数学中考总复习：二次函数--知识讲解（基础）VIP

选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 中考总复习：二次函数中考总复习：二次函数知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【考纲要求】【考纲要求】 1二次函数的概念常为中档题主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等； 2二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点； 3抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题 一般较难，在解答题中出现 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考点一、二次函数的定义考点一、二次函数的定义 一般地，如果（a、b、c 是常数，a0） ，那么 y 叫做 x 的二次函数 2 yaxbxc 要点诠释：要点诠释： 二次函数(a0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次 2 yaxbxc 式，x 的最高次数是 2(2)二次项系数 a0 考点二、二次函数的图象及性质考点二、二次函数的图象及性质 1.二次函数(a0)的图象是一条抛物线，顶点为 2 yaxbxc 2 4 , 24 bacb aa 2.当 a0 时，抛物线的开口向上；当 a0 时，抛物线的开口向下 3.|a|的大小决定抛物线的开口大小|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大 c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置c0 时，抛物线过原点；c0 时，抛物线与 y 轴交于正 半轴；c0 时，抛物线与 y 轴交于负半轴 ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置当 ab0 时，对称轴为 y 轴；当 ab0 时，对称轴在 y 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 轴左侧；当 ab0 时，对称轴在 y 轴的右侧 4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到 2 ()ya xhk 2 yax 将向上移动 k 个单位得： 2 yax 2 yaxk 将向左移动 h 个单位得： 2 yax 2 ()ya xh 将先向上移动 k(k0)个单位，再向右移动 h(h0)个单位，即得函数 2 yax 2 ()ya xhk 的图象 要点诠释：要点诠释： 求抛物线 2 yaxbxc（a0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入 法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用 考点三、二次函数的解析式考点三、二次函数的解析式 1.1.一般式一般式：(a0) 2+ yaxbxc 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出 2 yaxbxc a、b、c 的值 2.2.交点式（双根式）交点式（双根式）： 12 ()()(0)ya xxxxa 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为 ，将第三点(m，n)的坐标(其中 m、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系 12 ()()ya xxxx 数，最后将解析式化为一般形式 3.3.顶点式顶点式： 2 ()(0)ya xhk a 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为 ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式 2 ()ya xhk 4.4.对称点式对称点式： 12 ()()(0)ya xxxxm a 若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为 ，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形 12 ()()(0)ya xxxxm a 式 要点诠释：要点诠释： 已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点 式. 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 (可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点 式：（a0）.(由此得根与系数的关系：). 考点四、二次函数考点四、二次函数(a(a0)0) 的图象的位置与系数的图象的位置与系数 a a、b b、c c 的关系的关系 2 yaxbxc 1.开口方向：a0 时，开口向上，否则开口向下 2.对称轴：时，对称轴在 y 轴的右侧；当时，对称轴在 y 轴的左侧0 2 b a 0 2 b a 3.与 x 轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有 2 40bac 2 40bac 2 40bac 交点 要点诠释：要点诠释： 当 x1 时，函数 ya+b+c； 当 x-1 时，函数 ya-b+c； 当 a+b+c0 时，x1 与函数图象的交点在 x 轴上方，否则在下方； 当 a-b+c0 时，x-1 与函数图象的交点在 x 轴的上方，否则在下方 考点五、二次函数的最值考点五、二次函数的最值 1.当 a0 时，抛物线有最低点，函数有最小值，当时， 2 yaxbxc 2 b x a 2 4 4 acb y a 最小 2.当 a0 时，抛物线有最高点，函数有最大值，当时， 2 yaxbxc 2 b x a 2 4 4 acb y a 最大 要点诠释：要点诠释： 在求应用问题的最值时，除求二次函数的最值，还应考虑实际问题的自变量的取 2 yaxbxc 值范围 【典型例题】【典型例题】 类型一、应用二次函数的定义求值类型一、应用二次函数的定义求值 1二次函数 y=x2-2（k+1）x+k+3 有最小值-4，且图象的对称轴在 y 轴的右侧，则 k 的值 是 【思路点拨】 因为图象的对称轴在 y 轴的右侧，所以对称轴 x=k+10，即 k-1；又因为二次函数 y=x2-2（k+1） x+k+3 有最小值-4，所以 y最小值= =-4，可以求出 k 的值 4 4 2 （k+3（-(2k+2) 【答案与解析】 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 解：图象的对称轴在 y 轴的右侧， 对称轴 x=k+10， 解得 k-1， 二次函数 y=x2-2（k+1）x+k+3 有最小值-4， y最小值= =k+3-（k+1）2=-k2-k+2=-4， 4 4 2 （k+3（-(2k+2) 整理得 k2+k-6=0， 解得 k=2 或 k=-3， k=-3-1，不合题意舍去， k=2 【总结升华】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法， 第三种是公式法 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知是二次函数，求 k 的值 2 4 (3) kk ykx 【答案】是二次函数，则 2 4 (3) kk ykx 2 42, 30 kk k ， 由得， 2 42kk 2 60kk 即，得，显然，当 k-3 时，(3)(2)0kk 1 3k 2 2k 原函数为 y0，不是二次函数 k2 即为所求 类型二、二次函数的图象及性质的应用类型二、二次函数的图象及性质的应用 2把抛物线向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式 2 yx 为( ) A B 2 (1)3yx 2 (1)3yx C D 2 (1)3yx 2 (1)3yx 【思路点拨】 抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线 y=-x2顶点坐标为（0，0） ，向左平移 1 个单位， 然后向上平移 3 个单位后，顶点坐标为（-1，3） ，根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式 【答案】 D； 【解析】根据抛物线的平移规律可知：向左平移 1 个单位可变成， 2 yx 2 (1)yx 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 再向上平移 3 个单位后可变成 2 (1)3yx 【总结升华】(1)图象向左或向右平移|h|个单位，可得的图象(h0 时向左，h 2 yax 2 ()ya xh 0 时向右) (2)的图象向上或向下平移|k|个单位，可得的图象(k0 时向上，k0 2 yax 2 yaxk 时向下) 举一反三：举一反三： 【变式变式】将二次函数的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得图象的 2 yx 函 数表达式是( ) A B 2 (1)2yx 2 (1)2yx C D 2 (1)2yx 2 (1)2yx 【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减”得故选 A. 2 (1)2yx 类型三、求二次函数的解析式类型三、求二次函数的解析式 3已知二次函数的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为，求这个二次 2 yaxbxc 9 2 函数的解析式 【思路点拨】 将点（1，0），（-5，0）代入二次函数 y=ax2+bx+c，再由 ，从而求得 a，b，c 的 49 42 ac a 2 -b 值，即得这个二次函数的解析式 【答案与解析】 解法一：由题意得 解得 0, 2550, 9 42, 2 abc abc abc 1 , 2 2, 5 . 2 a b c 所以二次函数的解析式为 2 15 2 22 yxx 解法二：由题意得 (1)(5)ya xx 把代入，得，解得2x 9 2 y 9 ( 2 1) ( 25) 2 a 1 2 a 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 所以二次函数的解析式为， 1 (1)(5) 2 yxx 即 2 15 2 22 yxx 解法三：因为二次函数的图象与 x 轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知， 对称轴是直线所以，抛物线的顶点是2x 9 2, 2 可设函数解析式为即 2 9 (2) 2 ya x 2 15 2 22 yxx 【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式 举一反三：举一反三： 【高清课程名称：二次函数与中考 高清 ID 号：359069 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 1】 【变式变式】已知：抛物线 2 (1)yxbxc经过点( 12 )Pb， （1）求bc的值； （2）若3b ，求这条抛物线的顶点坐标； （3）若3b ，过点P作直线PAy轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且2BPPA，求 这条抛物线所对应的二次函数关系式 （提示：请画示意图思考） 【答案】 解：（1）依题意得： 2 ( 1)(1)( 1)2bcb ， 2bc （2）当3b 时，5c ， 22 25(1)6yxxx 抛物线的顶点坐标是( 16)， y x O BP A （3）解法 1：当3b 时，抛物线对称轴 1 1 2 b x ， 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 对称轴在点P的左侧 因为抛物线是轴对称图形，( 12 )Pb，且2BPPA ( 32 )Bb， 1 2 2 b 5b 又2bc ，7c 抛物线所对应的二次函数关系式 2 47yxx 解法 2：当3b 时， 1 1 2 b x ， 对称轴在点P的左侧因为抛物线是轴对称图形， ( 12 )PbQ，且2( 32 )BPPABb， 2 ( 3)3(2)2bcb 又2bc ，解得：57bc ， 这条抛物线对应的二次函数关系式是 2 47yxx 解法 3：2bc Q，2cb ， 2 (1)2yxbxb BPx轴， 2 (1)22xbxbb 即： 2 (1)20 xbxb 解得： 12 1(2)xxb ，即(2) B xb 由2BPPA，1 (2)2 1b 57bc ， 这条抛物线对应的二次函数关系式 2 47yxx. 类型四、二次函数图象的位置与类型四、二次函数图象的位置与 a a、b b、c c 的关系的关系 4如图所示是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过 A 点（3，0），对称轴为 x=1，给出 四个结论：b2-4ac0；2a+b=0；a+b+c=0；当 x=-1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0把正确 结论的序号填在横线上 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 【思路点拨】 根据函数图象得出抛物线开口向下得到 a 小于 0，且抛物线与 x 轴交于两个点，得出根的判别式大于 0，即选项正确；对称轴为 x=1，利用对称轴公式列出关于 a 与 b 的关系式，整理后得到 2a+b=0，选 项正确；由图象得出 x=1 时对应的函数值大于 0，将 x=1 代入抛物线解析式得出 a+b+c 大于 0，故选 项错误；由抛物线与 x 轴的一个交点为 A（3，0），根据对称轴为 x=1，利用对称性得出另一个交点 的横坐标为-1，从而得到 x=-1 或 x=3 时，函数值 y=0，选项正确，即可得出正确的选项序号 【答案与解析】 解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在 y 轴右侧，对称轴为 x=1， 与 y 轴交点在正半轴，与 x 轴有两个交点， a0，b0，c0，b2-4ac0，选项正确； 当 x=1 时，y=a+b+c0，选项错误； 图象过 A 点（3，0），对称轴为 x=1， 另一个交点的横坐标为-1，即坐标为（-1，0）， 又，2a+b=0，选项正确；1 2 b a 当 x=-1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0，选项正确， 则正确的序号有 故答案为：. 【总结升华】 此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中 a 由抛物线的开口方向决定，a 与 b 同号对称轴在 y 轴 左边；a 与 b 异号对称轴在 y 轴右边，c 的符合由抛物线与 y 轴的交点在正半轴或负半轴有关；抛物线 与 x 轴的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负 来进行判断 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图所示是二次函数图象的一部分，图象经过点 A(-3，0)，对称轴为 2 yaxbxc1x 给出四个结论：；其中正确结论是（ ） 2 4bac20ab0abc5ab 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 A B C D 【答案】本例是利用二次函数图象的位置与 a、b、c 的和、差、积的符号问题，其中利用直线，1x 交抛物线的位置来判断，的符号问题应注意理解和掌握1x abcabc 由图象开口向下，可知 a0，图象与 x 轴有两个交点，所以， 2 40bac 2 4bac 确对称轴为，所以，又由 a0，b2a，可得 5ab，正确1 2 b x a 2ba 故选 B. 类型五、求二次函数的最值类型五、求二次函数的最值 5某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售 价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元)设每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整 数)，每个月的销售利润为)y 元 (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上的结论，请你直接写出 售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元? 【思路点拨】 （1）每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件，当每件商品的售价上涨 x 元时，每个月可卖 出（210-10 x）件，每件商品的利润为 x+50-40=10+x； （2）每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即（210-10 x） （10+x） ，当每个月的利润恰为 2200 元时得到方程（210-10 x） （10+x）=2200求此方程中 x 的值 【答案与解析】 (1)y(210-l0 x)(50+x-40)-10 x2+110 x+2100(0x15 且 x 为整数) (2)y-10(x-5.5)2+2