MATLAB求解线性规划问题

.,第七章最优化计算方法,.,一、实验目的：,第一节线性方程组的应用,1、了解线性规划问题及可行解、最优解的概念；,2、掌握Matlab软件关于求解线性规划的语句和方法。,二、实验原理和方法：,在生活实践中，很多重要的实际问题都是线性的（至少能够用线性函数很好的近似表示），所以我们一般把这些问题化为线性的目标函数和约束条件进行分析，通常将目标函数和约束都是线性表达式的规划问题称为线性规划。,.,它的一般形式是：,也可以用矩阵形式来表示：,.,线性规划的可行解是满足约束条件的解；线性规划的最优解是使目标函数达到最优的可行解。,线性规划关于解的情况可以是：,1、无可行解，即不存在满足约束条件的解；,2、有唯一最优解，即在可行解中有唯一的最有解；,4、有可行解，但由于目标函数值无界而无最优解。,3、有无穷最优解，即在可行解中有无穷个解都可使目标函数达到最优；,.,一般求解线性规划的常用方法是单纯形法和改进的单纯形法，这类方法的基本思路是先求得一个可行解，检验是否为最优解；若不是，可用迭代的方法找到另一个更优的可行解，经过有限次迭代后，可以找到可行解中的最优解或者判定无最优解。,.,三、内容与步骤：,在Matlab优化工具箱中，linprog函数是使用单纯形法求解下述线性规划问题的函数。,.,它的命令格式为：,其中：A为约束条件矩阵，b,c分别为目标函数的系数向量和约束条件中最右边的数值向量；也可设置解向量的上界vlb和下界vub，即解向量必须满足vlb=x=vub；还可预先设置初始解向量x0。如没有不等式，而只有等式时，A=,b=;输出的结果：x表示最优解向量；fval表示最优值。,.,【例1】,求解线性规划问题：,解：考虑到linprog函数只解决形如的线性规划。所以先要将线性规划变为如下形式：,.,然后建立M文件如下：,c=-3;1;1;A=1-21;4-1-2;b=11;-3;aeq=20-1;beq=-1;vlb=0;0;0;x,fval=linprog(c,A,b,aeq,beq,vlb),Matlab程序：ch701.m,.,以ch701作为文件名保存此M文件后，在命令窗口输入ch701后即可得到结果：,x=4.00001.00009.0000,同时返回fval=-2,对应到原来的线性规划中即知目标函数的最大值为2，此时x1=4,x2=1,x3=9。,.,第二节无约束规划计算方法,一、实验目的,1、了解无约束规划问题的求解原理与方法；,2、会用Matlab软件求解无约束规划问题。,二、实验原理和方法,无约束规划问题的解法一般按目标函数的形式分为两大类：一类是一元函数的一维搜索法，如黄金分割法、插值法等；另一类是求解多元函数的下降迭代法。,.,迭代的基本思想和步骤大致可分为以下四步：,.,三、实验内容与步骤,在Matlab软件中，求解无约束规划的常用命令是：,x=fminunc(fun,x0),其中，fun函数应预先定义到M文件中，并设置初始解向量为x0。,.,【例2】,求解,取,解：首先建立函数文件fun702.m,.,以fun702为文件名保存此函数文件。,在命令窗口输入：,x0=-2;4;x=fminunc(fun702,x0),结果显示：,f=-1.0000,x=1.00001.0000,即极小值为-1，是x1=1,x2=1时取得。,Matlab程序：ch702.m,.,【例3】,解非线性方程组,解：解此非线性方程组等价于求解无约束非线性规划问题：,然后建立函数文件fun703.m,.,在命令窗口输入：,x0=0;0;x=fminunc(fun703,x0),结果显示：f=5.2979e-011x=1.06730.1392,则非线性方程组的解为x1=1.0673,x2=0.1392。,Matlab程序：ch703.m,.,第三节约束非线性规划计算方法,一、实验目的,1、了解约束非线性规划问题的求解原理与方法；,2、会用Matlab软件求解约束非线性规划问题。,二、实验原理和方法,对于约束非线性规划，随着目标函数和约束条件的不同，解法也不同，一般来说，有两类方法：,（1）、将约束问题化为无约束问题的求解方法；,（2）、用线性规划来逼近非线性规划；,.,三、实验内容与步骤,约束非线性规划的一般形式为：,其中，f(x)为多元实值函数;g(x)为向量函数,并且f(x),g(x)中至少有一个函数是非线性函数的（否则成为线性规划问题）。,.,x=fmincon(fun,x0,A,b)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon),在Matlab优化工具箱中，fmincon函数是用SQP算法来解决一般的约束非线性规划的函数，它的命令格式为：,.,【例4】,求解约束非线性规划：,(初值为1;1),解:首先建立一个m文件fun7041.mfunctiony=fun7041(x)y=-exp(x(1)*x(2)2*(3-exp(x(1)-x(2)2);存储为fun7041.m,首先将问题转化为matlab要求的格式;即求出fun,A,b,Aeq,Beq,X0,Lb,Ub,.,然后建立一个m文件fun7042.mfunctionc,cep=fun7042(x)c=;%c为非线性不等式,且为c=0cep=exp(x(1)+x(2)2-3;%cep为非线性等式然后存储为fun7042.m,最后在命令窗口中输入：A=;b=;Aeq=;Beq=;Lb=;Ub=;x,f=fmincon(fun7041,1;1,fun7042)-f,因题目中有非线性约束条件，所以建立非线性约束m-文件。,Matlab程序：ch704.m,.,结果为:,x=0.88520.7592f=6.2043e-016ans=-6.2043e-016,最后的结果为:-6.2043e-016,.,【例5】,求解约束非线性规划：,解：首先建立一个m文件fun705.mfunctiony=fun705(x)y=(x(1)-1)2+(x(2)-2)2+(x(3)-3)2+(x(4)-4)2;存储为fun705.m文件.,.,x0=1;1;1