天津高三数学九校联考试卷理

天津市2019届高三数学3月九校联考试卷 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合均为全集的子集，且,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】,因为，所以中必有元素，【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于，这两个条件，可以判断集合中的元素有三种情形，而指出中必有元素，简化了运算，使结果判断更容易.【此处有视频，请去附件查看】2.【2018年天津卷文】设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：x+y=5-x+y=1，可得点A的坐标为：A2,3，据此可知目标函数的最大值为：zmax=3x+5y=32+53=21.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A. 3B. -6C. 10D. -15【答案】C【解析】分析】根据循环结构特征，先判断i为奇数还是偶数，代入不同的处理框，依次算出S的值，同时判断是否继续执行循环，即可求得S的值【详解】由程序框图可知：第一次循环：i=1为奇数，S=012=1，i=1+1=2第二次循环：i=2为偶数，S=1+22=3，i=2+1=3第三次循环，i=3为奇数，S=332=6，i=3+1=4第四次循环，i=4为偶数，S=6+42=10，i=4+1=5此时不满足i0，x2+x30，x1+x30，则有fx1+fx2+fx3的值( )A. 恒等于零B. 恒小于零C. 恒大于零D. 可能小于零，也可能大于零【答案】C【解析】【分析】由题意可得函数fx为奇函数，利用导函数的解析式可得：在x0,2时，函数为增函数，进而可得x2,2时，函数为增函数，结合函数的奇偶性和函数的单调性确定fx1+fx2+fx3的符号即可.【详解】函数f(x)=x3cosx的定义域-2,2关于原点对称，且满足fx=fx，故函数fx为奇函数，又由f(x)=3x2cosx+x3sinxcos2x0，在x0,2时恒成立，故x0,2时，函数为增函数，进而可得x2,2时，函数为增函数，若x1+x20,x2+x30,x1+x30，则x1x2,x2x3,x3x1，则fx1fx2=fx2，fx2fx3=fx3，fx3fx1=fx1，从而：fx1+fx20，fx2+fx30，fx1+fx30，据此可得：2fx1+fx2+fx30，即fx1+fx2+fx3的值恒大于零.故选：C【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的左顶点与抛物线y2=2pxp0的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为2,1，则双曲线的焦距为( )A. 23B. 25C. 43D. 45【答案】B【解析】双曲线的左顶点为（a，0），抛物线的焦点为（p2，0），于是p2a4而抛物线的准线为l:xp2，由l与渐近线的交点为（2，1），可知p22，于是a2，又双曲线的渐近线为ybax，点（2，1）在渐近线上，得ba=12，故b1于是c，故焦距为2c25考点：双曲线与抛物线的标准方程及其性质【此处有视频，请去附件查看】8.设f(x)=x2+1(x0)4xcosx1(x04cosx,x04cosx,x04cosx,x04cosx,x0所截弦长为23，则a=_.【答案】2【解析】【分析】由题意结合所给方程可得直线与圆的交点为：0,0,3a,3，结合题中所给的弦长确定a的值即可.【详解】很明显，直线与圆均经过极点，将=3代入圆的方程可得：=2asin3=3a，据此可得直线与圆的交点为：0,0,3a,3，结合题中所给的弦长可得：3a0=23,a=2.【点睛】本题主要考查极坐标的几何意义及其应用，属于中等题.12.已知三棱锥ABCD中，AB面BCD，BDC=90，AB=BD=2，CD=1，则三棱锥外接球的体积为_【答案】92【解析】【分析】三棱锥可补形为一个长宽高分别为2,1,2的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，据此求得外接球的半径，然后确定其体积即可.【详解】如图所示，三棱锥可补形为一个长宽高分别为2,1,2的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，设外接球半径为R，则：2R2=22+22+12，则R2=94,R=32，外接球的体积：V=43R3=43278=92.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.13.已知a0,b0,c1，且a+b=1，则2a+bab3c+2c1的最小值为_.【答案】4+22【解析】【分析】由题意可得2a+bab-3 22，结合c1和均值不等式可得2a+bab-3c+2c-1的最小值，注意等号成立的条件.【详解】由a0,b0，且a+b=1，可得：2a+bab-3 =2a+ba+bab3=2ab+ba22，结合c1可得：2a+bab-3c+2c-1 22c+2c1=22c1+1c1+2 222c11c1+2=4+22，当且仅当2ab=baa+b=12c1=2c1，即a=21b=22c=142+1时等号成立.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误14.在直角三角形ABC中，ABC=90，BAC=60，AC=4，若AO=14AC，动点D满足CD=1，则OA+OB+OD的最小值是_【答案】71【解析】【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算可得OA+OB+OD =cos-52,sin+32，据此结合三角函数的性质确定OA+OB+OD的最小值即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：A2,0,B0,0,C0,23,O32,32,Dcos,23+sin，据此可得：OA=12,-32，OB=-32,-32，OD=cos-32,332+sin，则：OA+OB+OD=cos-52,sin+32，OA+OB+OD= cos-522+sin+322 =8+3sin-5cos=8+27sin+，其中tan=-53，当sin+=-1时，OA+OB+OD取到最小值8-27=7-1.【点睛】本题主要考查向量的模的计算，向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=7，角A=60，且sinB+sinC=1334.(1)求bc的值；(2)若bc，求cos2B+A的值.【答案】(1)40；(2)7198.【解析】【分析】(1)由正弦定理结合合分比的性质可得b+c=13，然后结合余弦定理求解bc的值即可.(2)由题意可得b=5,c=8，利用余弦定理和两角和差正余弦公式可得cos2B+A的值.【详解】(1)由正弦定理结合合分比的性质有：asinA=b+csinB+sinC，则b+c=asinB+sinCsinA=71331422=13，由余弦定理有：a2=b2+c22bccosA，即a2=b+c22bc2bccosA，则：72=132bc2bc12，据此可得：bc=40.(2)b+c=13,bc=40,b1证明题中的结论即可.【详解】()由题意可得1-a22=a11+a3，即1-12a12=a11+14a1，解得a1=12，故数列的通项公式为an=12n.T1=b2T2=2b38=(8+d)16+d=2(8+2d)=12d=8bn=8n.()结合()的结果可知：Tn=nbn+1=n8n+82=4nn+1，则1Tn=141n-1n+1，Cn=1T1+1T2+1Tn=141-12+12-13+1n+1=141-1n+1，14Sn=141-12n，Cn14Sn 141-1n+1141-12n n+12n，当n=1时，2n=n+1；当n1时，2n=(1+1)n=Cn0+Cn1+Cnn=1+n+1n+1.故题中的结论成立.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，裂项求和的方法，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63，椭圆的左焦点为F，椭圆上任意点到F的最远距离是6+2，过直线x=a2c与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C.(1)求椭圆的方程；(2)求证：C、F、B三点共线；(3)求MBC面积S的最大值.【答案】()x26+y22=1；()证明见解析；()32.【解析】【分析】()由题意得到关于a,b,c的方程组，求得a,b的值即可确定椭圆方程；()设直线的方程为x=ty3，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理证明kBFkCF=0即可证得题中的结论.()由题意可得MBC的面积S=3|t|t2+3，结合均值不等式的结论确定面积的最大值即可.【详解】()由题意可得：ca=63a+c=6+2a2=b2+c2，解得：a2=6b2=2c2=4，故椭圆的离心率为：x26+y22=1.()结合()中的椭圆方程可得：a2c=62=3，故M3,0，设直线的方程为x=ty3，联立直线方程与椭圆方程：x=ty3x26+y22=1可得：t2+3y26ty+3=0.直线与椭圆相交，则：=36t212t2+30，解得：t62或t54.【答案】(),1；()答案见解析；()证明见解析.【解析】【分析】()由题意可得lnx-1x-2x+1+2a0恒成立 ，构造函数，令g(x)=lnx-1x-2x+1+2a,由导函数的解析式可知gx在0,1递增,在1,+递减, 据此计算可得实数a的取值范围.() 由fx在x=1处取得极值可得a=1.原问题等价于求解lnx-1x-2x+5=0在区间0,2内解的个数，结合导函数的解析式研究函数的单调性和函数在特殊点处的函数值即可确定切线的条数.而事实情况下检验a=1时函数fx不存在极值点，所以不存在满足题意的实数a，也不存在满足题意的切线.()若函数有两个极值点x1,x2,不妨设0x11,结合函数的解析式和零点的性质即可证得题中的不等式.【详解】()由已知,f(x)=lnx+x-1x-2(x-a)=lnx-1x-2x+1+2a0恒成立 令g(x)=lnx-1x-2x+1+2a,则g(x)=1x+1x2-2=-2x2+x+1x2=-(2x+1)(x-1)x2(x0), -(2x+1)0,解得:0x1,令gx1, 故gx在0,1递增,在1,+递减, g(x)max=g(1)=2a-2，由fx0恒成立可得a1.即当fx在0,+上单调递减时,a的取值范围是-,1.()fx在x=1处取得极值，则f1=0，可得a=1.令f(x)=lnx-1x-2x+3=-2，即 lnx-1x-2x+5=0.设h(x)=lnx-1x-2x+5，则h(x)=1x+1x2-2=-2x2+x+1x2=-(2x+1)(x-1)x2.故hx在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，注意到he-5=-e5-2e-50，则方程lnx-1x-2x+5=0在0,2内只有一个实数根，即当x0,2时，只有一条斜率为-2且与函数fx图像相切的直线.但事实上，若a=1，则f(x)=lnx-1x-2x+3，fx=-x-12x+1x2，故函数fx在区间0,1上单调递增，在区间1,2上单调递减，且f1=0-1-2+3=0，故函数fx0在区间0,2上恒成立，函数fx在区间0,2上单调递减，即函数不存