数学悖论与三次数学危机.doc

安徽理工大学毕业设计（论文）目 录 悖论和三次数学危机1摘 要：1Mathematical Paradoxes and Three Times of Mathematical Crises2Abstract:2绪 言31.初 识 悖 论31.1有趣的悖论31.2什么是悖论41.3为什么会产生悖论及其科学意义62.悖论与三次数学危机82.1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机82.1.1第一次数学危机的产生、发展和解决82.1.2第一次数学危机的影响和重要意义112.2贝克莱悖论与第二次数学危机122.2.1第二次数学危机的产生、发展和解决122.2.2第二次数学危机的影响和重要意义172.3罗素悖论与第三次数学危机172.3.1第三次数学危机的产生、发展和解决172.3.2第三次数学危机的影响和重要意义203.数学悖论对数学发展的推动20结 论22参考文献23谢 辞24悖论和三次数学危机 摘 要：危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学角度看，矛盾是无处不在、不可避免的，即使是以确定无疑著称的数学也不例外。在整个数学发展过程中存在许多更为深刻的矛盾：有穷与无穷、连续与离散，乃至存在与结构、逻辑与直观、概念与计算等等。数学的发展史贯穿着矛盾的斗争和解决，而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。悖论不仅迷人，更是数学不可分割的一部分，并为数学发展提供了持久而强大的推动力。数学史上出现的三次数学危机都与悖论有关。人们从悖论中发现问题、解决危机，并在悖论的解决中让数学之花绽放。从三次数学危机的产生、发展和解决的过程,我们可以不仅会被数学的魅力所吸引,更会为一代代数学家的惊人想象力和创造力所折服。本文从悖论出发研究三次数学悖论，并围绕悖论以更为宽广的视角介绍了数学发展过程的重大数学成果，使我们对无理数，微积分，集合论等美妙的数学之花的来龙去脉有更加清晰的认识，说明悖论对数学发展的无可替代影响。关 键 词：悖论；数学危机；毕达哥拉斯；贝克莱；罗素；无理数；微积分；集合论Mathematical Paradoxes and Three Times of Mathematical Crises Abstract: Paradox is not only charming, but also is an integral part of mathematics. It provides a lasting and powerful driving force of mathematical development. Three times of mathematical crises are closely related with mathematical paradoxes in mathematical history. Both the origin of crises and the ways of solution is fond from paradox. And the mathematical flower is blooming in the process of solution. We can not only be attracted by the charm of mathematics from the development and solution process of the three crises, but also appreciated the astonishing imagination and creativity of mathematician. In this paper, the study of three mathematical crises is beginning with mathematical paradoxes. And around to this topic, we can see the development process and the fruitful results of mathematics in a more broad perspective .We can understand the origin and development of mathematics more clearly, and realize the beauty of mathematics more well, such as irrational number, differential and calculus, set theory and so on. This paper illustrated the irreplaceable role of paradox in mathematical history. Key Words: paradox; mathematical crisis; Pythagoras; Berkeley; Russell; irrational number; Differential and calculus; set theory绪 言悖论与数学有着千丝万缕的联系。研究悖论不仅是有意义的，而且是必要的。那么什么是数学悖论？给出明确的答案不是件容易的事。但数学史上由数学悖论引发了三次数学危机却是不争的事实。围绕着悖论，我们会更清晰的了解悖论之花得以绽放的数学土壤和悖论之花结出的数学之果。数学之旅充满神秘，我们在数学的天堂里畅游，从欧几里得几何到无理数的发现再到微积分、集合论的发展那么，数学悖论是如何产生的？它又是被怎样解决的？这给数学究竟带来了怎样的影响？这是我们要总结和思考的。从悖论出发研究三次数学危机，可以给我们的数学学习以深刻的启示，我们从中可以看到数学家们是如何发现问题，提出问题，并从各种角度、利用种种方法巧妙地解决问题的。这对我们的学习无疑是大有裨益的。1.初 识 悖 论“古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。”N布尔巴基1.1有趣的悖论“我正在说谎。”我们能否判断这句话是真是假？公元前六世纪，克里特岛上的一位哲学家伊皮门尼德曾说了一句话“所有克里特岛人都是说谎者”。 显然,这话是互相矛盾的。因为,假如这话是真的,那么说这话的人也是在撒谎,那这话就是假的。假设这话是假的,在语义学上可理解为所有克里特岛人都不是说谎者，因而说话的人也不说谎，所以这句话是真的。古希腊人曾为此大伤脑筋,一句话怎么会既是真话又是假话呢？于是悖论就产生了。公元前四世纪麦加学派的欧布里德把它改造成严格的数学意义上的命题形式：“我正在说的话是假的”。 假如“我正在说的话是假的”这句话是真的，那么我正在说的这句话就是假的，即“我正在说的话是假的”这句话就是假的；反之，假如“我正在说的是假话”是假的，那么我正在说的这句话就是真的，即“我正在说的话是假的”这句话就是真的。总之，由语句真可以推出它为假，又由语句假可以推出它为真，进而推出语句既真又假的逻辑矛盾。这就是最早的悖论说谎者悖论。又如,罗素曾经说,他相信哲学家乔治摩尔平生只有一次撒谎,那就是:当某人问他“你是否总是说真话时”,他回答说:“不是。”仔细想一想,这不也是说谎者悖论的翻版吗?中国古代也出现过类似的情况：在庄子齐物论里,庄子说:“言尽悖”。后期墨家反驳道:如果“言尽悖”,庄于的这个“言”难道就不悖吗?假如此言不悖,那么,为什么说“言尽悖”呢?如果说此言也悖,那么,应该承认言尽不悖，那么此言也不悖。即使你补充一句,说“除我所语,其余言尽悖”,也于事无补。因为有个第二者听了你这句补救的话后,指出:“你这句补充的话不悖。”那么,第二者的话是悖,还是不悖?如果第二者的话是悖的,那说明你补充的话是悖的;如果第二者的话不悖,那你又有何理由说“除我所语,其余言尽悖”呢?同样,第三人、第四人依次类推,以至无穷。这不就是中国版的说谎者悖论吗！再来问一个问题：上帝是全能的吗？基督教徒说：当然。上帝无所不能。那么再接着问：上帝能创造出他自己举不起的石头吗？基督教徒：是啊，能还是不能呢？若上帝做不出他举不起的石头，他就不是全能，因为他做不出；反之，若上帝举不起这块石头，他亦不是全能，因为他举不起。总之，无论上帝做不做得出这块石头，他都不是全能的。我们再来假设这样一个有趣的情节：你回到过去，在自己父亲出生前把自己的祖父母杀死；因为你祖父母死了，就不会有你的父亲；没有了你的父亲，你就不会出生；你没出生，就没有人会把你祖父母杀死；若是没有人把你的祖父母杀死，你就会存在并回到过去且把你的祖父母杀死。于是矛盾出现了。物理学家们把这称作是祖父悖论。祖父悖论是一种时间旅行的悖论，科幻故事中常见的主题。最先由法国科幻小说作家赫内巴赫札维勒(Ren Barjavel)在他1943年的小说不小心的旅游者（Le Voyageur Imprudent）中提出。对于这个问题，物理学家提出过多种解释。最能为大众所接受的当属平行宇宙理论：假定世界是由无数个平行宇宙组成的，而当你回到过去杀你的祖父母时，你杀的其实是另一个宇宙的人（或者你的这个举动也可以创造一个新的平行宇宙），而这个人（你“祖父”或“祖母”）的死只会使那个平行宇宙的“你”不再存在，而这个平行宇宙的“你”则平安无事。有了这个理论，祖父悖论似乎可以消除了。1.2什么是悖论什么是悖论？悖,中文的含义是混乱、违反等。我们不妨先望文生义一下：“悖论” 在英语里与“谬论”是同一词paradox,来自希腊语“para+ dokein”，意为“无路可走”（又解释为“多想一想”），转义为“四处碰壁”，无法解决的问题。悖论实际上是一种特殊的逻辑矛盾，它是这样一种命题：设该命题为真，则可以推出它为假；反之设该命题为假，则又可推出它为真。显然，悖论与谬论不同。谬论是用目前的理论就能够证明、判断其为错误的理论、观点,譬如“日心说”被证明是完全错误的，是谬论。而悖论则看起来是是非难辨的，我们在现有的认识范围内无法根据逻辑推理出它的对或错；但这种“是非难辨”并非是永远不能分辨的,随着人们认识能力的不断提高,随着科学的不断发展,悖论是可以逐步得到消除的,矛盾是可以解决的。广义上说,凡似是而非或似非而是的论点,都可以叫做悖论,如欲速则不达、大智若愚等都是典型的悖论;还有一些对常识的挑战也可称为悖论。狭义上说,悖论是从某些公认正确的背景知识中逻辑地推导出来的两个相互矛盾(或相互反对)命题的等价式。通俗地说,如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的。这就是悖论。狭义的悖论又可称为严格意义上的悖论或真正的悖论。悖论一般可以分为语义悖论和逻辑悖论两种。如果从一命题为真可推出其为假,又从该命题为假可推出其为真,则这个命题就构成语义悖论。前面所说的“我说的这句话是假的”就是如此。逻辑悖论总是相对于一个公理系统而言,如果在一个公理系统中既可以证明A又可以证明非A,则我们就说在这个公理系统中含有一个悖论。集合论中著名的罗素悖论就是一个逻辑悖论。实际上,自然科学中出现的悖论一般都是逻辑悖论。自然科学中的悖论一般还被称为佯谬。在英文中,佯谬与悖论是同一词paradox。它们都是由于前提、判断和结论的运用而产生的,具有相同的逻辑本性。如由爱因斯坦等提出的EPR悖论,也可称为EPR佯谬。悖论有很多种称谓。古希腊的亚里士多德称之为难题;中世纪的经院哲学家们称之为不可解命题;近现代的科学家一般称之为悖论或佯谬,哲学家则称之为二律背反(“悖论”在英文中还有一个词antinomy)。1979年,美国数学家霍夫斯塔德(D.R.Hofstadter)认为悖论是一个“怪圈”(strange loop,又译为奇异的循环),是由于“自我相关”而导致的。这种怪圈不仅存在于数学和思维中,也存在于绘画和音乐中。埃舍尔(M.C.Escher)的画(如“瀑布”、“上升与下降”、“龙”、“绘画的双手”和“画廊”等)用非常直观的形式艺术地表现了这种怪圈。1.3为什么会产生悖论及其科学意义这是与人类的认识水平密切相关的。从哲学的高度看,悖论产生的根源在于客观世界所固有的矛盾。人的认识水平总是有限的,在认识世界时有很大的局限性和割离性。因此当人们把这些割离开来的认识结合到一起时,就有可能产生悖论。所以,德国的哲学家康德就讲过,当人们的认识从感性、知性进入理性阶段时,必然陷入悖论。同时,人类对世界的认识是一个由多层次、多因素组成的极其复杂的系统,人们不可能在彻底认识了某一层次的全部规律后,再依次一个一个由浅人深、由低到高地去认识其他层次,也不可能在各个层次上齐头并进地研究,而只能在某一个时期以认识一个层次为主,同时也涉及邻近的其他层次或领域。由于人类认识能力的局限性,某一科学理论只能是人们对自然界中某一层次、某一领域的客观规律的部分反映。所以,就不可避免地出现各种矛盾或谬误。另外,任何科学理论都是相对真理,都是对客观世界的近似描述。人类对世界的认识是随着时间的变化而变化的。如托勒密的地心说,在哥白尼之前是科学,在伽利略和牛顿时代就变为非科学了。科学理论的这种非绝对真理性为悖论的存在提供了合理的理由,也是悖论产生的一个重要原因。悖论对人的认识的发展有很大的推动作用。如果在一个科学理论中发现了悖论,那么,就说明这个理论出了问题,其真理性即遭到质疑,该理论就被证伪(即证明它是假的)了。这样,悖论的出现,就为科学研究提供了一种新的方法即发现悖论、解决悖论并最终导致新科学的发现。古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知欲并重新进行精密的思考。解决悖论需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念和认识,为新知识的产生奠定了重要的主观基础。这方面的最典型的例子当数伽利略提出的自由落体悖论。根据亚里士多德的自然位置学说,物体下落的速度与其重量成正比。但伽利略通过缜密推理,从亚里士多德的这一“共识”出发推出了一个落体悖论,从而在逻辑上证伪了亚里士多德的这一学说(详细情况,见本书后面的论述),为近代物理学的发展奠定了重要的基础。在科学发展史上,曾经出现过这样的情况:由于悖论的出现,使科学出现了严重的危机,最后也推动了科学的发展。但很多时候,悖论的出现并不能立即可以证伪了该理论,因为理论总有一定柔性或弹性,它可以提出辅助性假说以限制或消除悖论。所以,悖论、佯谬的发现和消除,还有助于原有理论的进一步完善和严密,使得人们对有关理论的实质、适用条件和范围等的认识和理解更深刻、明确,因而也促进Y理论的发展。在牛顿和莱布尼兹创立微积分之后,贝克莱(G.Berkeley,16851753)发现了其中包含有所谓的无穷小悖论。人们并没有因此而抛弃微积分理论。但这个悖论的出现,也确实激发了人们的研究热情,柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金的研究工作,导致了微积分理论的进一步发展。双生子悖论曾对爱因斯坦的狭义相对论形成有力的挑战,但后来终被解决,却丰富和发展了爱因斯坦的相对论。消除悖论的过程常常是完善、发展原有理论的过程、从这一点来看,悖论正是科学问题的生长点。伴随悖论的解决,还可能会产生新理论。1905年,爱因斯坦创立了狭义相对论,并由此掀起了一场物理学革命。1935年,爱因斯坦、波多尔斯基(B.Podol-skv)和罗森(N.Rosen)又提出了EPR悖论,其意思是指出量子力学不完备或者量子力学不具备内在相容性。由此,导致爱因斯坦与玻尔等人的长达几十年的争论,至今仍没有一个最终的结论。有人预料,对EPR悖论的彻底解决将产生一场新的物理学革命。科学发展史上的大量实例充分表明,悖论或佯谬的出现虽然可能暂时引起人们的思想混乱,对科学研究的正常开展形成一定的冲击。但悖论的出现,也揭露出了原有理论体系中的逻辑矛盾,这对于进一步深入理解、认识和评价原有理论,进一步充实和完善原有的理论体系, 具有重要意义。爱因斯坦说过:“提出一个问题往往比解决一个问题更重要,因为解决问题也许是数学上或实际上的技能而已,而提出新的问题、新的可能性,从新的角度去看旧的问题却需要创造性的想象力,而且标志着科学的真正进步。”所以,我们没有必要将悖论或佯谬视为洪水猛兽,而应该重视对悖论或佯谬的方法论意义的研究,自觉使用这种方法。不断发现和提出新的悖论或佯谬,以促进自然科学的进一步发展。前面说了几个语义学以及物理学上出现的悖论。在数学史上，数学悖论不仅出现过，而且在整个数学史上起着举足轻重的作用。数学史上出现的三次数学危机都因悖论而起，因悖论的解决而解决。实数论，极限理论，微积分，集合论等重大数学问题在三次危机中迅速发展，一代代数学家为了问题的解决呕心沥血，前赴后继，铸就了数学史上最为辉煌的时代，极大推动了整个数学科学的发展，并帮助我们建立起整个数学大厦。2.悖论与三次数学危机2.1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机2.1.1第一次数学危机的产生、发展和解决毕达哥拉斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作周髀算经中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。在这一信仰下，他们对几何量进行了研究。以长度为例，毕达哥拉斯学派得出了任何两个长度都可以公度的结论。所谓可以公度，举一个简单的例子：线段a长15，线段b长21。那么只要取d长为3，则a可分为5个长为3的线段，b可分为7个长为3的线段。这样d=3就可以作为a和b的共同度量单位。这时就称a和b是可公度的。他们还给出了找出这个d的方法，就是我们现在的辗转相除法：21=15*1+6，15=6*2+3，6=3*2。这个过程相当于是先用短些的线段当作尺子去量长的。如果一次量尽，度量结束；如果一次量不尽，就用余数去量那些短些的线段，如果量尽，度量结束；如果还是不尽，就用新的余数作为尺子去量上次的余数依次量下去，直到某一次的余数等于零，结束度量。这时，结束前一次的余数就是我们要找的共同度量单位。直觉上这一结论似乎不容置疑：任意两个长度a和b，只要我们把d取得足够短，这个公度量d似乎总是存在的。比如你测得桌子的两边为3.13米和1.31米，那么取d为1厘米就行。这时你拿出来新式工具，费了九牛二虎之力测出两边为1.31333米和1.31111米，这是我们只要说一句，好吧，那就取d为1微米怎么样？你泄气了，承认任何质疑置疑都是愚蠢的。你会相信：似乎在任何情况下，这样的第三条线段都是应该存在的，只需要将第三条线段取的很短很短就行了。如果有人胆敢反驳你，你可以很从容地让别人拿出尺子或者别的什么区量一下物体，那么可以语聊反驳者很快就会成为你的同盟军。毫无疑问，我们总是可以使得前两条线段是第三条线段的整数倍！这样的结论怎么可能错误呢？我们已经通过实验的方式证实了，任何两条的线段都是可同约的，这一命题显然是对的。无论通过直觉还是实验我们都已经证明这是颠扑不灭的真理。于是我们可以明白，当毕达哥拉斯学派提出“任何两个量都是可公度的”时，古希腊人是如何坦然的接受了这一似乎是无可怀疑的结论。怀疑可作为共同公度量的第三条线段的存在，似乎是十分荒谬的。可是忽然有一天，毕达哥拉斯的一个学生居然敢声称他发现了不可公度量？多么荒唐的小子啊！这个荒唐的小子就是毕达哥拉斯的学生希帕索斯。毕达哥拉斯证明了勾股定理后，他闲来无事摆弄老师的伟大成果时突然想到，正方形的边长和其对角线是否是可以公度的呢？希帕索斯通过证明，发现这竟然是不可公度的量！西帕索斯发现正方形的边长和其对角线的比值既不是一个整数，又不是一个分数。也就是说，它不是一个有理数。现在我们知道，希帕索斯发现了了第一个无理数2.。这一发现直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。许多建立在任何量可公度理论上的论断居然要被小小的2推翻了！比如，在证明 “等高的三角形的面积之比等于底边长度之比”的时候，就是这样证明的： A M B C D E N如图，两个三角形和，他们的底和在阿同一条直线上两三角形等高毕达拉斯学派依据任何两个长度可公度理论，设和的公度单位为，。把分为等分，等分点分别与定点相连，则将分为个底边长度为的小三角形；同样把为个底边长度为的小三角形。这些小三角形等底等高，因而面积相等，记为。而三角形的面积，三角形的面积。故三角形的面积：三角形的面积：。命题得证。由于不可度量的发现，这一证明就完全失效了。因为建立在证明之上的基础已经坍塌了。于是，建立在“任何两条线段都可通约”的基础上的数学结论失去了根基，所有那些建立在这一假设基础之上的证明都被粉碎了，已经确立的几何学的许多定理不得不随之瓦解了。而最为令人尴尬的是，人们是相信这些定理的正确性的，只是随着不可公度量的发现，他们拿不出有力的证据来支持他们的观点。这就是人们有时所谓的希腊几何的“逻辑耻辱”。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与我们的直觉相冲突。它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法，因为连毕达哥拉斯也找不出这一论断的毛病。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。二百年后，大约在公元前370年，一个伟大的数学家的出现使得新的乐土终于被建立起来了。才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。欧多克索斯的解决方案（欧多克索斯本人的著作已经全部失传，但其成果保存在了欧几里德的几何原本第五卷中）其中心概念用现代符号可简述为：就是指对任何正整数，：只要，就有；只要，就有；只要，就有； 用欧多克索斯的思想证明“等高的三角形的面积之比等于底边长度之比”，方法如下：如图。在的延长线上截取段长等于的线段，在的延长线上截取段长等于的线段。对任意的，满足：三角形与三角形等高，因而当的长度大于、等于、小于的长度时，三角形的面积相应的大于、等于、小于三角形的面积。即当的倍长度大于、等于、小于的倍的长度时，三角形的面积相应的大于、等于、小于三角形的面积。根据上述思想，三角形的面积：三角形的面积：。得证。欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数消除了由悖论引起的第一次数学危机。但这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。2.1.2第一次数学危机的影响和重要意义在说明第一次数学危机的影响前，我们先关注一下中国古代对无理数的处理方法我们的祖先是否发现了无理数的存在呢？中国古代数学集大成之作九章算术中曾提到：“若开之不尽者”可见我们的祖先也发现了有“开不尽”的这种数的存在。但我们的祖先并没有觉得这有什么不妥：有这种数吗？好吧，我们承认就是了。于是就很坦然地接受了无理数的存在，甚至没有发现它与有理数有什么本质的区别。原因在于我国古代数学侧重于实际，偏重计算。而对于实际应用来说，有理数已经足够用了。例如我们在发现了2存在后，重心马上转移到如何尽量精确的求得其值上去，而没有纠缠于这种数的本质到底是什么的问题。我国古代对建立数的理论方面的漠然态度虽然让我们绕过数学危机的产生所造成的暗礁，却也是失去了发展完整的逻辑体系、建立数论的契机；但从另一方面，我们着重于实际计算的态度使得我们没有收到理论的束缚而裹足不前，将适用于有理数的步骤应用于无理数，从而促进了代数学的发展。与中国的使用态度不同，古希腊人真正感到头痛的问题是无理数的存在是否是合理的，要建立怎样的逻辑体系才能解决有无理数的存在所引发的悖论。过分追求严谨的古希腊人在逻辑向精确的处理了无理数的同时，将几何与代数两个分支生硬的肢解开来，阻碍了代数学的发展。但更重要的是，在致力于解决这一危机的过程中，古希腊人发展出了令他们引以为豪的欧多克索斯比例理论过，有几何方式解决了危机；进一步，在他们手中诞生了古典逻辑的经典工具论和集古希腊论证几何之大成的美丽画卷几何原本。塞翁失马焉知祸福，古希腊人在这次危机中可谓是收获多多。从古代中国与古希腊对待无理数的态度的不同，我们可以了解到第一次数学危机产生的主顾主观原因。在西方，数学家往往也是哲学家，至少精通哲学理论。当他们以哲学的眼光去审视数学时，逻辑的完整性十分重要。而数学作为一门精确的学科，逻辑上比学时无懈可击的。毕达哥拉斯的“万物皆数”的思想得到了世人的认可后，无理数的出现给与的打击可以说是颠覆性的。因而古希腊人在这一问题上所作出种种努力也就不足为奇了。经过第一次数学危机的洗礼，希腊人不得不承认：直觉、经验乃至实验都不是绝对可靠的(如用任何实验都只能得出一切量均可用有理数表示这一结果)，推理论证才是可靠的，证明的思想在希腊人心中扎下了根。进一步，希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识。从第一次数学危机的产生和解决中我们看到，提出问题并不可怕，哪怕是颠覆性的问题。这种问题的提出往往会成为数学发展中的强大动力，使得数学在问题的不断解决中大步向前迈进。2.2贝克莱悖论与第二次数学危机2.2.1第二次数学危机的产生、发展和解决古希腊以悖论而闻名的哲学家芝诺提出了如下四个著名的悖论:第一个悖论叫做“两分法”悖论：一运动物体在到达目的地之前，必须先抵达距离目的地之一半的位置。即：若要从A处到达B处，必须先到AB中点C，要到达C，又须先到达AC的中点D。如此继续划分下去，所谓的“一半距离”数值将越来越小。最后“一半距离”几乎可被视为零。这就形成了一物体若要从A移动到B，必须先停留在A的悖论。这样一来，此物体将永远停留在初始位置（或者说物体初始运动所经过的距离近似0），以至这物体的运动几乎不能开始。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是永远不可能开始的。第二个悖论叫“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯是荷马史诗中善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点。而当他到达那一点时，乌龟又向前爬行了一小段。等他完成了这一段路程，而乌龟又向前爬行了一段乌龟必定总是跑在前头。这同两分法悖论所不同的是不必把所需的路程“一再平分”。第三个悖论叫做“飞矢不动”：飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。如果瞬间是不可分的，箭就不可能运动，因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了。但是时间是由瞬间组成的，如果箭在任何瞬间都是不动的，则箭总是保持静止。所以飞出的箭不能保持运动状态。第四个悖论叫做“操场的游行队伍”：A、B 两件物体以等速向相反方向运动。从静止的C 看来，比如说，A、B 都在一小时内移动了2 公里,可是从A 看来，则B 在一小时内就移动了4 公里。由于B 保持等速移动，所以移动2 公里的时间是移动4 公里时间的一半。因而一半的时间等于两倍的时间。AAAA AAAABBBB BBBBCCCC CCCC尽管我们凭直觉很容易否定芝诺悖论的结论，但芝诺所揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论是一组,诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点；后两个悖论又是一组,诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。而每组的第一个悖论表明孤立物体运动是不可能的,第二个表明物体的相对运动是不可能的。芝诺悖论表明，无论时空是间断的还是连续的运动都是不可能的。芝诺认为“多”是不存在的。如果多存在，那就可以无限分割下去，最后结果如何呢？如果分得最后单位大小等于零，那么无限个零相加仍然是零；如果不等于零，无限个不等于零的量相加将趋于无穷。这无疑又是明显违背常识却很难驳倒的理论。这种关于无限的思考始终困扰着古希腊人。从亚里士多德将无限分为潜无限和实无限开始，先后出现了以德谟克利特为代表的原子论，智人学派开创并由欧多克索斯、阿基米德改进完善的穷竭法等等。进入17世纪后，随着物理学等学科的崛起，不可避免的要求计算曲边立体的体积，、面积，曲线的长度，旋转体的体积等等。这种迫切的需求促使一种粗糙的、不严密的但是确十分管用的方法被一些数学家大胆的使用并逐渐发展起来了。例如开普勒在计算园的面积时，将圆看作有无穷多个顶点在圆心，底边在圆周上的等腰三角形组成。三角形的高看作等于圆的半径，底边长度之和等于圆的周长。在有三角形的面积公式得出圆的面积公式。不难看出，开普勒的方法是粗糙的。圆的圆周上的极短弧作为小三角形的底边，圆的半径长度作为小三角形的高，要做到这一点，小三角形的底边必须足够短，短到缩为一点。然而这又陷入了芝诺悖论的圈套：点是没有长度的，无穷的点相加怎么能组成有长度的圆周呢？然而开普勒相信，他的结论是一定可以得到证明的。开普勒的方法为实际计算提供了使用的工具，也为理论上开辟了广阔的思路。这一步步的工作为后来微积分的出现奠定了基础。经过多年努力，终于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算微积分这门学科，这也是数学分析的开端。从某种程度上，芝诺悖论的出现预言了两千年后，将会围绕微积分的出现而爆发的第二次数学危机。第二次数学危机导源于微积分工具的使用。数学先驱们的努力建立起来了微积分基础，然而还有一步最关键的工作有待完成。正如莱布尼茨后来所说的，“在这样的科学成就后，所缺少的只是引出问题的迷宫的一条线，即依照代数样式的解析计算法。”这一步就是：以一般形式建立起新计算方法的基本概念及相互联系，创立一套一般的符号体系，建立正规的程序或算法。而完成这一步绝非易事。世纪晚期，两位科学巨匠牛顿和莱布尼茨几乎同时再这一关键工作上取得重大进展。但是不管是牛顿的流数论，还是莱布尼兹所创立的微积分理论，在创立之初都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理。在这本书中，贝克莱对牛顿的流数理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说的导数，先将 x取一个不为0的增量 x ，由 - ，得到 2xx + () ，后再被 x 除，得到 2x + x ，最后突然令 x = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”，“瞪着眼睛说瞎话”，是“分明的诡辩”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。同时贝克莱还指出莱布尼茨的微积分理论中“忽略高阶无穷小消除误差”的做法所得相互的结论，是从错误的原理出发通过“错误的抵消”获得的等等。数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。贝克莱是利用微积分来为神学辩解，妄图证明数学是建立在不稳定的基础上，并以此来维护宗教哲学。然而不可否认的是，他的抨击是一针见血的，将微积分在概念、基础方面的缺陷和漏洞来了个大曝光。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。针对贝克莱的攻击和嘲讽，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决，但虽经多次尝试，足额最终都没有获得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢？“向前进，向前进，你就会获得信念！”达朗贝尔吹起奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世纪的数学家们被微积分这块有着无限发展潜力的新兴领域所吸引，大胆创新，拓展出众多性的数学领地。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。复变函数，微分几何，解析几何，变分法，无穷级数等都是在世纪成长起来的，并逐渐形成了称为“数学分析”的广大领域，与代数、几何并成为数学三大学科。事实上，世纪分析学的繁荣程度已远远超过了代数、几何两大领域。18世纪有时甚至被称为“分析的世纪”。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性都几乎无人过问。尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。下面仅举一非常有名的无穷级数为例。无穷级数S11111到底等于什么？当时人们认为一方面S（11）（11）0；另一方面，S1（11）（11）1；再有就是（），所以。那么岂非01？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到后，令 x = 1，得出S1111112；令=2，得出1+2+4+8+16=1/(1-2)=-1！而这样的荒谬结果欧拉居然也接受了。不仅如此，格兰弟还发现了更有趣的结论：1 + + 1xx2=+令1，得到1/3。用这种方法还可以得到1/4，1/5没有定值！由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。消除不谐和音，把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西从极限定义出发，确立了以极限论为基础的现代数学分析体系。他在具有划时代意义的几本著作中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西重新定义了无穷小量：“当同一变量逐次索取得知的绝对值无限减小，一直比任何给定的数还小，这个变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量。”这种定义利用无穷小来达到严格化，放弃了以前一些譬如“一个变量绝不会超过它的极限”这类不必要的提法。用类似的方法还定义了无穷大、高阶无穷量等。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“- ”方法。另外，在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等基本概念也建立在了较坚实的基础上。事实上，柯西的思想已经涉及到实数的完备性，不过，在当时情况下，由于实数的严格理论未建立起来，所以柯西的极限理论还不可能完善。柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数，、；1889 年，皮亚诺给出了举世闻名的自然数公理，建立起自然数的皮亚诺公理系统，在自然数公理的基础上简明扼要地建立起了自然数系；1892年，另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。同时，实数域的构造成功，使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了。直到这时，有毕达哥拉斯悖论所引发的第一次数学危机才算是真正解决了。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。2.2.2第二次数学危机的影响和重要意义第二次数学危机由人们对无穷量的探索而起，而贝克莱悖论是这一危机的直接导火索。这一危机的产生、发展和解决造就了18世纪分析学的辉煌，18世纪因而被称为“分析时代”。一代代数学先驱为将数学分析建立在严格坚实的基础之上而不懈奋斗，直到1889年，皮亚诺给出了举世闻名的自然数公理，建立起自然数的皮亚诺公理系统，在自然数公理的基础上简明扼要地建立起了自然数系。数学分析基础依赖于使数，实数依赖于有理数，而有理数最终依赖于自然数。一旦对自然数的逻辑处理完之后，家里实数的基本问题也就宣告完备了。再经过这样自上而下既有趣又耐人寻味的基础重建工程后，数学分析完全建立在实数理论基础之上了。于是，随着分析的算术化，建立在十数理论之上的微积分理论有了严格的基础。微积分学无论在基本概念，还是逻辑严密性，形式严谨性上，都有如欧几里得几何学一般的令人惊叹！在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱不无自豪地赞叹道：“今天的分析中，如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结于纯数的直觉是不可能欺骗我们的。今天我们可以宣称绝对的严密已经实现了。”由贝克莱悖论所引发的第二次数学危机宣告彻底解决。在微积分创建200余年后，数学家们迎来了胜利凯旋之日。然而，良日总是苦短。不久后，数学家们就只能以向往的心情回顾这段短暂的数学天堂岁月了。新的转折来自在分析严格化过程中产生的一个新的数学领域集合论。2.3罗素悖论与第三次数学危机2.3.1第三次数学危机的产生、发展和解决西班牙的小镇塞维利亚有一个理发师,他有一条很特别的规定:只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。这个拗口的规定看起来似乎没什么不妥,但有一天,一个好事的人跑去问这个理发师一个问题,着实让他很为难,也暴露了这个特别规定的矛盾。那个人的问题是:“理发师先生,您给不给自己刮胡子呢?”这让理发师不可避免地陷入了两难境地:如果他给自己刮胡子,他就是自己刮胡子的人,按照他的规定,他不能给自己刮胡子;如果他不给自己刮胡子,他就是不给自己刮胡子的人,按照他的规定,他就应该给自己刮胡子。不管怎样的推论,理发师的做法都是自相矛盾的。这真是令人哭笑不得的结果。用集合语言将这个问题表述如下：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合。然后问N是否为它自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员。无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论。这就是著名的罗素悖论。1919年，罗素又给出了这个悖论的通俗形式，即前面所提到的理发师悖论。十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。先简单的介绍一下康托尔的集合论。康托尔是从研究“函数的三角级数表达式的唯一性问题”的过程中，先是涉及无穷点集，随后一步步地发展出一般集合概念，并把集合论发函称一门独立的学科。在这个过程中，康托尔展示了他让世人惊异得想象力和创造力。在发现了无穷的存在后，从未有人试图再把无穷加以区分。然而康托尔的集合论告诉我们，无穷是分等级的。譬如，有理数集合无理数集都是无穷集合，然而有理数集是可数集，无理数集是不可数集，而不可数集的级别要高于可数集；也就是说，无理数其实要比有理数多得多！这显然是与我们的常识相违背的。更加不可思议的发现接踵而至，就像是打开了的潘多拉魔盒：康托尔证明了直线上的点与维空间中的点存在一一对应关系，继而又发现了无穷集可分为无穷多的层次，并对各种无穷大建立了一个完整的序列。康托尔全然不顾众人的瞠目结舌，又发挥惊人的想象力从另一角度创造了一种无限集的无穷谱集。康托尔为我们描绘出一幅无限王国的完整图景。在集合