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文档简介

2016年北京大学优秀中学生数学金秋营试题学科专业能力测试一第一天2016年10月14日下午14:0017:301、在ABC内部有一点P满足PAB=PCB=A+C4，L在AC上且BL平分ABC，延长PL交APC的外接圆于Q。证明：BQ平分AQC.2、对于1，2，2n 的一个排列a1,a2,an,b1,b2,bn定义函数f(a1,a2,an,b1,b2,bn)=i=1n-1|aibi-ai+1bi+1|.求所有的排列中，f(a1,a2,an,b1,b2,bn)的最小值。3、求所有正整数a,b,c满足对任意实数u,v,0uv1.存在正整数n,使得an2+bn+c (u,v)成立.4、设p为奇素数，p1(mod 4).正整数a,b满足a2-pb2=1. 设q也为奇素数，(q,bp)=1.考虑同余方程x4-2ax2+10(mod q).证明下述3个论述等价:（1）p为模q的二次剩余；（2）同余方程存在一个解；（3）同余方程存在四个互不相同的解。学科专业能力测试二第二天2016年10月15日上午09:00-12：005、设函数f(x)= i=04aixi,且x-1,1时，|f(x)| 1，求|a2|的最大可能值。6、一个班里有50人，相互之间发短信，若在三个人A,B,C之间，仅有A给B发过短信，B给C发过短信，C给A发过短信。则称A,B,C三个人构成一个“循环”，试求这50个人中“循环”个数的最大可能值。7、试求所有正整数a,使得对任意正整数k ,都存在正整数n,使得an+2016是一个正整数的k次方。8、对（0，1）中的实数称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将（0，1）中的实数10染色，使得任意
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