四川高三数学复习资料对称性及周期性

函数的对称性和周期性一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。3.掌握常见的函数对称问题二、建构知识网络一、两个函数的图象对称性1、 与关于轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。2、 与关于Y轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。3、 与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。4、 与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。5、 关于点对称。换种说法：与若满足，即它们关于点对称。6、 与关于直线对称。二、单个函数的对称性性质1：函数满足时，函数的图象关于直线对称。证明：在函数上任取一点，则，点关于直线的对称点，当时故点也在函数图象上。由于点是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线对称。（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）性质2：函数满足时，函数的图象关于点（，）对称。证明：在函数上任取一点，则，点关于点 （，）的对称点（，cy1），当时，即点（，cy1）在函数的图象上。由于点为函数图象上的任意一点可知函数的图象关于点（，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）性质3：函数的图象与的图象关于直线对称。证明：在函数上任取一点，则，点关于直线对称点（，y1）。由于故点（，y1）在函数上。由点是函数图象上任一点因此与关于直线对称。三、周期性1、一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。推广：若，则是周期函数，是它的一个周期2.若是周期，则也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数；3、对于非零常数，若函数满足，则函数必有一个周期为。证明：函数的一个周期为。4、对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。证明：。5、对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。证明：。6、对于非零常数，函数满足或则函数的一个周期为。证明：先看第一个关系式 第二个式子与第一的证明方法相同7、已知函数的定义域为，且对任意正整数都有则函数的一个周期为证明： （1） （2）两式相加得： 四、对称性和周期性之间的联系性质1：函数满足，求证：函数是周期函数。证明：得得函数是周期函数，且是一个周期。性质2：函数满足和时，函数是周期函数。（函数图象有两个对称中心（a，）、（b，）时，函数是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）证明：由 得 得函数是以为周期的函数。性质3：函数有一个对称中心（a，c）和一个对称轴（ab）时，该函数也是周期函数，且一个周期是。证明： 推论：若定义在上的函数的图象关于直线和点对称，则是周期函数，是它的一个周期证明：由已知举例:等.性质4：若函数对定义域内的任意满足：,则为函数的周期。（若满足则的图象以为图象的对称轴，应注意二者的区别)证明： 性质5：已知函数对任意实数,都有，则是以 为周期的函数证明：五、典型例题例1 （2005福建理）是定义在上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A2B3C4D5解：是上的奇函数，则，由得， =1，2，3，4，5时，这是答案中的五个解。但是 又 知 而 知 也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。例3 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ）(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2解：因为是定义在上的奇函数所以，又，故函数，的周期为4所以，选B 例4已知奇函数满足的值为 。解：例5 已知是以2为周期的偶函数，且当时，.求在上的解析式。解法1：从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 , 则 , ，是偶函数 解法2：（从图象入手也可解决，且较直观）如图：, .是偶函数时 又周期为2，时例6 的定义域是，且,若求f(2008)的值。解：周期为8，例7 函数对于任意实数满足条件，若则_。解：由得，所以，则例8 若函数在上是奇函数，且在上是增函数，且.求的周期；证明的图象关于点中心对称;关于直线轴对称, ;讨论在上的单调性；解: 由已知，故周期.设是图象上任意一点,则,且关于点对称的点为.P关于直线对称的点为,点在图象上,图象关于点对称.又是奇函数, 点在图象上,图象关于直线对称.设，则，在上递增, (*)又 , .所以： ，在上是减函数.例9 已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数.又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值.（1）证明：；（