2013年北大自主招生联考数学试题及解答

2013年北约自主招生数学试题 2013-3-16（时间90分钟，满分120分）一 选择题（每题8分，共48分）1以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少 （ ）A2 B3 C5 D6 2在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）A720 B20 C518400 D144003已知，则的值为 （ ） A-10 B-12 C-14 D-16E4如图， 在ABC中，D为BC中点，DM平分ADB交AB于点M，DN平分ADC交AC于N，则BM+CN与MN的关系为 ( ) A.BM+CNMN B.MN+CN MN C.BM+CN =MN D.无法确定5设数列满足，前项和为，求6模长为的复数满足，求A-1/2 B1 C2 D无法确定二、解答题(每题18分,共72分)7最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数8已知，为2013个实数，满足，且，求证9对于任意的，求的值10已知有个实数，排列成阶数阵，记作使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，有；现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，有，试判断中每一行的各数的大小关系，并加以证明2013年北约自主招生数学试题解析2013-3-16（时间90分钟，满分120分）一 选择题（每题8分，共48分）1以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少 （ ）A2 B3 C5 D6 【解析】 显然为满足要求的多项式，其次数为5若存在次有理系数多项式以和为两根，则必含有因式，即最小次数为5故选C2在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）A720 B20 C518400 D14400【解析】 先排3个红色車，从6行中任取3行，有种取法；在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法故停放方法共种故选D3已知，则的值为 （ ） A-10 B-12 C-14 D-16【解析】 ，又由，有或当时，有，； 当时，故选DE4如图， 在ABC中，D为BC中点，DM平分ADB交AB于点M，DN平分ADC交AC于N，则BM+CN与MN的关系为 ( ) A.BM+CNMN B.MN+CN MN C.BM+CN =MN D.无法确定【解析】 延长ND至E，使NDED，连结BE、ME，则BEDCND，MEDMND，MEMN，由BMBEEM，得BMCNMN5设数列满足，前项和为，求【解析】 ，；由 ，有时，于是，特征方程有重根2，可设，将，代入上式，得，于是，故选A6模长为的复数满足，求A-1/2 B1 C2 D无法确定【解析】 取，便能得到1下面给出证明，于是 1二、解答题(每题18分,共72分)7最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数【解析】 设满足条件的正整数为个考虑模3的同余类，共三类，记为， 则这个正整数需同时满足不能三类都有；同一类中不能有3个和超过3个否则都会出现三数之和为3的倍数故 当时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所以满足要求的正整数最多有4个8已知，为2013个实数，满足，且，求证【解析】 设，若，则，于是，进而若，则， 这2013个数去掉绝对值号后只能取和两值，又，即这2013个数去掉绝对值号后取和两值的个数相同，这不可能9对于任意的，求的值【解析】 ， ， ， ， 各式相加，得10已知有个实数，排列成阶数阵，记作使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，有；现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，有，试判断中每一行的各数的大小关系，并加以证明【解析】 数阵中的中每一行的各数仍是递增的