天津第一中学高三数学下学期第五次月考理

天津一中2017-2018高三年级五月考数学试卷（理）一、选择题：1.已知集合，则（ ）A B C D2.已知实数，满足不等式组，则的最小值是（ ）A B C D3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A B C D4.已知数列是等差数列，为正整数，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5.已知圆：与双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）A B C D6.设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（ ）A B C D7.设定义在上的函数，满足，为奇函数，且，则不等式的解集为（ ）A B C D8.将数字“”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）A B C D二、填空题：9.设复数满足，则 10.已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是 11.在极坐标系中，直线：与圆：，则直线被圆截得的弦长为 12.如图，在中，已知，则 13.已知点在椭圆上运动，则最小值是 14.已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 三、解答题： 15.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有个红球、个白球的甲箱和装有个红球、个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖次能获奖的概率；（2）若某顾客有次抽奖机会，记该顾客在次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.16.的内角、的对边分别为、，已知.（1）求；（2）如图，为外一点，若在平面四边形中，且，求的长.17.如图，在四棱锥中，为等边三角形，且，为中点.（1）求证：平面平面；（2）若线段上存在点，使得二面角的大小为，求的值；（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.18.已知数列中，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和，并求满足的所有正整数.19.已知椭圆：的左、右焦点与其短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，与轴，轴分别交于点，且，点是点关于轴的对称点，的延长线交椭圆于点，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线，使得点平分线段？若存在，求出直线的方程，若不存在请说明理由.20.已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；（3）若，且，证明：.参考答案一、选择题1-5: DBAAB 6-8: CDC二、填空题9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题15.（1）设顾客抽奖次能中奖的概率为，解出即可.（2）顾客抽奖次视为次独立重复试验，判断出，求出概率，得到的分布列，然后求出数学期望和方差.解析：（1）设顾客抽奖次能中奖的概率为，.（2）设该顾客在一次抽奖中或一等奖的概率为，.，故的分布列为数学期望.16.解：（1）在中，由正弦定理得，又，所以，故，所以，又，所以，故.（2），又在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，即，化简得，解得.故的长为.17.试题解析：（1）证明：连接，是等边三角形，为中点，又，且，四边形为矩形，又，平面，又平面，平面平面.（2）如图建系，设，设平面的法向量为，平面的法向量不妨设为，或（舍），.（3）.18.解：（1）设，因为，所以数列是以即为首项，以为公比的等比数列.（2）由（1）得，即，由，得，所以，显然当时，单调递减，又当时，当时，所以当时，；，同理，当且仅当时，综上，满足的所有正整数为和.19.（1）由题意知，即，即，在椭圆上，所以椭圆方程为.（2）存在.设，联立，若平分线段，则，即，把，代入，得，所以直线的方程为或.20.（1），时，因为，所以，函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；当时，令，解得，当时，；当，.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，在区间上的极小值为，无极大值.（2）由题意，即问题转化为对于恒成立，即对于恒成立，令，则，令，则，所以在区间上单调递增，故，故，所以在区间上单调递增，函数.要使对于恒成立，只要，所以，即实数的取值范围为.（3）证法1：因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且.不妨设，则，要证，只要证，即证.因为在区间上单调递增，所以，又，即证，构造函数，即，.，因为，所以，即，所以函数在区间上单调递增，故