天津高中数学第5讲函数图像的变换寒假课程学案新人教

第五讲 函数图像的变换一、知识梳理1.水平平移：函数的图像是将函数的图像沿轴方向向左（0）或向右（0）平移个单位得到.称之为函数图象的左、右平移变换.2.竖直平移：函数的图像是将函数的图像沿轴方向向上（0）或向下（0）平移个单位得到.称之为函数图象的上、下平移变换.3.要作函数的图象，只需将函数的图象轴右侧的部分对称到轴左侧去，而轴左侧的原来图象消失.称之为关于轴的右到左对称变换（简称去左翻右）.4.要作函数的图象，只需将函数的图象轴下方的部分对折到轴上方即可.叫做关于轴的下部折上变换（简称去下翻上）.5.要作的图象，只需将函数的图象以轴为对折线，把轴右侧的部分折到轴左侧去.同时，将轴左侧的部分折到轴右侧去.叫做关于轴的翻转变换.6.要作函数的图象，只需将函数的图象以轴为对折线，把轴上方的图形折到轴下方去，同时又把轴下方的图象折到轴上方去即可.叫做关于轴的翻转变换.7.要作函数（0）的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标缩短（1）或伸长（01）到原来的倍（纵坐标不变）即可（若0，还得同时进行关于轴的翻转变换.这种变换叫做函数图象的横向伸缩变换.8.要作函数（0）的图象，只需将函数图象上所有点的纵坐标伸长（1）或缩短（01）到原来的倍（横坐标不变）即可.这种变换叫做函数图象的纵向伸缩变换（若0，还要再进行关于轴的翻转变换）.9.要作函数的图象，只需将函数的图象发生关于直线的翻转变换即可.实质上，这种变换是函数图象左右平移变换与关于轴翻转变换的复合，即先把图象发生左右平移得到函数的图象，再关于轴翻转便得到的图象.10.要作函数的图象，只需将函数的图象发生关于直线的翻转变换即可.实质上，这种变换是函数图象的关于轴的翻转变换与上下平移变换的复合，即先把函数的图象发生关于轴的翻转变换得到的图象，再把的图象向上（0）或向下（0）平移个单位便得到函数的图象.综合第9、第10变换，要作函数的图象，只需做出函数图象的关于点（，）的中心对称图形即可. 二、方法归纳1.作图象：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法.作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质（即单调性、奇偶性、周期性、有界性及变化趋势（渐进性质）；描点连线，画出函数的图象.用图象变换法作函数图象，要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换；是确定实施怎样的变换.2.识图象：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面的观察，获取有关函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等方面的信息.3.关注函数图像的变换对函数的性质的影响.三、典型例题精讲【例1】函数的图象大致为（ ）错解分析：错解一：由0，得1，即1，故选B.错误在于误将等同于，做出误判0.错解二：没注意，而默认为，故选.解析：考虑，当时，为减函数，淘汰B、.当时，故选A.又例：函数的图象大致是（ ）解析： 由0，得1，故选A.【例2】函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）解析：因函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，故B、C、D满足；又函数，其图象为的图象向右平移1个单位得到，故A、C满足.由此选C.技巧提示：本题中的错误答案均为对函数进行错误变换而得，因此只要变换正确，就能做出正确的选择.本题亦可用特殊值法得到正确的选项.由，可知B、C、D满足；又，可知A、C满足.故选C.又例：函数的图象，可由函数的图象经过下述哪个变换得到（ ）A.向左平移6个单位 B.向右平移6个单位C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位解析：将函数中的用代之，即可得到函数，所以将函数的图象向右平移3个单位即可得到函数的图象，故选D.【例3】函数的图象与函数的图象关于（ ）A.点（1，0）对称 B.直线1对称C.点（1，0）对称 D.直线1对称解析：若记，则，由于与的图象关于直线1对称， 选B.技巧提示：若自身满足，则的图象关于直线对称；若自身满足，则的图象关于点（，0）对称.两个函数与的图象关于直线对称；两个函数与的图象关于点（，0）对称.【例4】设，若，且，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.解析：保留函数在轴上方的图象，将其在轴下方的图像翻折到轴上方区即可得到函数的图象.通过观察图像，可知在区间上是减函数，在区间上是增函数，由，且.可知，所以，从而，即，又0，所以.故选A.技巧提示：本题考查函数图象的翻折变换，体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数的图象和性质，进而得到的图像和性质.由，且，得到才使得问题变得容易.又例：直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .解析：因为函数是偶函数，所以曲线关于轴对称.当0时，其图象如下：aOxya由直线与曲线有四个交点，得，解得.故的取值范围是.再例：已知定义在上的奇函数，满足，且在区间0，2上是增函数，若方程 (0)在区间上有四个不同的根， 解析：因为定义在上的奇函数，满足，所以，函数图象关于直线对称，且，再由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间0，2上是增函数，所以在区间2，0上也是增函数.如图所示，那么方程 (0)在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知所以.-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【例5】定义在函数的图象如下图所示，则的取值范围是（ ）A.（，1） B.(1，2) C.(0，2) D.(1，2)解析：方法一（排除法）：若0，则函数的定义域不为R，与图象信息定义域为不符，故排除掉A、B.取1，此函数当1时，取得极值，与所给图形不符，排除C.选D.方法二：显然为奇函数，又0，0，即0，解得12.又取得最大值时，1， 1， 12.故选D.技巧提示：根据已给图形确定解析式，需要全面扑捉图象信息.对奇偶性影响不大，但对定义域、极值点影响明显.又例：当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和， 则（）A. B.C. D.解析：由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在是连续的，可知参数，即排除C，D项，又取，知对应函数值，由图可知所以，即选B项.【例6】定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为 .错解分析：函数的图象如图.2令，得或.，又，长度的最大值为；最小值为.故所求最大值与最小值的差为.解析：函数的图象如上图.令，得或.长度的最大值为；最小值为.故所求最大值与最小值的差为.技巧提示：准确作出函数的图象，正确理解区间长度的意义是解决此类问题的关键.Oyx又例:已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）A. B.C. D.解析：由图易得，取特殊点，.即，.故选A.【例7】若不等式的解集为区间，且2，则= .分析:本题主要考查解不等式、直线过定点问题，我们可以在同一坐标系下作出，的图像，根据图像确定的值。解析： 令，在同一个坐标系中作出其图象，x-330（-2，）y因的解集为区间，且2，结合图象知3、1，即直线与圆的交点坐标为. =.技巧提示：看似与函数无关，但利用函数的图象，运用数形结合思想把问题置于直观简捷状态，就容易解决.若先平方整理求解，运算量大，极易出错.四、课后训练1.将函数的图象向左平移2个单位得到曲线C，若曲线C关于原点对称，那么实数的值为（ ）A. B. C.1 D.22.已知函数的图象过点，那么函数的图象一定经过（ ）A. B.（1，2） C.（2，2） D.（-1，2）3.已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）.A. B. C. D.4.已知函数，若，且，则与关系为（ ）A. B. C. D.5.用，表示、三个数中的最小值，设（0），则的最大值为（ ）A.4 B.5 C.6 D.76.方程的实数解的个数为 .7.函数与的图象关于直线 对称.8.若定义在R上的偶函数满足，又当时， 则当时，的解析式为 .9.曲线(2x2)与直线有两个交点时，求实数的取值范围.10.设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线.（1）写出曲线的方程；（2）证明曲线与关于点对称；（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：五、参考答案1.B 2.B 3.D 4.B 5.C解析：由题意知函数是三个函数，中的较小者，作出三个函数在同一坐标系下的图象，可知A（4，6）为函数图象的最高点.故选C.6.答案：2解析：利用数形结合，分别作出函数与函数的图像，观察两图象有几个交点，交点的横坐标即为原方程的实数解.7.答案：.8. 答案：.9. 答案：解析：方程的曲线为半圆，为过（