微分方程建模实例——Malthus模型与Logistic模型

.,4微分方程建模Malthus模型与Logistic模型,4.1.人口增长模型4.2.赝品的鉴定4.3.耐用新产品的销售速度问题4.4.传染病模型,.,4.1人口增长模型,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律，控制人口过快增长！,.,模型一(最简单的人口增长模型)：,假设今年的人口是x0,人口的年增长率是常数r,于是，k年后的人口为:,美丽的大自然,.,模型二(指数增长模型，即Malthus模型)：,马尔萨斯(17661834)Malthus，ThomasRobert,英国著名经济学家，出生于英格兰的一个土地贵族家庭.1784年进入剑桥大学学习，1798年加入英国教会的僧籍,任牧师.1799年到欧洲一些国家调查人口问题.1805年成为英国第一位(也是世界上第一位)政治经济学教授.,.,模型假设：人口增长率r是常数.人口的数量本应取离散值，但由于人口数量一般较大，为建立微分方程模型，可以将人口数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的.,.,模型构成：,设x(t)表示t时刻的人口，有,当r0，随着时间的增加，人口按指数规律无限增长!,回忆：,.,模型检验：,比较历年的人口统计资料，可以发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符.特别，利用马尔萨斯模型验证并检查1700年至1961的260年间人口实际数据，发现两者几乎完全一致！例如，1961年世界人口数为30.6亿，人口数大约每35年增加一倍.,.,模型预测：,假如人口数真能保持每35年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达21014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达361015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了.故马尔萨斯模型是不完善的.,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，当总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象.,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关.,.,模型三(阻滞增长模型，即Logistic模型)：,由荷兰生物数学家P.F.Verhust于1837年在研究人口问题时建立.基于这个模型能够描述一些事物的客观规律，常被称为Logistic模型.,由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高.,阻滞作用随人口数量增加而变大,.,假定,r(0)=r0：固有增长率,xm：人口容量(资源、环境能容纳的最大数量),s的意义是什么？,.,.,模型检验和预测：,大量实验资料表明用Logistic模型描述种群的增长，效果相当不错!例如，数学家高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r0=2.309，x0=5,xm=375的Logistic曲线：几乎完全吻合.,.,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学规律与Malthus模型与Logistic模型所反映的数学规律类似即可.,阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测；而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用.,总结,.,4.2赝品的鉴定,在第二次世界大战比利时解放后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯.他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家汉凡米格伦(HanvanMeegeren)，此人曾将17世纪荷兰著名画家约翰内斯维米尔(JohannesVermeer)的一些油画卖给了当时纳粹德国的空军司令戈林.,维米尔名作戴珍珠耳环的少女,.,最初，米格伦的确惊慌了一阵子.可是，米格伦在同年7月12日在牢里突然宣称：他从未把真画卖给戈林，而且他还说，这些画包括当时众所周知的油画在埃牟斯的门徒都是他自己为“戏弄纳粹”的仿制品.一位法官试图证明米格伦确有通过制赝牟利的动机，他却高调回答：“如果我不卖个高价，他们就不会相信这是真的！”,在埃牟斯的门徒（TheDisciplesatEmmaus）米格伦最著名的伪作之一,.,这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，米格伦在监狱里开始伪造维米尔的油画在埃牟斯的门徒.旁听的民众为之疯狂，在短短的时间内，卖国贼成了民族英雄，罪名转化为盛名，1947年10月12日米格伦被宣告犯有伪造罪，判刑一年.可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日去世了.,.,六十年后，美国记者、专栏作家乔纳森洛佩兹(JonathanLopez)出版了制造维米尔的人(ThemanwhomadeVermeers)一书.在书中，洛佩兹表达了对那个时代荷兰人民的体谅：“荷兰人对米格伦的态度并非不可理解.在二战中，这个国家遭遇了残酷的羞辱，光复也是在盟国的帮助下完成.米格伦给了未能主宰自身命运的荷兰人内心深处想要得到的东西.而对于欺骗这种事情，他又是太熟谙了.”,.,然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的在埃牟斯的门徒是米格伦伪造的.事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下.专家小组对于怀疑者的回答是：由于米格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制在埃牟斯的门徒，来证明他高于三流画家.当创造出这样的杰作后，他的志气消退了.而且，当他看到这幅在埃牟斯的门徒那么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了.这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学确定地证明在埃牟斯的门徒的确是一个伪造品.这一问题拖了20年，直到1967年，才被卡内基梅伦大学的科学家们基本解决.,.,原理与模型,出发点：测定油画中颜料矿物质的年龄.测定年龄的关键依赖于二十世纪初发现的放射性现象.,放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在二十世纪初发现，某些“放射性”元素的原子是不稳定的，在一段时间内，有一定比例的原子会自然蜕变形成新元素的原子，且物质的放射性正比于现存物质的原子数.,用N(t)表示时刻t时存在的原子数,则：,(为物质的衰变率),.,和N(t)能测出或算出，只要再知道N0就可断代.这正是问题的难处，下面是间接确定N0的方法.,其解为:,称tt0为衰变时间,于是,.,与本问题相关的其他知识:,(1)艺术家们应用白铅作为颜料之一，已有两千多年历史.白铅中含有微量的放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系.(2)衡量物质衰变的一个常用参数是它的半衰期，即给定数目的放射性原子衰变一半所需的时间.,令,则有:,利用,.,(3),(放射性),(无放射性),地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀.一方面，铀系中各种放射性物质均在不断衰减；另一方面，铀又不断衰减，补充着其后继元素.,.,设t时刻1克白铅中铅210的含量为N(t)；设镭单位时间铅210的分解数为r(常数)；设为铅210的衰变率，则N(t)满足微分方程：,由此解得：,模型构成：,.,若此画是真品，t-t0300(年).从而可求出N0的近似值.对油画在埃牟斯的门徒具体计算如下：,于是，,由于半衰期:,于是，,.,地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀.一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素.从而，各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中.从铅矿中提炼铅时，铅210与铅206一起被作为铅留下，而其余物质则有9095%被留在矿渣里，因而打破了原有的放射性平衡.各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于3%的.,与本问题相关的进一步的知识:,.,由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀与铅的单位时间分解数相同.设u是铀的衰变率，是铅210的衰变率，U0是0时刻白铅中铀的含量，N0是0时刻白铅中铅210的含量.于是，由此推算出每克白铅中铅210每分钟分解数不能大于30000个，否则铀的含量将超过4%，而这是不可能的.,.,若,则,(个),这些铀约0.04克！,即每克白铅约含0.04克铀，含量为4%.,以上确定了每克白铅中铅分解数的上界，若画上的铅分解数大于该值，说明画是赝品；但若是小于不能断定画一定是真品.,.,4.3耐用新产品的销售速度问题,一种耐用新产品进入市场后，一般会都经过一个销售量先不断增加，然后下降的过程.研究新产品销售量的变化规律,对于制定生产计划以及制定促销策略都很有意义.怎样建立数学模型描述产品的销售速度，并由此给出一些有用的结果以指导生产？,.,模型构成：,设需求量有一个上界，记此上界为K.(对于耐用产品,人们一般不会重复购买.因此,产品的累积销售量可认为是购买者人数)记t时刻已销售出的商品数量为x(t)，则尚未使用该商品的人数为Kx(t).于是，x(t)满足,此方程即Logistic模型，解为：,.,此方程即Logistic模型，解为：,在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降.,.,此方程即Logistic模型，解为：,所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有20%用户到有80%用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果.,.,4.4传染病模型,医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在世界范围内被消灭，鼠疫、霍乱等传染病得到控制.但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命.被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？,.,模型一,记时刻t已感染(infective)的病人数为i(t).每个病人在单位时间内传染的人数为常数.一个人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡.设i(t)是连续可微函数.开始时有i0个传染病人.,模型假设及符号说明：,.,模型构成：,模型检验：,此模型即Malthus模型.它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值；但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况.,.,在传染病传播期间，一个病人单位时间内传染的人数应该是变化的.有必要将人群划分成病人与健康者，来建立两房室系统.在初期，较大；随着病人的增多，健康者减少，被传染的机