2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及解答2

2016年清华大学领军计划数学测试题1椭圆，两条直线：，：，过椭圆上一点作两条直线的平行线，分别与两条直线交于，两点，若为定值，则（ ） 2已知为正整数，那么方程的解有（ ）组 3将个数：个、个、个、个填入的矩阵中，要求每行、每列正好有个偶数，则共有_种填法. 接下来填数，故共有种填法. 4对于复数，和的实部和虚部均为不小于的正数，则在复平面中，所对应的向量的端点运动所形成的图形面积为_.5下列计算正确的是（ ）6从114的正整数中任选出若干数构成一个集合，该集合中任个数不构成等差数列，求元素最多的集合的元素个数. 7已知，求值. 8一堆数乘在一起有很多种乘的顺序，如三个数可以有，四种不同的乘法，记个数的乘法为，则（ ） 9，那么（ ） 10为圆的一条弦，为圆上一点，交延长线于，则以下结论正确的是（ ）共圆 共圆 共圆 共圆 11为中点，正方体棱长为，中心为，则（ ） 12问一个正边形，任选顶点顺序相连构成的凸多边形中，正多边形有（ ）个 13求不定方程解的个数（ ） 14在内，则_，_.15，求_.16在项有穷数列中，满足时，；时，至少有一项在中，则的最大值为_.17_.18，求的范围和的范围.19在正三棱锥中，的边长为，设到平面的距离为，当趋近于正无穷时，异面直线与之间的距离为_.20均为非负实数，满足，则的最大值为_，最小值为_.21实数，则的最大值为_.22有最小值，则的解的个数为_.23，下列叙述正确的是（ ）为定值 为完全平方数 为完全平方数24已知抛物线：，过作弦交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ）以为直径的圆与始终相离 的最小值为 的最小值为 以为直径的圆与轴有且仅有一个交点25.对于函数和，下列说法正确的事 .二者在处有公切线 .二者存在平行切线.两者只有一个交点 .两者有两个交点26.为椭圆上一点，,为左右焦点，下列说法正确的是 .时，满足的点有个.时，满足的点有个.27.随机变量的分布列为，则下列说法正确的是 .若成等差数列，则.若满足，则.若，则.若，则28.甲，乙，丙，丁四人参加比赛并有两个获奖，以下是四人对获奖人的猜测：甲：获奖者在乙，丙，丁中乙：我未获奖，丙获奖丙：甲丁有一人获奖丁：乙说的是正确的已知四人中有两个人的猜测是正确的那么获奖人是 .解析，若乙对，则丁对，甲对，故乙错， 29.下列能够成唯一的是 .， .，. . ，30甲，乙，丙，丁四个人进行网球赛规定甲乙一组，丙丁一组先打，胜者再打决胜局，四人相互对战对战时胜率如图，求甲获胜的概率为 .31.已知实数，满足，则的最大值与最小值乘积属于区间（ ）. 32. 为为锐角形的（ ）. 充要非必要条件 必要非充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件33.已知集合，任取，这三个式中至少有一个成立，则的最大值（ ）. 2016年清华大学领军计划数学测试题解答1椭圆，两条直线：，：，过椭圆上一点作两条直线的平行线，分别与两条直线交于，两点，若为定值，则（ ） 【解析】C 法1：设，,方向向量，法2：设，可得，为定值，所以，故.注（）若将这两条直线的方程改为，则；（）两条相交直线上各取一点，使得为定值，则线段中点的轨迹为圆或者椭圆.2已知为正整数，那么方程的解有（ ）组 【解析】法1、列举法.， ，法2、最小，最大，以分类讨论当时，可得，通分可得，因式分解可得，此时需要对进行分解，则，故可得，同理当时，当时，当时，3将个数：个、个、个、个填入的矩阵中，要求每行、每列正好有个偶数，则共有_种填法.【解析】我们将题目稍作变形，将本题变为在矩阵中染色，黑白二色，要求每行每列正好有两个黑色；将数字填入这些色块第一步，我们在第一列涂上两个黑色，为方便起见，我们用代表黑色，用代表白色第一列涂两个黑色如图所示，这样有种涂法，接下来我们研究第二层，分三种情况涂色：第一种，这样的涂法有1种，并且下面两行只有这1种涂法、第二种，这样的涂法有种，下面的话有、这2种，所以第二种共有种涂法第三种，这样的涂法有1种，下面的涂法有种，所以第三种有种涂法，故共有78种涂法接下来填数，故共有种填法.方法二、首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有种选择，下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填一个偶数，设为，情形一：若，位于同一行，它们的位置有种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定.情形二：若，位于不同的两行，它们的位置有种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有种选择.所以偶数的不同位置数为种，因此总的填法数位为.4对于复数，和的实部和虚部均为不小于的正数，则在复平面中，所对应的向量的端点运动所形成的图形面积为_.【解析】(田)与的角相等，设为，设，则，令，则有，即为阴影面积，(第一可以用积分的方法，第二可以用面积的方法)方法二：设，其中.由于，于是 如图弓形面积为，四边形的面积为，于是所求面积为5下列计算正确的是（ ）【解析】BD ，故，由此可证6从114的正整数中任选出若干数构成一个集合，该集合中任个数不构成等差数列，求元素最多的集合的元素个数.【解析】(田)列举（从114中删去公差为1时的等比数列，然后相继删去公差为2公差为3，为47已知，求值.【解析】裂项求和，8一堆数乘在一起有很多种乘的顺序，如三个数可以有，四种不同的乘法，记个数的乘法为，则（ ） 【解析】根据卡特兰数的定义，可得9，那么（ ） 【解析】数形结合，表示半径为的球，表示一个平面，所以范围出来.，所以范围出来.（法3）由，可知.设，则，是关于的方程的三个实根.令，利用导数可得，所以，等号显然可以取到.故选项,都对，因为，所以，等号显然取到.故选项错，选项对.10为圆的一条弦，为圆上一点，交延长线于，则以下结论正确的是（ ）共圆 共圆 共圆 共圆【解析】选项：首先连接、，即让证明，则延长交于，延长交于点，则易知，故四点共圆选项，由选项可看出，当在上从向运动时，在逐渐增大，而也在逐渐增大，故并不恒等于，故四点并不共圆.选项，连接、，则我们要证四点共圆，即要证，而，故四点共圆选项： 三点不动，显然不共圆11为中点，正方体棱长为，中心为，则（ ） 【解析】. 如图12问一个正边形，任选顶点顺序相连构成的凸多边形中，正多边形有（ ）个 【解析】选.找的约数，若，则有多边形个，则分解，即13求不定方程解的个数（ ） 层数为，故为偶数，设，或或，解得，14在内，则_，_.【解析】奔驰定理得，15，求_.【解析】原式=，16在项有穷数列中，满足时，；时，至少有一项在中，则的最大值为_.【解析】假设该数列包含正数并且正数项大于3，则取三项，由可知，而假设有第四个正数出现时，取，则同理可得矛盾，故正项至多有三项，同理负项至多有三项，而零当然可以加进来，故至多有七项17_.【解析】18，求的范围和的范围.【解析】几何意义，根据题意画出图形,则在中，可得，解得，再根据余弦定理求出的范围19在正三棱锥中，的边长为，设到平面的距离为，当趋近于正无穷时，异面直线与之间的距离为_.【解析】.当时，趋于与平面垂直，所求极限为中边上的高，为20均为非负实数，满足，则的最大值为_，最小值为_.【解析】，.，求的最值.方法二、由柯西不等式可知，当且仅当时，取到最大值.根据题意，有，于是，解得，于是的最小值当时取到，为21实数，则的最大值为_.【解析】.不等式，22有最小值，则的解的个数为_.【解析】有最小值，个数为23，下列叙述正确的是（ ）为定值 为完全平方数 为完全平方数【解析】验证，因为，所以正确，由于，故，对任意正整数恒成立，所以，故，正确.24已知抛物线：，过作弦交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ）以为直径的圆与始终相离 的最小值为 的最小值为 以为直径的圆与轴有且仅有一个交点【解析】25.对于函数和，下列说法正确的事 .二者在处有公切线 .二者存在平行切线.两者只有一个交点 .两者有两个交点解析：26.为椭圆上一点，,为左右焦点，下列说法正确的是 .时，满足的点有个.时，满足的点有个.【解析】焦点三角形，为椭圆上下顶点时，最大，.27.随机变量的分布列为，则下列说法正确的是 .若成等差数列，则.若满足，则.若，则.若，则28.甲，乙，丙，丁四人参加比赛并有两个获奖，以下是四人对获奖人的猜测：甲：获奖者在乙，丙，丁中乙：我未获奖，丙获奖丙：甲丁有一人获奖丁：乙说的是正确的已知四人中有两个人的猜测是正确的那么获奖人是 .解析，若乙对，则丁对，甲对，故乙错， 29.下列能够成唯一的是 .， .，. . ，【解析】.，正确；.正弦定理，余弦定理，错误；.，所以为直角或等边三角形，错误；.显然成立，正确.30.甲，乙，丙，丁四个人进行网球赛规定甲乙一组，丙丁一组先打，胜者再打决胜局，四人相互对战对战时胜率如图，求甲获胜的概率为 .【解析】根据概率的乘法公式，所求概率为.31.已知实数，满足，则的最大值与最小值乘积属于区间（ ）. 32. 为为锐角形的（ ）. 充要