天津第一中学高三数学下学期第四次月考试卷理

天津一中、益中学校2018-2019 高三年级四月考数学试卷（理）一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上。1.设集合，则等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：，所以，故选B。2.设变量，满足约束条件：，则目标函数的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先作可行域，再结合图象确定最优解，解得结果.【详解】先作可行域，则直线过点A(2,1)时取最小值7，选B.【点睛】本题考查线性规划求最值问题，考查基本分析求解能力，属基本题.3.执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：第一次执行循环体后，S12，m14，n1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S14，m18，n2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S18，m116，n3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S116，m132，n4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S132，m164，n5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S164，m1128，n6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S1128，m1256，n7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.设函数fx=sinx+cosx+0,2的最小正周期为，且f-x=fx则A. y=fx在4,34单调递增B. y=fx在0,2单调递减C. y=fx在4,34单调递减D. y=fx在0,2单调递增【答案】B【解析】【分析】先利用配角公式化为基本三角函数，再根据正弦函数周期性求，根据奇偶性求，最后根据余弦函数单调性确定选项.【详解】因为fx=sinx+cosx+=2sinx+4，所以2=，=2，因为f-x=fx，所以fx为偶函数，因此+4=2+k,kZ,因为0”是“S3S2”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化解S3S2，再根据公比范围以及不等式性质确定选项.【详解】设等比数列的an的公比为q，则q0，所以S3S2a30a1q20a10，即“a10”是“S3S2”的充要条件，选A.【点睛】本题考查等比数列通项公式以及不等式性质，考查基本分析化简能力，属基本题.6.己知函数fx=exex，若3a=log3b=c，则A. fafbfcB. fbfcfaC. fafcfbD. fcfb0,所以由图知bca,因为fx=ex-e-x为R上单调递增函数，所以fafc0,b0左支上点B与右焦点F关于渐近线对称，且BF=4，则该双曲线的方程为A. x2y24=1B. x22y24=1C. x23y24=1D. x2y2=4【答案】A【解析】【分析】先求右焦点F关于渐近线对称点B坐标，再根据BF=4得关系b2=4a，据此可作出判断.【详解】根据对称性，不妨先求右焦点F(c,0)关于渐近线y=bax对称点，易得B(a2-b2c,2abc),再根据BF=ea2c-a2-b2c=b2a=4,得b2=4a,对照选项可得选A.也可根据B在双曲线x2a2-y2b2=1上，得（a2-b2c）2a2-2abc2b2=1，即得（a-4）2-4a2=a2+4a,解得a=1，b2=4，x2-y24=1，选A.【点睛】本题考查双曲线标准方程以及渐近线，考查综合分析与求解能力，属中档题.8.已知函数fx=x3+a,aR在1,1上的最大值为Ma，若函数gx=Mxx2+t有4个零点，则实数的取值范围为A. 1,54B. ,1C. ,11,54D. ,11,2【答案】C【解析】【分析】先根据三次函数单调性确定Ma，再结合函数图象确定实数的取值范围.【详解】因为y=x3+a在R上单调递增，所以Ma=maxM1,M-1=max|a+1|,|a-1|,即M(a)=a+1,a01-a,a0，作图象y=M(x)=x+1,x01-x,x0,y=|x2+t|，由图象可知，t1t-1；当t0时有x+1=x2+t,x0;1-x=x2+t,x0,=1-4(t-1)0|t|11t12,n1，则4m2n1+n22m1的最小值为_【答案】8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令x=n1,y=2m1，则x0,y0,4m2n1+n22m1=(y+1)2x+(x+1)2y=(y2x+x2y)+2(yx+xy)+(1x+1y)2y2xx2y+22yxxy+21x1y=4+2xy+2xy4+22xy2xy=8当且仅当x=y=1时取等号.即4m2n-1+n22m-1的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14.在RtABC中，已知A为直角，BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，则BPCQ的最大值为_【答案】0【解析】【分析】根据向量数量积运算律以及定义化简即得结果.【详解】BPCQ=(BA+AP)(CA+AQ)=(BA+AP)(CAAP)=(CABA)APAP2=CBAPAP2=a2cosa2a2a2=0.即BPCQ的最大值为0.【点睛】本题考查向量数量积运算律以及定义，考查基本分析化简能力，属基本题.三、解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15.已知ABC的内角A,B,C对边分别为a,b,c，且满足sin2A+BsinA=2+2cosA+B.（1）求ba值； （2）若a=1,c=7，求ABC的面积.【答案】（I）ba=2；（II）32【解析】分析：（1）由sin2A+BsinA=2+2cosA+B，利用两角和的正弦公式以及诱导公式可得sinB=2sinA，根据正弦定理进行转化即可求ba的值；（2）结合（1）与a=1,c=7，可得b=2，利用余弦定理可得C=23，根据三角形的面积公式即可求ABC的面积.详解：（1）sin2A+BsinA=2+2cosA+B，sin2A+B=2sinA+2sinAcosA+B，sinA+A+B=2sinA+2sinAcosA+B，sinA+BcosA-sinAcosA+B=2sinA，sinB=2sinA，b=2a，ba=2.（2）a=1,c=7,ba=2，b=2，cosC=a2+b2-c22ab=1+4-74=-12，C=23.SABC=12sbsinC=121232=32，即ABC的面积的32.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.16.英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词：每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）（I）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；（）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为45，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为35，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数的分布列和期望。【答案】（I）311，（）分布列见解析，期望为115.【解析】【分析】（I）根据古典概型概率公式求解，（）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得结果.【详解】（）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A，则由题意可得P(A)=C63C61+C64C124=311（）由题意可得可取0，1，2，3，则有P(=0)=(15)225=2125 P(=1)=C21451525+(15)235=19125，P(=2)=(45)225+C21451535=56125， P(=3)=(45)235=48125 所以的分布列为：0123P2125191255612548125故E=02125+119125+256125+348125=115.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求.17.已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点。（1）求证：EF平面PAD；（2）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（3）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为6，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由.【答案】（I）见解析，（）3，（）不存在【解析】【分析】（I）先根据面面垂直得线面垂直，再根据平行转化得结果，（）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（）先假设存在，根据（）可得平面EFG法向量，再根据向量数量积得直线方向向量与法向量夹角，结合条件得方程，根据方程解的情况作判断.【详解】（I）证明：平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD,ABADAB面PAD,又EFAB,EF平面PAD， （）取AD中点O，连接PO平面PAD平面ABCD， POAD，PO平面ABCD， 如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴轴建立空间直角坐标系,O(0,0,0)A(0,-2,0)B(4,-2,0)C(4,2,0)，D(0,2,0),G(4,0,0), P(0,0,23)，E(0,-1,3),F(2,-1,3)， EF=(2,0,0),EG=(4,1,-3),设平面EFG的法向量为m=(x,y,z)，EFm=0EGm=0，2x=04x+y-3z=0取z=1m=(0,3,1)又平面ABCD的法向量为n=(0,0,1)， 设平面EFG与平面ABCD所成锐角二面角为cos=|mn|m|n|=12，平面EFG与平面ABCD所成锐角二面角为3.（）设PM=PD,0,1，GM=GP+PM=GP+PD=(-4,0,23)+(0,2,-23)，GM=(-4,2,23(1-)，sin6=|cos|=|GMm|GM|m|=232162-24+28， 即22-3+2=0，无解，不存在这样的M.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.已知正项等比数列an，等差数列bn满足a1=b1=1,a2+b2=7，且a2是b1与b3+2的等比中项.（1）求数列an,bn的通项公式； （2）设cn=1nbn+anb2n，求数列cn的前n项和Tn.【答案】（1）an=3n1,bn=3n2；（2）3n+52+6n523n,n=2k63n2+6n523n,n=2k1.【解析】试题分析：（1）根据a2+b2=7，a2是b1与b3+2的等比中项列出关于公比q 、公差d的方程组，解方程组可得q与d的值，从而可得数列an与bn的的通项公式；（2）由（1）可知an=3n-1,bn=3n-2，所以cn=(-1)n(3n-2)+(6n-2)3n-1，对n分奇数、偶数两种情况讨论，分别利用分组求和法，错位相减求和法，结合等差数列求和公式与等比数列求和公式求解即可.试题解析：(1)设等比数列an的公比为q，等差数列bn的公差为d由a2是b1与的等比中项可得： 又，则：，解得q=3或q=-5因为an中各项均为正数，所以q=3，进而d=3. 故an=3n-1,bn=3n-2. （2）设cn=(-1)n(3n-2)+(6n-2)3n-1设数列(-1)n(3n-2)的前n项和为An，数列(6n-2)3n-1的前n项和为Bn,当n为偶数时，An=-1+4-7+10+-(3n-5)+(3n-2)=3n2, 当n为奇数时，An=An-1-(3n-2)=3n-32-3n+2=1-3n2 ,而 Bn=430+1031+1632+(6n-2)3n-1,则3Bn=431+1032+1633+.+(6n-8)3n-1+(6n-2)3n,由-得：,因此Bn=52+6n-523n, 综上：Tn=3n+52+6n-523n,n=2k6-3n2+6n-523n,n=2k-1.19.如图已知椭圆x2a2+y2b2=1ab0，A2,0是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且ACBC=0，OC-OB=2BC-BA.（）求椭圆的方程：（）设P,Q为椭圆上异于A,B且不重合的两点，且PCQ的平分线总是垂直于x轴，是否存在实数，使得PQ=AB，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由.【答案】（）x24+3y24=1（）max=233【解析】【分析】（）易知a=2,根据条件确定AOC形状，即得C坐标，代入椭圆方程可得b2，（）即先判断PQAB是否成立，设PC的直线方程，与椭圆联立方程组解得P坐标，根据P、Q关系可得Q坐标，利用斜率坐标公式即得PQ斜率，进而判断PQAB成立，然后根据两点间距离公式计算PQ长度最大值，即可得的最大值.【详解】（）ACBC=0， ACBC,ACB=90又|OCOB|=2|BCBA|，即|BC|=2|AC|，2|OC|=2|AC|,|OC|=|AC|AOC是等腰直角三角形 A(2,0)， C(1,1)因为点C在椭圆上，1a2+1b2=1,a=2,b2=43所求椭圆方程为x24+3y24=1 （）对于椭圆上两点P、Q，PCQ的平分线总是垂直于x轴PC与CQ所在直线关于x=1对称，设kPC=k(k0且k1)，则kCQ=k， 则PC的直线方程y1=k(x1)y=k(x1)+1 QC的直线方y1=k(x1)yk(x1)+1 将代入x24+3y24=1得(1+3k2)x26k(k1)x+3k26k1=0 C(1,1)在椭圆上，x=1是方程的一个根，xp1=3k26k11+3k2=xp 以k替换k，得到xQ=3k2+6k13k2+1. kPQ=ypyQxpxQ=k(xp+xQ)2kxpxQ=k6k221+3k22k12k1+3k2=4k1+3k212k1+3k2=13 因为B(1,1),所以kAB=13,kPQ=kAB, PQAB，存在实数，使得PQ=AB |PQ|=(xpxq)2+(ypyq)2=(12k1+3k2)2+(4k1+3k2)2=160k2(1+3k2)2=1609k2+1k2+62303当9k2=1k2时即k2=13,k=33时取等号，又|AB|=10，max=230310=233【点睛】解析几何存在性问题，一般解决方法先假设存在，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，根据计算结果确定是否存在其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.20.已知函数fx=lnxmx,mR.（1）求fx的极值；（2）证明：m=0时，exfx+2（3）若函数gx=xefx有且只有三个不同的零点，分别记为x1,x2,x3，设x1x20，故f(x)在区间(0,+)上单调递增； f(x)无极值.（2）当m0时，由f(x)0，解得0x1m；由f(x)1m所以函数f(x)在(0,1m)上单调递增，在(1m,+)上单调递减. f(x)的极大值为f(1m)=-lnm-1，无极小值.（）证明：令F(x)=ex-ln(x+2)，故只需证明F(x)0.因为F(x)=ex-1x+2,F(x)=e