备战高考数学 应考能力大提升8.3

备战2012数学应考能力大提升典型例题【例1】 已知S是ABC所在平面外一点,O是边AC的中点,SOA=SOB=SOC,点P是SA的中点.(1)求证:SO平面ABC;(2)求证:SC平面BOP.证明:(1)在平面SAC中,SOA+SOC=180,又SOA=SOB=SOC,SOA=SOC=90=SOB,即SOAC,SOOB.SO平面ABC.(2)P是SA的中点,O是AC的中点,OPSC.而OP平面BOP,SC平面BOP,SC平面BOP.【例2】 已知正方形ABCD,E、F分别是边AB、CD的中点,将ADE沿DE折起,如图所示.记二面角ADEC的大小为(0).(1)证明BF平面ADE;(2)若ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,请证明你的结论,并求角的余弦值.(1)证明:E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点,EBFD,且EB=FD.四边形EBFD是平行四边形.BFED.ED平面AED,而BF平面AED,BF平面AED.(2)解:方法一:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG平面BCDE,垂足为G,连结GC、GD.ACD为正三角形,AC=AD.GC=GD.G在CD的垂直平分线上.又EF是CD的垂直平分线,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GHED,垂足为H,连结AH,则AHDE,AHG是二面角ADEG的平面角,即AHG=.设原正方形ABCD的边长为2a,连结AF,在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,AEF为直角三角形,AGEF=AEAF.AG=a.在RtADE中,AHDE=ADAE,AH=.GH=.cos=.方法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.连结AF,在平面AEF内过点A作AGEF,垂足为G.ACD为正三角形,F为CD的中点,AFCD.又EFCD,CD平面AEF.AG平面AEF,CDAG.又AGEF,且CDEF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE,AG平面BCDE.G为A在平面BCDE内的射影G.点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GHED,垂足为H,连结AH,则AHDE,AHG是二面角ADEC的平面角,即AHG=.设原正方形ABCD的边长为2a,在折后图的AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,AEF为直角三角形,AGEF=AEAF.AG=a.在RtADE中,AHDE=ADAE,AH=.GH=.cos=.创新题型1、如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.(1)求证:平面A1BC1平面ACD1;(2)求(1)中两个平行平面间的距离;(3)求点B1到平面A1BC1的距离.2.已知三棱柱A1B1C1ABC的底面边长及侧棱长均相等,ABCB1,且侧面ABB1A1垂直于底面ABC.(1)求证:平面ABC1平面CBB1C1;(2)求侧棱B1B与底面ABC所成角的大小.3.已知四棱锥PABCD,底面ABCD是菱形,DAB=60,PD平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.(1)证明平面PED平面PAB;(2)求二面角PABF的平面角的余弦值. 参考答案 (2)解:设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d,则d等于D1到平面A1BC1的距离.易求A1C1=5,A1B=,BC1=,则cosA1BC1=.从而sinA1BC1=,SA1BC1=.由于VD1A1BC1=VBA1C1D1,则SA1BC1d=(A1D1C1D1)BB1,代入求得d=,即(1)中两个平行平面间的距离等于.(3)解:由于线段B1D1被平面A1BC1所平分,所以点B1与点D1到平面A1BC1的距离相等,故由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于.2.【解析】剖析:(1)利用面面垂直的判定定理,关键是在一个平面内找另一个平面的垂线(这条直线是CB1);(2)利用面面垂直的性质定理,作出侧棱B1B与底面ABC所成的角.(1)证明:四边形BB1C1C是菱形,CB1C1B.又ABCB1,ABC1B=B,CB1平面ABC1.而CB1平面CBB1C1,平面ABC1平面CBB1C1.(2)解:作B1DAB于D,连结CD.侧面ABB1A1底面ABC,而平面ABB1A1平面ABC=AB,B1D面ABC.B1BD就是侧棱B1B与底面ABC所成的角.又CB1AB,其射影CDAB.而ABC是正三角形,BD=AB=B1B.B1BD=60,即侧棱B1B与底面ABC所成的角为60.3.【解析】(1)证明:连结BD,AB=AD,DAB=60,ADB为等边三角形.E是AB中点,ABDE.PD平面ABCD,AB平面ABCD,ABPD.DE平面PED,PD平面PED,DEPD=D,AB平面PED.AB平面PAB,平面PED平面PAB.(2)解:AB平面PED,PE平面PED,ABPE,连结EF,EF平