9 4-多元复合函数的求导法则

高等数学（下）主讲高等数学（下）主讲 王丽娜王丽娜 20152015年年4 4月月8 8日星期三日星期三1 1 证明：证明： ()( )uttt ()( )vttt 一、链锁法则一、链锁法则 ，获得增量获得增量设设tt 第四节第四节多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 定理定理设设u= (t)及及v= (t)在点在点t可导，可导，z=f (u, v)在其对应点在其对应点 (u, v)具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数z=f( (t), (t)在点在点t可导，可导， 且有下列公式计算：且有下列公式计算： ddd ddd zzuzv tutvt 则则 (,)( , )zf uu vvf u v 又因又因z=f (u, v)在在 (u, v)具有连续偏导数，具有连续偏导数， 高等数学（下）主讲高等数学（下）主讲 王丽娜王丽娜 20152015年年4 4月月8 8日星期三日星期三2 2 t v t u t v v z t u u z t z 21 12 zz zuvuv uv uv v 12 00 0 lim0, lim0 其其中中 0 ddd lim ddd t zzzuzv ttutvt 注：注：以上公式中的导数以上公式中的导数称为称为全导数。全导数。 d d z t 高等数学（下）主讲高等数学（下）主讲 王丽娜王丽娜 20152015年年4 4月月8 8日星期三日星期三3 3 定理结论的多种推广：定理结论的多种推广： zzuzvzw tutvtwt dddd dddd z u v w t (1) z u v (2) x y zzuzv xu xvx zzuzv yuyvy 例例1. 设设 ,sin, 32 tytxez yx . dt zd 求 高等数学（下）主讲高等数学（下）主讲 王丽娜王丽娜 20152015年年4 4月月8 8日星期三日星期三4 4 (4) z u x y x y ( , , ),( , )zf u x yux y z x z y fzu u x zu u x yy f x, y为自变量为自变量x, y为中间变量为中间变量 zzuzvzw xu xvxwx zzuzvzw yuyvywy z u w v (3) x y 高等数学（下）主讲高等数学（下）主讲 王丽娜王丽娜 例例2. 设设 ,sinyxvyxuvez u ., y z x z 求 解: x z veusin y z veusin x v v z veucos y v v z veucos 1 1 z vu yxyx 20152015年年4 4月月8 8日星期三日星期三5 5 高等数学（下）主讲高等数学（下）主讲 王丽娜王丽娜 例例3. 设,sintvuz. d d t z z tvu tt t z d d t ev ttte t cos)sin(cos t u u z d d t z 求全导数求全导数, t eu ,costv 解: tcos 注意：注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到,下列的例题有助于掌握下列的例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 6 620152015年年4 4月月8 8日星期三日星期三 高等数学（下）主讲高等数学（下）主讲 王丽娜王丽娜 为简便起见为简便起见 , 引入记号引入记号 例例4. 设f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, 求求., 2 zx w x w 解: 令令,zyxvzyxu x w w vu zyxzyx ),(vufw zy f 2 ),( 2 zyxzyxfzy 则则 zx w 2 222 2 1211 )(fyfzyxfzxyf yxf 12 yxf 22 21 ,ff 7 720152015年年4 4月月8 8日星期三日星期三 高等数学（下）主讲高等数学（下）主讲 王丽娜王丽娜 20152015年年4 4月月8 8日星期三日星期三8 8 例例6 设函数设函数z = f (x+y, x-y, xy) ，其中，其中f具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数， 求求dz与与。 (09考研考研) 2z x y 123123 2 11132223333 d()d()d ()() zffyfxffxfy z fxy ffxy fxyff x y 解解 例例5 设设, 其中其中f (u,v)可微，求：可微，求：。 (07考研考研) 12 22zzyx xyff xyxy 解解 , y x zf xy zz xy xy 高等数学（下）主讲高等数学（下）主讲 王丽娜王丽娜 20152015年年4 4月月8 8日星期三日星期三9 9 例例7 用变换用变换u=x-2y, v=x+ay可以将方程可以将方程 化简为化简为, 求求a的值。的值。 (96考研考研) 222 22 60 zzz xx yy 2 0 z u v 解解 aaa 2 603 22222 2 222 6(105 )(6) zzzzz aaa xx yyu vv 高等数学（下）主讲高等数学（下）主讲 王丽娜王丽娜 20152015年年4 4月月8 8日星期三日星期三1010 二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性 ()d()d zuzvzuzv xy uxvxuyvy 1. 设设z=f (u, v)具有连续偏导数，则具有连续偏导数，则 ddd zz zuv uv 此时此时u、v为自变量。为自变量。 2. 设设z=f (u, v)具有连续偏导数，且具有连续偏导数，且u= (x,y), v= (x,y)也具有也具有 连续偏导数，连续偏导数，则则 z=f ( (x,y), (x,y) 的全微分为：的全微分为： ddd zz xy xy z dd zz uv uv 全微分形式不变性：全微分形式不变性：无论无论u, v是自变量还是中间变是自变量还是中间变 量，量， z=f (u, v)的全微分形式完全一样。的全微分形式完全一样。 (dd )(dd ) zuuzvv xyxy uxyvxy 高等数学（下）主讲高等数学（下）主讲 王丽娜王丽娜 例例2. 设设 ,sinyxvyxuvez u ., y z x z 求 解: x z veusin y z veusin x v v z veucos y v v z veucos 1 1 z vu yxyx 20152015年年4 4月月8 8日星期三日星期三1111 例例8. 利用全微分形式不变性解例利用全微分形式不变性解例2. 高等数学（下）主讲高等数学（下）主讲 王丽娜王丽娜 例1 .,sinyxvyxuvez u ., y z x z 求 解: : ) (dd z )cos()sin(yxyxye yx 所以所以 veusin vveudcos )(dyx