天津七校高三数学上学期期末考试理

20182019学年度第一学期期末七校联考高三数学（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解集合A，然后根据补集的运算求解，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及集合的混合运算问题，其中解答总正确求解集合A，准确利用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2.设，直线：，直线：，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线平行的等价条件求出得取值范围，结合充分条件和必要条件的定义，进行判定，即可得到答案.【详解】由题意，当a=0时，两直线2x+6=0,x-y-1=0，此时两直线不平行，当a0时，若l1/l2，则满足1a=a-12a2-16，由1a=a-12得a2-a-2=0，解得a=-1或a=2，当a=-1时，1-1=-1-1206成立，当a=2时，12=36成立，即a=2两直线是重合的（舍去），故a=-1所以a=-1是l1/l2的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及两直线位置关系的应用，其中解答中根据直线平行的等价条件求出得值是解答的本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.设变量x,y满足约束条件x02x+3y90x2y10x+y10，则目标函数z=2x+y的最小值是（）A. -5 B. 1 C. 2 D. 7【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合图象确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解.【详解】由题意，画出约束条件x02x+3y90x2y10x+y10所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z=2x+y，可得y=2x+z，由图象可知，当直线y=2x+z过点A(0,1)时，直线在y轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，最小值为z=20+1=1，故选B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题4.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A. 7 B. 14 C. 30 D. 41【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，即可求解.【详解】由题意，模拟程序的运行，可得S=0,i=1，不满足条件i4，执行循环体，i=2，满足条件能被2整除，S=0+41=3；不满足条件i4，执行循环体，i=3，满足条件能被2整除，S=3+22=7；不满足条件i4，执行循环体，i=4，满足条件能被2整除，S=7+24=14；不满足条件i4，执行循环体，i=5，满足条件能被2整除，S=14+24=30；此时，满足i4，推出循环，输出S的值为30，故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.已知f(x)=x2|x|，a=f(log35)，b=f(0.40.5)，c=(log25)，则a,b,c的大小关系为（）A. cba B. bca C. abc D. cab【答案】D【解析】【分析】现判断函数fx是奇函数，同时又是增函数，结合指数幂和对数的性质判断，三个变量的大小，结合单调性进行判定，即可得到答案.【详解】函数fx是奇函数，当x0时，fx=x2x为增函数，又由1log352,00.40.5log24=2，则00.40.5log35log25，所以ba0,0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，将f(x)的图象向右平移13个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列是函数g(x)的单调递增区间的为（）A. 83,23 B. 23,43 C. 13,73 D. 73,133【答案】B【解析】【分析】由函数f(x)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，求得w=2，所以f(x)=Asin2x，将函数fx的图象向右平移13个单位长度，得到函数g(x)=Asin(2x6)，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】函数f(x)=Asinx(A0,0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，所以函数的最小正周期为4，则2w=4，解得w=2，所以f(x)=Asin2x，将函数fx的图象向右平移13个单位长度，得到函数g(x)=Asin(2x6)，令2+2k2x62+2k,kZ，解得23+2kx43+2k,kZ，当k=0时，函数的单调单调递增区间为23,43，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的图象变换的应用，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若F1MF2=45，则双曲线的离心率为（）A. 3 B. 2 C. 2 D. 5【答案】A【解析】【分析】设切点为N，连接ON，作F2作F2NMN，垂足为A，由ON=a，得到F1A=2b，在直角三角形MF2A中，可得MF2=22a，得到MF1=2b+2a，再由双曲线的定义，解得b=2a，利用双曲线的离心率的定义，即可求解.【详解】设切点为N，连接ON，作F2作F2NMN，垂足为A，由ON=a，且ON为F1F2A的中位线，可得F2A=2a,F1N=c2a2=b，即有F1A=2b，在直角三角形MF2A中，可得MF2=22a，即有MF1=2b+2a，由双曲线的定义可得MF1MF2=2b+2a22a=2a，可得b=2a，所以c=a2+b2=3a，所以e=ca=3，故选A.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a,c ，代入公式e=ca；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)8.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-1，当x(0,2时，f(x)=x2-x,x(0,1)1x,x1,2.若x(0,4时，t2-7t2f(x)3-t恒成立，则实数的取值范围是（）A. 2，+) B. (1,52) C. 12，2 D. (2,52)【答案】C【解析】【分析】根据函数的性质f(x+2)=2f(x)-1和函数的解析式，求得fxmin=-32,fxmax=1，则若x(0,4时，t2-7t2fx3-t恒成立转化为t2-7t2-32且13-t，即可求解.【详解】当x(2,3)时，x-2(0,1)，则fx=2f(x-2)-1=2(x-2)2-2(x-2)-1=2x2-10x+11，当x(3,4)时，x-2(1,2)，则fx=2f(x-2)-1=2x-2-1，则当x(0,1)时，fx=x2-x-14,0)，当x1,2时，fx=1x12,1，当x(2,3)时，fx=2x2-10x+11-32,-1)，当x3,4时，fx=2x-2-10,1，所以x(0,4时，fx-32,-1)-14,1，所以fxmin=-32,fxmax=1，“若x(0,4时，t2-7t2fx3-t恒成立”等价于t2-7t2-3213-t，解得12t2，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中根据题意根据函数的性质和函数的解析式，求得函数的最值，再把恒成立问题转化为不等式组求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.已知复数z=2+6i3i(是虚数单位)，则复数的虚部为_.【答案】2【解析】【分析】根据复数的代数形式的四则运算，化简复数，即可得到答案.【详解】由题意，复数z=2+6i3i=2+6i3+i3i3+i=20i10=2i，所以复数的虚部为2.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.若二项式(33x2+1x)6的展开式中的常数项为m，则1m3x2dx=_.【答案】124【解析】【分析】根据题意，利用二项式求得m的值，再求出被积分函数的原函数，即可求解.【详解】由题意，二项展开式的通项为Tr+1=C6r(33x2)6r(1x)r=(33)6rC6rx123r，由123r=0，得r=4，所以m=(33)2C64=5，则1m3x2dx=153x2dx=x3|15=5313=124.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及定积分的计算问题，其中解答中根据二项展开式的通项，求得m的值，再根据定积分的计算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.11.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，四面体B1ACD1的表面积为83，则该正方体的体积是_.【答案】8【解析】【分析】由已知画出图形，设正方体的棱长为，由四面体B1ACD的表面积为83求的的值，则正方体的体积，即可求解.【详解】如图所示，设正方体的棱长为，则四面体B1ACD的棱长为2a，其表面积S=4122a62a=23a2=83，得a=2，所以正方体的体积是V=23=8.【点睛】本题主要考查了多面体的体积的计算问题，其中解答中熟记正四面体的表面积的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题.12.已知抛物线C的参数方程为x=2pt2y=2pt（为参数，p0），其焦点为F，顶点为O，准线为，过点F斜率为3的直线与抛物线C交于点A（A在x轴的上方），过A作ABl于点B，若BOF的面积为32，则p=_.【答案】2【解析】【分析】把抛物线C的参数方程化为普通方程，写出过交点F的斜率为3的直线方程，与抛物线方程联立，求出点A的坐标，写出点B的坐标，利用BOF的面积列出方程，即可求出P的值.【详解】抛物线C的参数方程为x=2pt2y=2pt（为参数，p0），消去参数，化为y2=2px，其焦点坐标为F(p2,0)，准线方程为x=p2，过焦点F且斜率为3的直线方程为y=3(xp2)，由y=3(xp2)y2=2px，整理得12x220px+3p2=0，解得x=32p或x=16p（不合题意，舍去），所以当x=32p时，y2=3p，所以点A(32p,3p)，所以B(32p,3p)，所以BOF的面积为SBOF=12OFyB=12P23P=34p2=32，解得p=2.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，同时考查了三角形的面积的计算问题，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，求解交点的坐标，再利用三角形的面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.13.设a1，b0，若a+b=2，则2a1+1b的最小值为_.【答案】3+22【解析】【分析】由已知可得a1+b=1，从而有2a1+1b=(2a1+1b)(a1+b)，展开后利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，因为a1,b2满足a+b=2，所以a1+b=1，且a10,b0，则2a1+1b=(2a1+1b)(a1)+b=3+2ba1+a1b3+22ba1a1b=3+22，当且仅当2ba1=a1b且a+b=2，即a=32,b=21时取得最小值3+22.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14.在梯形ABCD中，ABCD，AB=BC=2，CD=1，BCD=120，P，Q分别为线段BC和CD上的动点，且BP=BC，DQ=16DC，则APBQ的最大值为_.【答案】76【解析】【分析】根据平面向量的线性运算与数量积的运算，求得APBQ的解析式，进而求得实数的取值范围，在利用函数的单调性，求得最值，即可得到答案.【详解】由题意，梯形ABCD中，AB/CD,AB=BC=2,CD=1,BCD=1200，因为BP=BC，DQ=16DC，则APBQ=(AB+BP)(BC+CQ)=(AB+BC)(BC+616CD)=ABBC+616ABCD+BC2+166CBCD=22cos120061621+22+16621(12)=5+13256，因为010161，解得161，设f=5+13256 ，则f在16,1上单调递增，所以当=1时，f取得最大值76.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，同时也考查了函数的最值问题，其中解答中根据向量的线性运算和数量积的运算，求得APBQ的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.cos(B)=23，c=1，asinB=6csinA.（）求边的值；（）求cos(2B+3)的值.【答案】（）53（）415118【解析】【分析】（）由已知利用诱导公式，可求cosB得值，利用正弦定理化简已知等式可求得b的值，再根据余弦定理可解得的值；（）利用同角三角函数的基本关系式可求得sinB的值，根据二倍角公式可求得sin2B,cos2B的值，进而根据两角和的余弦函数公式，即可求解.【详解】（）由cos(-B)=23，得cosB=-23，因为c=1，由asinB=6csinA，得ab=6ca，b=6 ，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得3a2+4a-15=0，解得a=53或a=-3（舍）a=53（）由cosB=-23得sinB=53sin2B=-459，cos2B=-19cos(2B+3)=cos2Bcos3-sin2Bsin3=415-118【点睛】本题主要考查了诱导公式、正弦定理、余弦定理，以及三角恒等变换公式的综合应用，其中解答中合理应用正弦定理和余弦定理，以及熟记三角恒等变换的公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.某高中志愿者部有男志愿者6人，女志愿者4人，这些人要参加元旦联欢会的服务工作. 从这些人中随机抽取4人负责舞台服务工作，另外6人负责会场服务工作.（）设M为事件：“负责会场服务工作的志愿者中包含女志愿者但不包含男志愿者b”，求事件M发生的概率.（）设X表示参加舞台服务工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列与数学期望.【答案】（）415（）详见解析【解析】【分析】（）由题意，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解P(M)的值；（）由题意得出随机变量X的取自，计算对应的概率值，写出X的分布列，求出数学期望.【详解】（）事件为M的基本事件的总数为C106， 事件M包含基本事件的个数为C84，则P(M)=C85C106=56210=415. （）由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4 . 则P(X=0)=C64C104=15210=114，P(X=1)=C41C63C104=80210=821 P(X=2)=C42C62C104=90210=37，P(X=3)=C43C61C104=24210=435，P(X=0)=C44C104=1210因此X的分布列为X01234P114821374351120X的数学期望是 E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2) +3P(X=3)+4P(X=4)=85【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式，以及随机变量的分布列与数学期望问题，其中解答中认真审题，合理准确求解随机变量取每个值对应的概率，利用公式求解数学期望是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.17.如图，已知梯形ABCD中，ADBC，DAB=90，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，DE=2，平面EDCF平面ABCD.（）求证：DF平面ABE；（）求平面ABE与平面BEF所成二面角的正弦值；（）若点P在线段EF上，且直线AP与平面BEF所成角的正弦值为1414，求线段AP的长.【答案】（）详见解析（）55（）2143【解析】【分析】（）以D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面ABE的法向量m，利用向量的数量积，求得DFm，即可得到DF平面ABE （）由（）求得平面BEF的一个法向量n=(2,1,2)，利用向量的夹角公式，即可求解平面ABE与平面BEF所成二面角的正弦值（）设EP=EF，0,1，得AP=AE+EF=(1,2,2)，利用向量的夹角公式，列出方程，求得=13，得到向量AP的坐标，进而求解AP的长.【详解】（）证明：四边形EDCF为矩形，DECD，又平面EDCF平面ABCD，平面EDCF平面ABCD=CD，ED平面ABCD. 取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(-1,2,0)，E(0,0,2)，F(-1,2,2)，设平面ABE的法向量m=(x,y,z)，BE=(-1,2,2)，AB=(0,2,0)，由BEn=0ABn=0得-x-2y+2z=02y=0，不妨设m=(2,0,1)，又DF=(-1,2,2) DFm=-2+0+2=0，DFm，又DF平面ABE DF平面ABE （）设平面BEF的法向量n=(x,y,z) BE=(-1,-2,2)，EF=(-1,2,0)，由BEn=0EFn=0得-x-2y+2z=0-x+2y=0，不妨设n=(2,1,2)， cosm,n=mn|m|n|=4+235=255， sinm,n=55平面ABE与平面BEF所成二面角的正弦值为55（）点P在线段EF上，设EP=EF，0,1 AP=AE+EF=(-1,0,2)+(-1,2,0)=(-1-,2,2)， 又平面BEF的法向量n=(2,1,2)，设直线AP与平面BEF所成角为 sin=|cosAP,n=|APn|AP|n| =|2(-1-)+2+4|3(-1)2+42+4=1414，452+18-11=0 (3-1)(15+11)=0，0,1，=13 AP=(-43,23,2)，AP=(-43)2+(23)2+4=2143，AP的长为2143.【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中熟记空间向量在线面位置关系中的应用，以及熟记空间向量的夹角公式在空间角求解中的应用是解答的关键，同时建立适当的空间直角坐标系，正确求解平面法向量是解答的基础，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.18.设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0.已知b1=1，b2+2b3=1，(a2+a6)b4=1，a4b2=a5a3.（）求数列an ，bn的通项公式；（）设cn=1+1n(n+2)，Sn=c1c2c3cn(nN*). （）求Sn；（）证明k=1nbkbk+1kSk=121(n+1)2n+1(nN*)【答案】（）an=n，bn=(12)n1；（）() Sn=2(n+1)n+2；()详见解析.【解析】【分析】（）设数列an的首项为a1，公差为d，数列bn的公比为q，根据等差、等比数列的通项公式，列出方程，求得a1,d,q的值即可求解数列的通项公式；（）由题意cn=1+1n(n+2)=(n+1)(n+1)n(n+2)，则()中，即可求得 Sn=2(n+1)n+2；()化简bkbk+1kSk =1k2k1(k+1)2k+1，利用裂项法，求解k=1nbkbk+1kSk=121(n+1)2n+1，即可作出证明.【详解】（）设数列an的首项为a1，公差为d，数列bn的公比为q，b1=1，b2+2b3=1 ，q+2q2=1，q=12或q=-1，q0，q=12，bn=(12)n-1. 由(a2+a6)b4=1，a4b2=a5-a3解得a1=1，d=1： an=n，bn=(12)n-1. （）设cn=1+1n(n+2)=(n+1)(n+1)n(n+2)，则 () Sn=c1c2c3cn= 221333244435 (n+1)(n+1)n(n+2)=2(n+1)n+2()bk-bk+1kSk=k+2k(k+1)2k+1 =1k2k-1(k+1)2k+1k=1nbk-bk+1kSk=(1121-1222) +(1222-1323)+ (1n2n-1(n+1)2n+1)=12-1(n+1)2n+1k=1nbk-bk+1kSk=12-1(n+1)2n+1【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求数列求和，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.19.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心率为53，|AB|=13.（）求椭圆的标准方程；（）设直线：y=kx(k0)与椭圆交于M，N两点，且点M在第二象限.与AB延长线交于点P，若BNP的面积是BMN面积的3倍，求k的值.【答案】（）x29+y24=1（）89【解析】【分析】（）设椭圆的焦距为2c，根据题意列出方程组，求得a=3，b=2，即可求解椭圆的方程；（II）设点M(x1,y1)，P(x0,y0)，由题意，x0x10且N(-x1,-y1)，由BNP的面积是BMN面积的3倍，可得x0=5x1，联立方程求得x1,x2的值，即可求解k的值.【详解】（）设椭圆的焦距为2c，由已知得ca=53a2+b2=13a=3，b=2，所以，椭圆的方程为x29+y24=1 （II）设点M(x1,y1)，P(x0,y0)，由题意，x0x10且N(-x1,-y1) 由BNP的面积是BMN面积的3倍，可得|PN|=3|MN|， 所以PN=3MN，从而(-x1-x0,-y1-y0)=3(-x1-x1,-y1-y1)，所以-x1-x0=3(-x1-x1)，即x0=5x1易知直线AB的方程为2x+3y=6，由2x+3y=6y=kx消去y，可得x0=63k+2由方程组x29+y24=1y=kx消去y，可得x1=-69k2+4由x0=5x1，可得63k+2=-309k2+4， 整理得18k2+25k+8=0，解得k=-89，或k=-12 当k=-89时，x0=-90，不符合题意，舍去所以，k的值为-89【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的应用问题，其中解答中熟记椭圆的标准方程及其简单的几何性质，以及联立方程组，利用直线与圆锥曲线的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20.已知函数f(x)=exax2bx1，其中a,bR，e=2.71828为自然对数的底数. 设g(x)是f(x)的导函数.（）若a=1时，函数g(x)在x=0处的切线经过点(1,1)，求b的值；（）求函数g(x)在区间1,0上的单调区间；（）若f(1)=0，函数f(x)在区间(1,0)内有零点，求的取值范围.【答案】（）1（）详见解析（）(12e,1e)【解析】【分析】（I）a=1时，利用导数的几何意义，求得切线斜率k=g(0)=-1，切点坐标(0,1-b) ，即可求解切线的方程，进而求解b得值；（II）求得函数fx的导数g(x)=ex-2a，根据gx在-1,0单调递增，转化为g(x)1e-2a,1-2a ，分类讨论，即可求解函数gx的单调区间；（）由f(-1)=0得：b=a+1-1e，得g(x)=ex-2ax-(a+1-1e)，由已知，设x0为f(x)在区间(-1,0)内的