分析力学基础第二类拉格朗日方程

M1-1,.,5第二类拉格朗日方程,质点i的虚位移,将上式代入动力学普遍方程（3-15）式：,因qk是独立的，所以,注意广义力可得,1.基本形式的拉格朗日方程,M1-2,.,上式应用起来很不方便。我们要作变换,上式中的第二项与广义力相对应，称为广义惯性力。,注意到广义力可得,拉格朗日改造动力学普遍方程的第一步：就是把主动力的虚功改造为广义力虚功。,拉格朗日改造动力学普遍方程的第二步：就是改造惯性虚功项，使之与系统的动能的变化联系起来。,M1-3,.,变换,2.,3.,1.,M1-4,.,可得,由,为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。其中：,主动力的广义力，可以是力、力矩或其他力学量（不包含约束反力）,体系相对惯性系的动能,广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量,M1-5,.,2.保守体系的拉格朗日方程,M1-6,.,2.保守体系的拉格朗日方程,将Qk代入拉格朗日方程式，得,想一想：上式的成立、适用条件是什么？,保守体系的拉格朗日方程为：,为拉格朗日函数（动势），是表征体系约束运动状态和相互作用等性质的特征函数。,势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数,M1-7,.,3.对拉格朗日方程的评价,(1)拉氏方程的特点（优点）：,是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。,方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。,拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。,M1-8,.,3.对拉格朗日方程的评价,(2)拉氏方程的价值,拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。,M1-9,.,应用拉氏方程解题的步骤：1.判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。2.计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。3.计算广义力，计算公式为：,或,若主动力为有势力，也可将势能V表示为广义坐标的函数。4.建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。5.求出上述一组微分方程的积分。,M1-10,.,例物块C的质量为m1，A，B两轮皆为均质圆轮，半径R，质量为m2，求系统的运动微分方程。,解：图示机构只有一个自由度，所受约束皆为完整、理想、定常的，以物块平衡位置为原点，取x为广义坐标。,系统势能：(以弹簧原长为弹性势能零点),M1-11,.,系统动能：,系统的拉格朗日函数（动势）,代入拉格朗日方程,M1-12,.,注意到,可得系统的运动微分方程,M1-13,.,已知：M1的质量为m1，M2的质量为m2，杆长为l。试建立此系统的运动微分方程。,解：图示机构为两个自由度，取x1，为广义坐标，则有。,系统动能：,求导：,M1-14,.,系统势能：（选质点M2在最低位置为零势能位置）,求导运算可得：,由拉格朗日方程得,M1-15,.,同理：,由拉格朗日方程得,M1-16,.,例水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径r，沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。,解：图示机构只有一个自由度，所受约束皆为完整、理想、定常的，可取OA杆转角为广义坐标。,M1-17,.,M1-18,.,代入拉氏方程：,积分，得：,故：,代入初始条件，t=0时，得,M1-19,.,例：与刚度为k的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l，摆锤质量为m2。试列出该系统的运动微分方程。,解：将弹簧力计入主动力，则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x,为广义坐标，x轴原点位于弹簧自然长度位置，逆时针转向为正。,M1-20,.,系统动能：,M1-21,.,系统势能：(以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点),拉格朗日函数：,M1-22,.,M1-23,.,系统的运动微分方程。,上式为系统在平衡位置(x=0,=0)附近微幅运动的微分方程。,若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时1o，cos1，sin，略去二阶以上无穷小量，则,M1-24,.,