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解答题双规范案例之立体几何问题,【重在“化归”】几何法:将立体几何问题转化为平面几何问题.将异面直线夹角,线面角,二面角等空间角转化为平面角求解.,代数法:将几何问题转化为代数问题,用空间向量解题.推理与证明:分析法找思路:将面面问题转化为线面问题,将线面问题转化为线线问题.综合法证明:线线关系推出线面关系,线面关系推出面面关系.,【思维流程】,【典例】(12分)(2018全国卷)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.,(1)证明:平面AMD平面BMC.(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.,切入点:联想到面面垂直的判定定理关键点:确定三棱锥M-ABC体积最大时,点M的位置,【标准答案】【解析】(1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,1分所以BC平面CMD,故BCDM.2分因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.,又BCCM=C,所以DM平面BMC.3分而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.4分(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.6分,当三棱锥M-ABC体积最大时,M为的中点.7分由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),=(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0),8分设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,则即,可取n=(1,0,2).9分是平面MCD的法向量,因此cos=,10分sin=,所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.12分,【阅卷现场】第(1)问踩点得分由条件得出BCCD,并写出BC平面ABCD得1分,没有BC平面ABCD扣1分.得出BCDM得1分.得出DM平面BMC,得1分.,得出结论得1分,如果没有写出DM平面AMD扣1分.第(2)问踩点得分正确建立空间直角坐标系得2分.确定M为的中点得1分.正确写出点的坐标,并求出相应向量的坐标得1分.正确求出平面
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