BPD120 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直 是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据 基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用， 有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可 19 （2018 秋昌图县期末）如图，路灯（点 P）距地面 6m，身高 1.5m 的学生小明从路灯的底部点 O 处， 沿射线 OH 走到距路灯底部 9m 的点 B 处，此时小明的身影为 BN，接着小明走到点 N 处，此时的身影为 AM求学生小明的身影长度变长了多少米 （小明如图中 BD、AC 所示） 【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可 【答案】解：由题意知，PONDBN90，PONDBN 又OB9 BN3，OA12 由题意知，POMCAM90，POMCAM 又OA12 AM4，OM16 身影长 BN3，AM4，AMBN4