四川泸第四中学高三数学上学期第一次月考理

四川省泸县第四中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 理第I卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知是虚数单位，则1+3i1+i= A. 2iB. 2+iC. 2+iD. 2i2.已知集合M=x|x2x20,xR，N=y|y=12x2+1,xR，则MN=A. x|1x1B. x|1x2C. x|2x1D. x|1xbcB. acbC. cabD. bac11.将函数f(x)=cos(2x+)(0b0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）A. 13B. 33C. 12D. 32第卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若实数x，y满足约束条件yx，x+y1，x3y+30.，则z=3x+y的最小值为_.14.二项式(x+2y)6展开式中x4y2的系数为_（用数字作答）15.已知Sn为等比数列an的前n项和，a3=8a6，若S4=S2，则实数的值为_.16.抛物线C:y2=4x的焦点为F，在C上存在A，B两点满足AF=3FB，且点A在x轴上方，以A为切点作C的切线，与该抛物线的准线相交于M，则M的坐标为_.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且ccosB+b2acosC=0.（）求角C的大小；（）若c=2，求ABC的面积S的最大值.18.（本大题满分12分）即将于2019年夏季毕业的某大学生准备到贵州非私营单位求职，为了了解工资待遇情况，他在贵州省统计局的官网上，查询到2008年到2017年非私营单位在岗职工的年平均工资近似值（单位：万元），如下表：年份2008200920102011201220132014201520162017序号x12345678910年平均工资y2.52.93.23.84.35.05.56.37.07.5（）请根据上表的数据，利用线性回归模型拟合思想，求y关于x的线性回归方程y=bx+a（a，b的计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位）；（）如果毕业生对年平均工资的期望值为8.5万元，请利用（1）的结论，预测2019年的非私营单位在岗职工的年平均工资（单位：万元。计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位），并判断2019年平均工资能否达到他的期望.参考数据：i=110xiyi=311.5，i=110xi2=385，i=110xixyiy=47.512345678910xix220.2512.256.252.250.250.252.256.2512.2520.25附：对于一组具有线性相关的数据：x1，y1，x2，y2，xn，yn，其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为b=i=1nxiyinxyi=1nxi2nx2 =i=1nxixyiyi=1nxix2，a=ybx19.（本大题满分12分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BAD=60，AC与BD交于点O，将ADB沿直线DB折起到PDB的位置（点P不与A，C两点重合）.（）求证：不论PDB折起到何位置，都有BD平面PAC；（）当PO平面ABCD时，点M是线段PC上的一个动点，若OM与平面PBC所成的角为30，求PMMC的值.20.（本大题满分12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (ab0)的左，右焦点F1，F2，上顶点为M，F1MF2=60，P为椭圆上任意一点，且PF1F2的面积最大值为3.（）求椭圆C的标准方程；（）若点A.B为椭圆C上的两个不同的动点，且0AOB=t（O为坐标原点），则是否存在常数t，使得O点到直线AB的距离为定值？若存在，求出常数t和这个定值；若不存在，请说明理由.21.（本大题满分12分）已知函数f(x)=lnx+12ax2(a+1)x(aR).（）当a1时，函数f(x)在区间1,e上的最小值为-5，求a的值；（）设g(x)=xf(x)12ax3+12(a+1)x2x，且g(x)有两个极值点x1，x2.（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：x1x2e2.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程（10分）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：sin24cos=0，直线的参数方程为：x=1+t,y=2t,（t为参数）.（I）把曲线C的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程；（II）若直线与曲线C相交于A,B两点，求AB.23.已知函数f(x)=x1+x+k(k0).（）当k=2时，求不等式f(x)5的解集；（）若函数f(x)的最小值为3，且a,b,cR*，a+b+c=k，证明：a2+b2+c243.2019-2020学年度秋四川省泸县四中高三第一学月考试理科数学试题答案1.B2.A3.C4.C5.D6.C7.C8.A9.D10.B11.A12.B13.214.60.15.5416.1，23316.作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BEAC于E由抛物线的定义结合题中的数据，可算出RtABE中，cosBAE=12，得BAE60，从而得到直线AB的方程，再与抛物线联立，求得A点坐标，求得切线方程，与x=-1联立，求得M的坐标作出抛物线的准线l：x1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BEAC于EAF=3FB，设|FB|m，则|AF|3m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|DB|FB|m，|AC|AF|3m，|AE|2m因此，RtABE中，cosBAE=12，得BAE60所以，直线AB的倾斜角AFx60，得直线AB的斜率ktan60=3直线AB的方程为y=3（x1），代入y24x，可得3x210x+30，x3或x=13，A在x轴上方，A（3，23），设过A的切线的斜率为m，则切线的方程为y-23=m（x-3），与y2=4x联立得到y2=4（y-23m+3），=0，可得m=33，过A的切线的方程为y=33x+3，与x-1联立可得y=233M的坐标为-1，233故答案为-1，23317.解：（1）因为ccosB+b-2acosC=0，所以sinCcosB+sinB-2sinAcosC=0，所以sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，所以sinB+C=2sinAcosC.又因为A+B+C=，所以sinA=2sinAcosC.又因为A0,，所以sinA0，所以cosC=12.又C0,，所以C=3.（2）据（1）求解知，C=3，所以c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab.又c=2，所以4=a2+b2-ab.又a2+b22ab，当且仅当a=b时等号成立，所以ab4.所以ABC面积的最大值SABCmax=12absinCmax=124sin3=3.18（1）由已知，得x=5.5，y=4.8.又b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi2-nx2 =47.5385-105.520.58，所以，a=y=bx=4.8-0.585.5=1.61，故y关于x的线性回归方程为y=0.58x+1.61（2）由（1）y=0.58x+1.61，当x=12时，y=0.5812+1.61=8.578.5.所以，预测2019年的非私营单位在岗职工的年平均工资为8.57万元，达到了他的期望.19.（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.因为PB=PD，点O是BD的中点，所以BDPO.又因为AC平面PAC，PO平面PAC，ACPO=O，所以BD平面PAC.（2）解：以OB，OC，OP的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz如下图所示.易知OP=BPsin60=432=23，OB=BCcos60=2，OC=BCsin60=23，则点P0,0,23，B2,0,0，C0,23,0，所以PC=0,23,23，BC=2,23,0.设PMMC=，则PM=+1PC=+10,23,23=0,23+1,23+1.所以OM=OP+PM=0,0,23+0,23+1,23+1=0,23+1,23+1.设平面PBC的一个法向量为m=x,y,z，则由mPC=0,mBC=0,得23y23z=0,2x+23y=0,解得y=z,x=3y.令y=1，得平面PBC的一个法向量为m=3,1,1，所以cosm,OM=mOMmOM=3,1,10,23+1,23+15232+1+1=cos60=12，解得=415.故所求PMMC的值为4+15或415.20()由题得，e=ca=12122cb=3a2=b2+c2 ，解得a2=4b2=3 ， 椭圆的标准方程为x24+y23=1. ()设Ax1,y1 ，Bx2,y2，当直线AB的斜率存在时，设其直线方程为：y=kx+n， 则原点O到直线AB的距离为d=nk2+1， 联立方程3x2+4y2=12y=kx+n，化简得，4k2+3x2+8knx+4n2-12=0， 由0得4k2-n2+30，则x1+x2=-8kn4k2+3，x1x2=4n2-124k2+3， OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+nkx2+n=k2+1x1x2+knx1+x2+n2=t即7d2-12-4tk2+7d2-12-3t=0对任意的kR恒成立，则7d2-12-4t=07d2-12-3t=0 t=0，d=2217， 当直线AB斜率不存在时，也成立. 故当t=0时，O点到直线AB的距离为定值d=2217.21.解：（）f(x)=1x+ax-(a+1)=a(x-1a)(x-1)x，a1，x1,e，f(x)0，所以f(x)在区间1,e上为单调递增.所以f(x)min=f(1)=12a-(a+1)=-5a=8，又因为a=81，所以a的值为8.（）（i）g(x)=xlnx+12ax2-(a+1)x-12ax3+12(a+1)x2-x =xlnx-12(a+1)x2-x，且g(x)的定义域为(0,+)，g(x)=lnx+1-(a+1)x-1=lnx-(a+1)x.由g(x)有两个极值点x1，x2，等价于方程lnx-(a+1)x=0有两个不同实根x1，x2.由lnx-(a+1)x=0得：a+1=lnxx.令h(x)=lnxx(x0)，则h(x)=1-lnxx2，由h(x)=0x=e.当x(0,e)时，h(x)0，则h(x)在(0,e)上单调递增；当x(e,+)时，h(x)0，则h(x)在(e,+)上单调递减.所以，当x=e时，h(x)=lnxx取得最大值h(e)max=1e，h(1)=0，当x(0,1)时，h(x)0，所以0a+11e，解得-1a1e-1，所以实数a的取值范围为(-1,1e-1).（ii）证明：不妨设0x1e2，只需证ln(x1x2)=x1+x2x2-x1lnx2x12.即证：lnx2x12x2-x1x2+x1=2(x2x1-1)1+x2x1.令t=x2x1(t1)，设F(t)=lnt-2(t-1)1+t=lnt+4t+1-2，F(t)=(t-1)2t(t+1)20.F(t)在(1,+)上单调递增，F(t)F(1)=0，即lnt2(t-1)1+t，x1x2e2.22.()由sin2-