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2014年北京大学秋令营数学试题 2014年11月14日 18:3022:301、已知ABC满足AB+AC=2R，其中R是外接圆的半径，且A为钝角；A与三角形外接圆圆心的连线交BC于点D，若ABD的内切圆半径为1，求ADC的内切圆半径。2、证明：若a,b是正整数，则不是完全平方数。3、已知ai,bi,ci (i=1,2,3,4)是实数，求证：4、令求所有的正整数n，使得f(n)是素数5、对正整数n，称正整数组（）为n的一个（无序的）分拆，如果，并称每个为分拆的项。计为项全为奇数的n分拆的集合，为项两两不等的n的分拆的集合，试在与之间建立一个双射。6、设d是一个大于100的整数，M是所有在十进制下数码和为d的倍数的正整数的集合，an是将M中的数从小到大排列后的第n个数，求证：存在无穷多个n，使得【部分试题参考解答】第一题可以猜到答案也是1（因为AB=AC时答案是1），然后只需证ABD和ACD的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD和ACD的内角可以用C、B表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A是钝角可以由AB+AC=2R推出，所以是多余的条件。第二题 (a2+3b2+4)2(a+2)2+3b2)(a-2)2+3b2)=(a2+3b2+4)2-16(a)2(a2+3b2-4)2，然后分类讨论即可。第三题由于整理一下，令即可第四题n为奇数时2整除f(n)，n为偶数时nn+1整除f(n)第五题这个题在很多书上有，下面是天书的截图第六题考虑大于10k的M中的最小正整数x，有10k=x，故我们只需证有无穷多个k使得x=10k
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