2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及解答1

2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题1.已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ）A. B. C. D.取决于的值 2. 已知的三个内角所对的边分别为.下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（ ）A. B.C.D. 3.已知函数，下列说法中正确的有（ ）A.在点处有公切线B.存在的某条切线与的某条切线平行C. 有且只有一个交点D. 有且只有两个交点 4. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点.下列说法中正确的有（ ）A.以线段为直径的圆与直线一定相离B. 的最小值为C. 的最小值为D.以线段为直径的圆与轴一定相切 5. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点.下列说法中正确的有（ ）A.时，满足的点有两个B. 时，满足的点有四个C.的周长小于D. 的面积小于等于 6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7. 已知为圆的一条弦（非直径），于，为圆上任意一点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点.以下说法正确的有（ ）A.四点共圆 B. 四点共圆C. 四点共圆 D.以上三个说法均不对 8.是为锐角三角形的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件9.已知为正整数，且，那么方程的解的组数为（ ）A. B. C. D. 10.集合，任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 11.已知，则下列各式中成立的有（ ）A.B.C. D. 12.已知实数满足，则的最大值与最小值的乘积属于区间（ ）A. B. C. D. 13.已知，则下列结论正确的有（ ）A.的最大值为 B. 的最大值为C. 的最大值为 D. 的最小值为 14.数列满足，对任意正整数，以下说法中正确的有（ ）A.为定值 B.或C.为完全平方数 D.为完全平方数 15. 若复数满足，则可以取到的值有（ ）A. B. C. D. 16. 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若为正多边形的个数为（ ）A. B. C. D. 17.已知椭圆与直线，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点.若为定值，则（ ）A. B. C. D. 18. 关于的不定方程的正整数解的组数为（ ）A. B. C. D. 19.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数相乘的时候，可以有等等不同的次序.记个实数相乘时不同的次序有种，则（ ）A. B. C. D. 20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲获冠军的概率是 .21.在正三棱锥中，的边长为1.设点到平面的距离为，异面直线的距离为.则 .22.如图，正方体的棱长为1，中心为，则四面体的体积为 .23. .24.实数满足，则的最大值为 . 25.均为非负实数，满足，则的最大值与最小值分别为 . 26.若为内一点，满足，设，则 . 27.已知复数，则 . 28.已知为非零复数，的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，所对应的向量的端点运动所形成的图形的面积为 . 29.若，则 .30.将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法. 31.设是集合的子集，从中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则中元素个数的最大值为 . 2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题解答1.已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ）A. B. C. D.取决于的值答案：注意，答案C.2. 已知的三个内角所对的边分别为.下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（ ）A. B.C.D.答案：对于选项A，由于，于是有唯一取值2，符合题意；对于选项B，由正弦定理，有，可得，无解；对于选项C，条件即，于是，不符合题意；对于选项，由正弦定理，有，又，于是，符合题意.答案：AD.3.已知函数，下列说法中正确的有（ ）A.在点处有公切线B.存在的某条切线与的某条切线平行C. 有且只有一个交点D. 有且只有两个交点答案：注意到为函数在处的切线，如图，因此答案BD.4. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点.下列说法中正确的有（ ）A.以线段为直径的圆与直线一定相离B. 的最小值为C. 的最小值为D.以线段为直径的圆与轴一定相切答案：对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离；对于选项B,C，设，则，于是，最小值为4.也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.答案：AB.5. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点.下列说法中正确的有（ ）A.时，满足的点有两个B. 时，满足的点有四个C.的周长小于D. 的面积小于等于答案：对于选项A,B，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点；对于选项C，的周长为；对于选项D，的面积为.答案：ABCD.6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案：乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD.7. 已知为圆的一条弦（非直径），于，为圆上任意一点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点.以下说法正确的有（ ）A.四点共圆 B. 四点共圆C. 四点共圆 D.以上三个说法均不对答案：对于选项A，即得；对于选项B，若命题成立，则为直径，必然有为直角，不符合题意；对于选项C，即得.答案：AC.8.是为锐角三角形的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件答案：必要性：由于,类似地，有，于是.不充分性：当时，不等式成立，但不是锐角三角形.答案：B.9.已知为正整数，且，那么方程的解的组数为（ ）A. B. C. D.答案：由于，故.若，则，可得；若，则，可得；若，则，进而解得；若，则，可得.答案：B.10.集合，任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D.答案：不妨假设，若集合中的正数的个数大于等于4，由于和均大于，于是有，从而，矛盾！所以集合中至多有3个正数.同理可知集合中最多有3个负数.取，满足题意，所以的最大值为7.答案B.11.已知，则下列各式中成立的有（ ）A.B.C. D. 答案：令，则，所以，以上三式相加，即有.类似地，有，以上三式相加，即有.答案BD.12.已知实数满足，则的最大值与最小值的乘积属于区间（ ）A. B. C. D.答案：设函数，则其导函数，作出的图象，函数的图象在处的切线，以及函数的图象过点和的割线，如图，于是可得，左侧等号当或时取得； 右侧等号当时取得.因此原式的最大值为，当时取得；最小值为，当时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为.答案B.13.已知，则下列结论正确的有（ ）A.的最大值为 B. 的最大值为C. 的最大值为 D. 的最小值为答案：由可得.设，则是关于的方程的三个根.令，则利用导数可得，所以，等号显然可以取到.故选项A,B都对.因为，所以，等号显然可以取到，故选项C错误.答案ABD.14.数列满足，对任意正整数，以下说法中正确的有（ ）A.为定值 B.或C.为完全平方数 D.为完全平方数答案：因为.所以A选项正确；由于，故，又对任意正整数恒成立，所以，故选项C,D正确.计算前几个数可判断选项错误.答案：ACD.说明：若数列满足，则为定值.15. 若复数满足，则可以取到的值有（ ）A. B. C. D. 答案：因为，故，等号分别当和时取得.答案CD.16. 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若为正多边形的个数为（ ）A. B. C. D.答案：从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出个构成正多边形，这样的正多边形有个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008.考虑到，因此所求正多边形的个数为.答案C.17.已知椭圆与直线，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点.若为定值，则（ ）A. B. C. D.答案：设点，可得，故意为定值，所以，答案：C.说明：（1）若将两条直线的方程改为，则；（2）两条相交直线上各取一点，使得为定值，则线段中点的轨迹为圆或椭圆.18. 关于的不定方程的正整数解的组数为（ ）A. B. C. D.答案：方程两边同时模3，可得，因不能被3整除，故不能被3整除，所以，故，所以为偶数，可设，则有，解得即答案：B.19.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数相乘的时候，可以有等等不同的次序.记个实数相乘时不同的次序有种，则（ ）A. B. C. D.答案：根据卡特兰数的定义，可得.答案：AB.关于卡特兰数的相关知识见卡特兰数计数映射方法的伟大胜利.20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲获冠军的概率是 .答案：根据概率的乘法公式 ，所示概率为.21.在正三棱锥中，的边长为1.设点到平面的距离为，异面直线的距离为.则 .答案：当时，趋于与平面垂直，所求极限为中边上的高，为.22.如图，正方体的棱长为1，中心为，则四面体的体积为 .答案：如图，.23. .答案：根据题意，有.24.实数满足，则的最大值为 .答案：根据题意，有，于是，等号当时取得，因此所求最大值为1.25.均为非负实数，满足，则的最大值与最小值分别为 .答案：由柯西不等式可知，当且仅当时，取到最大值.根据题意，有，于是解得.于是的最小值当时取得，为.26.若为内一点，满足，设，则 .答案：根据奔驰定理，有.27.已知复数，则 .答案：根据题意，有.28.已知为非零复数，的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，所对应的向量的端点运动所形成的图形的面积为 .答案：设，由于，于是如图，弓形面积为，四边形的面积为.于是所示求面积为.29.若，则 .答案：根据题意，有.30.将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法.答案：首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有种选择.下面考虑这两个偶数所在的列，每