四川省雅安中学学高一数学下学期期中试题（含解析） (1)

雅安中学2018-2019学年下期高2018级高一期中考试数学试题一、选择题:（在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设向量与向量共线，则实数x（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】B【解析】与共线，解得故选2.中，则最短边的边长等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，可得从而可得角最小，根据大边对大角可得最短边是，利用正弦定理求即可.【详解】由，得，最小，故最小边是，由，得，故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.3.在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：、由A和的度数，利用三角形内角和定理求出C度数，再由b的值，利用正弦定理求出a与c，得到此时三角形只有一解，不合题意；B、由a，c及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，得到b2小于0，无解，此时三角形无解，不合题意； C、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b得到A大于B，可得出此时B只有一解，不合题意； D、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时B有两解，符合题意解：B、a=60，c=48，B=60，由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=3600+2304-2880=-30240，此时三角形无解，不合题意； C、a=7，b=5，A=80，由正弦定理得：sinB=，又ba，BA=80，B只有一解，不合题意； D、a=14，b=16，A=45，由正弦定理得：,sinB=ab，45=AB，B有两解，符合题意，故选D考点：正弦、余弦定理点评:此题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键4.等差数列中，已知，则n为（ ）A. 48B. 49C. 50D. 51【答案】C【解析】本题考查等差数列的通项公式及基本运算.设公差为则 则解得故选C5.在R上定义运算，则满足的实数x的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由定义运算可知不等式x（x2）0为，解不等式得解集为（2,1）考点：一元二次不等式解法6.下列命题中，正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】选项A：举特例可以排除，例如，就可以判断结论是错误的；选项B：只有当，结论才成立；选项C：根据不等式的性质，显然正确；选项D：由不等式的性质可以判断结论是错误的.【详解】选项A：只有当，根据不等式的性质，才能推出结论；选项B：由，所以只有当时，结论才能成立；选项C:题中隐含，所以根据不等式的性质两边同时乘以，可以得到，故本选项是正确的；选项D:由，所以结论错误，也可以取特殊值验证，如.【点睛】本题考查了不等式的性质及基本性质.解决本题的基本方法除了正确掌握不等式的性质及基本性质之处，取特殊值代入是一个好方法，但是要注意，这种方法只能判断是错误的，不能验证是正确的.7.已知数列，满足，若，则（）A. B. 2C. 1D. 1【答案】A【解析】试题分析：由，得，可知数列是周期为3的周期数列，。考点：周期数列的判断及应用8.中，则一定是 （ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】由余弦定理和 ，可以推出，就能判断是等腰三角形，又，最后可以判断出一定是等边三角形.【详解】由余弦定理可知:,而，所以有，而，所以一定是等边三角形，故本题选D.【点睛】本题考查了余弦定理及等边三角形判定方法.9.为测量某塔的高度，在一幢与塔相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔的高度是（ ）A. mB. mC. mD. 30 m【答案】A【解析】试题分析：如图，故选A考点：解斜三角形的实际应用10.已知是等比数列，且，那么的值等于（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】A【解析】试题分析：由于是等比数列，又 .故选A.考点：等比中项.11.已知是单位向量，若向量满足，则的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知是单位向量，可以设是直角坐标系中，横轴和纵轴上的单位向量，所以，设，这样可以化简，得到，所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，利用圆的性质可以求出的取值范围.【详解】因为是单位向量，所以设是直角坐标系中，横轴和纵轴上的单位向量，所以，设，由，可以得到，所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，圆心到原点的距离为，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了向量语言与和符号语言之间的转化，突出了向量的几何性质.12.设是函数的图象上一点，向量，且满足，数列是公差不为0的等差数列，若，则（）A. 0B. 9C. 18D. 36【答案】C【解析】【分析】先由得到，再由是函数的图象上一点，得，再设，结合函数对称性得到的图象关于点对称，再由等差数列的性质即可求出结果.【详解】因为，所以，即，因为是函数的图象上一点，所以，所以，设，则的图象关于点对称，因为，所以，即，所以是函数的图象与轴的交点，因为的图象关于点对称，所以，所以，故选C【点睛】本题主要考查平行向量的坐标运算以及函数图象的对称性、等差数列的性质等，熟记函数对称性、等差数列性质等即可，属于常考题型.二、填空题。13.已知向量，则_【答案】【解析】因为向量，所以，即，所以，即，故应填考点：本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题14.在中，则=_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得：,结合,可以通过解方程组，求出的值.【详解】正弦定理可得：，而，所以可求出.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了解方程组的能力.15.已知数列的首项，且满足，则_【答案】.【解析】试题分析：由， 由，得为常数，因此数列是以为首项，为公差的等差数列，.考点：1、构造新数列；2、等差数列的通项公式.16.已知正方形的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若，且，则的最小值是_【答案】5【解析】【分析】根据正方形图形特征，建立如图所示的直角坐标系，表示为，表示为，根据的不同取值，利用向量的坐标运算，计算出的值，最后确定最小值.【详解】建立如下图所示的直角坐标系：表示为，表示为，（1）当时，则；（2）当时，则；（3）当时，则（4）当时，则 同样地，当取其他值时，或，故的最小值是.【点睛】本题考查了平面向量坐标表示，平面向量的数量积运算等基本知识，考查了分类讨论思想、化归思想、数形结合思想.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.设向量满足及，（）求夹角的大小；（）求的值【答案】（）（）【解析】【分析】（ ）对进行平方，利用向量的数量积公式，可以求出夹角的大小；（）先对进行平方运算，然后把结果再开算术平方根.【详解】解：（）由，得，即，又，夹角；（）【点睛】本题考查了应用向量数量积求向量夹角问题、求向量模大小问题，考查了运算能力.常见的求模的口诀是遇模则平方再开算术平方根，也就是应用这个公式.18.设的内角所对边的长分别为，且，的面积为(1)求(2)求的值【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式，直接可求出，然后利用同角三角函数的关系式，可以求出；（2）直接应用余弦定理，可以求出的值.【详解】解：（1），的面积为，又，（2）由余弦定理可得或.【点睛】本题考查了三角形面积公式、余弦定理以及同角三角函数关系式，考查了运算能力.19.数列是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负(1)求此等差数列的公差d；(2)设前n项和为，求的最大值；(3)当是正数时，求n的最大值.【答案】(1)4；(2)78；(3)12.【解析】试题分析：（1）首先将项写出通项公式的形式，即用首项和公差表示第六项和第七项，再，求得公差；（2）由（1）知道此数列首项是正数，公差小于0，所以前n项和的最大值，就是前正数项的和最大，（3）根据（1）的结果，可以写出公式，然后再解不等式试题解析：（1）由已知，解得：，又（2）是等比数列，又所以当时，取得最大值，（3），整理得：所以又所以的最大值是12考点：1等差数列的通项公式；2等差数列的前n项和最值；3等差数列的前n项和20.设向量，（1）若，求x的值；（2）设函数，求最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)直接化简得到，解方程即得x的值.(2)先求出f（x）=,再利用不等式的性质和三角函数的图像性质求出函数的最大值.详解】（1）由得，又因为所以.又所以（2）函数 因为所以，故，, 即的最大值为【点睛】(1)本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查向量的模的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.21.如图，都在同一个与水平面垂直的平面内，为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，.试探究图中间距离与另外哪两点间距离相等，然后求的距离(计算结果精确到，)【答案】0.33km。【解析】试题分析：由已知可得在中，所以，又，所以CB是的底边AD的中垂线，所以BD=BA。然后再利用正弦定理求出AB长即可。试题解析：在中，所以，又，所以CB是的底边AD的中垂线，所以BD=BA。在中，即，所以km，故B、D的距离为033km。考点：1正弦定理；2解三角形；22.已知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足.（1）求数列、的通项公式；（2）如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.【答案】（1），；（2）存在；。【解析】试题分析：（1）数列是等差数列，用公差表示出来后，由已知求得，可得通项公式，数列是已知和与项的关系，可由求得，再写出当时，两式相减后可得的递推式，从而知是等比数列，由此可得通项公式；（2）数列是由等差数列与等比数列相乘所得，其前项和用错位相减法求得，由（2）得出，作差 ，会发现当时都有 ，因此结论是肯定的试题解析：（1）设数列的公差为，依条件有，即，解得（舍）或，由得，当时，解得，当时，数列是首项为，公比为的等比数列，故；（