求解Jacobi矩阵特征值反问题的数值方法定稿毕业论文.doc

毕 业 论 文专 业： 信息与计算科学 题 目： 求解Jacobi矩阵特征值反问题 的数值方法 求解Jacobi矩阵特征值反问题的数值方法摘要：Jacobi矩阵特征值反问题就是根据已知的特征值和特征向量的某些信息求Jacobi矩阵的元素，这类问题产生于地球物理、振动力学等应用学科。由于实际问题的差异而提出的问题也不尽相同，但其基本问题为给定两组交错升序排列的共2n-1个实数，求一个n阶Jacobi矩阵T，使得T和它的右下角n-1阶主子阵的特征值分别为这两组实数。我们将应用不同的数值方法来处理这一问题，并试着解决其它类型的比如广对称Jacobi矩阵的特征值反问题等。本文主要通过相关的公式推导，给出Jacobi矩阵特征值反问题的基本问题的解的存在唯一性的证明；并编写不同数值方法的计算程序，比较相应的数值结果，分析相应数值方法的准确性、运算量和稳定性。关键词： Jacobi矩阵，特征值，反问题，数值稳定性毕业设计（论文）中文摘要毕业设计（论文）外文摘要Title Numerical Method of Solving Inverse Problems about Jacobi Matrix Eigenvalue Abstract:The basic problem of solving inverse problems about Jacobi matrix eigenvalue is finding the elements of Jacobi matrix from some information about the eigenvalues and eigenvectors, such problems arise in geophysics, mechanical vibration applications such as discipline. As the real problems of differences in question are not the same, but the basic problem for a given two sets of staggered ascending order of total 2n-1 real numbers, find a n-order Jacobi matrix T, so T and its lower right corner n-1 sub matrix of order characteristic values were two sets of real numbers. We will apply different numerical methods to address this issue, and try to solve other types, such as its symmetric Jacobi matrix inverse Eigen value problems. The paper to the corresponding formula derived by given the proof of existence and uniqueness about the basic Jacobi matrix inverse Eigenvalue problem; the corresponding programs for different numerical methods to compare the corresponding numerical results, the numerical method accuracy, computation, stability. Keywords： Jacobi Matrix, Eigenvalue, Inverse Problem， Numerical Stability目 次1 引言12 基本问题和定性理论32.1 基本问题32.2 定性理论43 Jacobi矩阵特征值反问题的数值方法83.1 Lanczos方法83.2 正交约化法93.3 数值实验134 结论应用184.1 秩1修改问题184.2 广对称Jacobi矩阵特征值反问题20结 论24参 考 文 献25致 谢261 引言数学中有各种各样的反问题，一般来说反问题要比正问题复杂，而且反问题的解通常带有某种程度的不稳定性。譬如乘法正问题：给定两个数求它们之积，它的反问题就是求一个数的两个因子。像其他许多反问题一样，因子分解并不总是有唯一的解，如果要求该反问题有唯一的解，就必须附加一些限制条件。在数值代数中，已知一个矩阵求其特征值或特征向量称为代数特征值问题，代数特征值反问题就是在一定的限制条件下，求矩阵使其具有预先给定的特征值或者特征向量。代数特征值反问题的来源非常广泛，它不仅来自对数学物理反问题的离散化，而且来自于控制设计、参数系统参数识别、主元分析、粒子物理、量子力学、结构分析、探险和遥感等许多领域，数值代数自身也提出一些代数特征值反问题。例如，在求解线性代数方程组Ax=b的一些迭代法收敛性研究中，就要寻找一个非奇异矩阵H，使矩阵的条件数最小，这本质上可以作为代数特征值反问题。代数特征值反问题的研究内容主要包括以下四个方面： 1) 可解性：研究某类特征值反问题是否有解以及解存在的充分必要条件；2) 数值计算方法：根据预先给定的特征值、特征向量的信息，用数值方法去构造反问题的解；3) 敏感性分析：当预先给定的特征值、特征向量改变，特征值反问题的解如何改变；4) 适用性：问题的实际背景及应用。国内外关于代数特征值反问题方面的文献和著述是很多的。周树荃、戴华的专著代数特征值的反问题，该书全面系统地阐述了各种类型的矩阵特征值反问题及其主要结果；许树方的专著An introduction to Inverse Algebraic Eigenvalue Problems，介绍了四种类型特征值反问题：Jacobi矩阵特征值反问题、极点配置问题、加法和乘法反问题，以及非负矩阵反问题，该书第一次用英文介绍了中国学者所做的关于这四类矩阵特征值反问题的敏感性分析方法的工作；Gladwell的专著Inverse problem，该书主要从应用力学角度讲述振动中的各种特征值反问题。Boley和Golub的综述A survey of matrix inverse eigenvalue problems，该文献主要讲述的是各类Jacobi矩阵特征值反问题及其相应的数值算法；M.D.Chu和Golub的综述Structured inverse eigenvalue problems，该综述参考了四百多篇文献收集了39类矩阵特征值反问题，论述了这些反问题的最新进展，并将这些特征值反问题归结为三类：带参数的特征值反问题，结构特征值反问题以及部分构造的特征值反问题。在所有代数特征值反问题中，关于Jacobi矩阵特征值反问题的研究成果是最为丰富的，Jacobi矩阵来源于弹簧质点系统、复合摆以及Sturm-Liouville等实际问题。Jacobi矩阵形式简单，它可以根据给定的特征值和特征向量直接判断它的各类特征值反问题是否存在解，这些判断条件往往是Jacobi矩阵本身性质所决定的，而不是人为地强加给反问题的。此外，在解存在的情况下，它往往可以应用各种数值算法比如Lanzcos方法、正交约化方法中的驱逐出境法和Rutishauser方法直接构造。Jacobi矩阵是实对称三对角阵，其中次对角线上元素大于零, Jacobi矩阵特征值反问题就是根据已知的特征值和特征向量的某些信息求Jacobi矩阵的元素，这类问题产生于地球物理、振动力学等应用学科。本论文根据已知的特征值和特征向量的某些信息求Jacobi矩阵的元素，并应用不同的数值方法：Lanzcos方法、正交约化方法中的驱逐出境法和Rutishauser方法来进行相应的数值试验，比较相应的运算量、方法的稳定性等。Jacobi矩阵是实对称三对角阵，其中次对角线上元素大于零，确定一个实对称三角矩阵，除了零元素外，只有2n-1个元素需要确定。论文的第一章简要的介绍了特征值反问题的概念、研究内容和已有的一些研究著作；第二章介绍了Jacobi矩阵的形式，问题2.1：给定两组交错升序排列的实数： 1122n-1n求一个n阶Jacobi矩阵T，使得T和它的右下角n-1阶主子阵的特征值分别为和1,n-1有解的充要条件、解的存在唯一性的证明；第三章运用不同的数值方法：Lanzcos方法、正交约化方法中的驱逐出境法和Rutishauser方法来进行相应的数值试验，比较相应的运算量、方法的稳定性；给出Lanzcos方法、正交约化方法中的驱逐出境法和Rutishauser方法的算法并编写相应的Matlab程序；第四章试着用上述方法解决秩1修改问题：给定2n个实数： 1122n-1nn求一个n阶Jacobi矩阵T，使得T的特征值就是给定的数，而将T的（1，1）位置上的元素作适当修改后得到的Jacobi矩阵T就有特征值和广对称Jacobi矩阵的特征值反问题：给定n个实数 12n求一个n阶广对称Jacobi矩阵T，使得T的特征值就是给定的数。2 基本问题和定性理论所谓Jacobi矩阵是指形如T=1 2 2 2 3 n-1 n-1 n n n 的实对称三对角矩阵，其中次对角线上元素大于零。对于给定的n阶Jacobi矩阵T, 我们用来表示T划去第一列和第一行之后所得到的n-1阶主子阵，通常称作T的右下角的n-1阶主子阵。2.1 基本问题Jacobi矩阵特征值反问题就是根据已知的特征值和特征向量的某些信息求Jacobi矩阵的元素。这类问题产生于地球物理、振动力学等应用学科，由于实际问题的差异而提出的问题也不尽相同，但其中最基本的问题是：问题2.1：给定两组交错升序排列的实数： 1122n-10，则上述公式就有意义，从而也就找到了所需的数，和多项式。由和的定义，可得 ， ， ， 。于是，有 ， 。从已知的2n-1个数满足条件1122n-10。在中令即得 ， 。由此即知的符号为。所以在每个区间（，）内必有的一个零点。又至多有n-2个互不相同的零点，因此，的零点正好严格分隔的零点，即 。重复前面的推理，由和又可找到实数，正数和 n-3次首一多项式满足，而且的零点严格分隔的零点。如此进行n-1步，就可找到n-1个实数n-1个正数，以及n-1个首一多项式。满足：(i) ,;(ii) 是k次多项式；(iii) 的零点严格分隔的零点。令 =，T=1 2 2 2 3 n-1 n-1 n n n 则易证这样构造出的T之特征多项式必为，而其右下角的n-1阶主子阵T的特征多项式正好是。从而T是问题2.1的一个解。唯一性 先假定T和T分别是问题2.1的两个解，由定理知T和T有分解 和，其中，和正交且它们的第一行都满足q1j2=i=1n-1(j-i)/i=1ijn(j-i) ， j=1,2,n。 显然，我们可以通过调整Q和每列元素的符号，使得它们的第一行元素均为正数，这样便有，j=1,2,n。从和和，j=1,2,n利用归纳法容易推出。定理2.3：设T和T分别是问题2.1关于给定数据 1122n-1n和 1122n-1n所对应的解，则存在正数K和使得，只要j=1n(j-j)2+j=1n-1(i-i)2就有 T-TFK(j=1n(j-j)2+j=1n-1(j-j)2)1/2上式表明，将问题2.1的解看做给定数据的函数的话，它是局部Lipschitz连续的。3 Jacobi矩阵特征值反问题数值方法在许多物理问题中，三对角矩阵常常是做为原始数据出现的，它们本身是很重要的。一个对称矩阵可以通过有限步计算，正交相似变换成一个对称三对角矩阵，对称三对角矩阵仅有(2n-1)个独立元素，它比原矩阵要简单得多。因此求对称矩阵特征值的方法，第一步先把矩阵化成对称三对角阵，然后再来求该对称三对角阵的特征值。有些求解系数矩阵对称的线性方程组的方法，也是先把系数矩阵化成对称三对角阵，然后再来解系数矩阵为对称三对角的方程组。因此，在矩阵计算中，对称三对角矩阵已经成为一种有用的工具。3.1 Lanczos方法问题2.1可按如下步骤求解：（1）用q1j2=i=1n-1(j-i)/i=1ijn(j-i) j=1,2,n求出一个单位向量q；（2）对=diag(1,2,n)和q应用Lanczos迭代求出Jacobi矩阵T。Lanzcos方法算法步骤：(1). 输入和1,n-1.(2). i=j=1n-1(j-i)/j=1jin(j-i)1/2 (i=1,2,n) ， 1=i=1nii2 ， j=1 。(3). 如果j=1，则 i=i(i-1) (i=1,2,n) ；否则 (i=1,2,n) 。(4). , i=i (i=1,2,n) ， i=i/j+1 (i=1,2,n) ， 。(5). 如果jn-1，则j=j+1转(3)；否则输出1,2,n和2,n，结束。这一算法所需运算量是。但由于Lanczos方法产生的Lanczos向量很快失去正交性，因而这一算法的数值稳定性较差。为了保证数值稳定性，必须使用再正交化技巧；然而，这样做导致所需运算量增到。3.2 正交约化法前面介绍的Lanzcos方法，虽然简单易行，但为了保证数值稳定性，必须进行再正交化，这样运算量又太大，针对这一问题，经过长期研究，现在终于设计出另一种十分漂亮的算法-正交约化法。这种方法既数值稳定性好，又仅需的运算量即可完成。下面介绍两种十分漂亮的方法。3.2.1 驱逐出境法这一方法是受对称QR方法的启发而得到的，其运算量与下面将要介绍的Rutishauser方法完全相同，但这一方法更自然一些，具体执行过程不难从下面的矩阵图示中明白。，其中“”表示可能有的非零元素，“+”表示变换后可能新增加的非零元素，“”表示对箭尾所指的矩阵进行坐标平面内的正交相似变换后变成箭头所指的矩阵。上述过程，每消去一个边上的非零元素，就会出现一个不希望有的新的非零元，然后再将这一非零元素逐步消除。例如，当我们消去(1,3)和(3,1)位置上的非零元素之后，就会在(2,4)和(4,2)位置上出现一个不希望有的非零元素；然后，我们就接着消去这一非零元素，于是又在(3,5)和(5,3)位置上又出现一个不希望有的非零元素；紧接着再消去这一非零元素，就得到了我们所需的形式。因而，我们形象地称这一约化法为驱逐出境法。一般地，如果从消去(1,n+1)和(n+1,1)位置的非零元素出发，已进行了k步，第k+1步是先消去(n-k,1)和(1,n-k)位置上的非零元素，此时就会在(n-k+1,n-k-1)和(n-k-1,n-k+1) 位置上出现一个不希望有的非零元素；接着连续进行(n-k,n-k+1)，(n-k+1,n-k+2), , (n,n+1)平面内的旋转变换，就可将这一不希望有的非零元素逐步从矩阵的内部驱赶到矩阵之外。正交约化方法中的驱逐出境法算法步骤：(1). 输入和1,n-1.(2). i=j=1n-1(j-i)/j=1jin(j-i)1/2 (i=1,2,n)， (i=1,2,n)， ， i=n。(3). 确定s=，c=，使 ， 。(4). 如果i=n，i=i-1，转步（3）；否则k=i，进行下一步。 （5） 确定s=，c=，使 ， ， （6） 如果k 2，则i=i-1，转步（3）；否则 = ， 输出1,2,n和2,n，结束。不难算出这一算法的运算量是。而且由于整个约化过程是用数值稳定的Givens变换进行的，所以这一算法是数值稳定的。数值试验的结果亦表明这一算法是快速有效的。3.2.2 Rutishauser方法这一方法基本上类似于前面介绍的驱逐出境法，只是约化的次序不同，其约化过程不难从下面的图示明白。正交约化方法中的Rutishause方法算法步骤：(1). 输入和1,n-1.(2). i=j=1n-1(j-i)/j=1jin(j-i)1/2 (i=1,2,n)， (i=1,2,n)， ， i=1。(3). 确定s=，c=，使 ， 。(4). 如果i=1，i=i+1，转步（3）；否则k=i，进行下一步。 （5） 确定s=，c=，使 ， ， （6） 如果k2，则k=k-1转步（5）；否则进行下一步。 （7） 如果in-1，则i=i+1，转步（3）；否则 = ， 输出1,2,n和2,n，结束。3.3数值试验下面将列出求解Jacobi矩阵特征值反问题的Lanzcos方法、正交约化方法中的驱逐出境法和Rutishauser方法的Matlab程序：3.3.1 Lanzcos方法的Matlab程序：lambda(1)=1;lambda(2)=2;lambda(3)=3;lambda(4)=4;mu(1)=5;mu(2)=6;mu(3)=7;n=4;for i=1:nx(i)=1; for j=1:n-1 x(i)=x(i)*(mu(j)-lambda(i);endy(i)=1; for j=1:n if i=j y(i)=y(i)*(lambda(j)-lambda(i); endendw(i)=sqrt(x(i)/ y(i);endalpha(1)=0;for i=1:n alpha(1)=alpha(1)+lambda(i)*w(i)*w(i); endj=1;for i=1:n v(i)=w(i)*(lambda(i)- alpha(1);endfor j=1:n-1 if j untitled2alpha= -8.0000 8.3333 5.0667 4.6000beta= 0 0 + 8.4853i 0 + 1.6667i 0 + 0.6000i3.3.2 正交约化方法中的驱逐出境法的Matlab程序lambda(1)=1;lambda(2)=2;lambda(3)=3;lambda(4)=4;mu(1)=5;mu(2)=6;mu(3)=7;n=4;for i=1:n x(i)=1; for j=1:n-1 x(i)=x(i)*(mu(j)-lambda(i); end y(i)=1; for j=1:n if i=j y(i)=y(i)*(lambda(j)-lambda(i); end end w(i)=sqrt(x(i)/ y(i);endfor i=1:n alpha(i)=lambda(i);endfor i=2:n beta(i)=0;endi=n;s= w(i)/sqrt(w(i)* w(i)+ w(i-1)* w(i-1) ; c= w(i-1)/ sqrt(w(i)* w(i)+ w(i-1)* w(i-1);w(i-1)=c*w(i-1)+s*w(i);alpha(i-1) beta(i);beta(i) alpha(i)=c s;-s c*alpha(i-1) 0;0 alpha(i)*c -s;s c;i=i-1;s= w(i)/sqrt(w(i)* w(i)+ w(i-1)* w(i-1) ; c= w(i-1)/ sqrt(w(i)* w(i)+ w(i-1)* w(i-1);w(i-1)=c*w(i-1)+s*w(i);alpha(i-1) beta(i);beta(i) alpha(i)=c s;-s c*alpha(i-1) 0;0 alpha(i)*c -s;s c;k=i;alpha;beta(k+1)=c s;-s c*0;beta(k+1);s= alpha/sqrt(alpha* alpha+ beta(k)* beta(k) ;c= beta(k)/ sqrt(alpha* alpha+ beta(k)* beta(k);beta(k)=c*beta(k)+s*alpha;alpha(k) beta(k+1);beta(k+1) alpha(k+1)=c s;-s c*alpha(k) beta(k+1);beta(k+1) alpha(k+1)*c -s;s c;for t=1:n if i2 i=i-1 s= w(i)/sqrt(w(i)* w(i)+ w(i-1)* w(i-1) ; c= w(i-1)/ sqrt(w(i)* w(i)+ w(i-1)* w(i-1); w(i-1)=c*w(i-1)+s*w(i); alpha(i-1) beta(i);beta(i) alpha(i)=c s;-s c*alpha(i-1) 0;0 alpha(i)*c -s;s c; k=i; for j=1:n if k untitled2alpha= -8.0000 8.3333 5.0667 4.6000beta= 0 0 + 8.4853i 0 + 1.6667i 0 + 0.6000i注：正交约化方法中的Rutishauser方法的Matlab程序和驱逐出境法类似，根据算法很容易写出，由于篇幅原因，这里不再给出。4 结论应用这一章我们将介绍两类用上一章介绍的方法来求解的问题。4.1秩1修改问题问题4.1：（秩1修改问题）给定2n个实数： 1122n-1nn求一个n阶Jacobi矩阵T，使得T的特征值就是给定的数，而将T的（1，1）位置上的元素作适当修改后得到的Jacobi矩阵T就有特征值。设Jacobi矩阵T=1 2 2 2 3 n-1 n-1 n n n 是问题4.1的解，并设T是将换成之后得到的。则有 -=tr(T)-tr(T)= 。现在记T和T的特征多项式分别为和，并记T的右下角的n-1阶和n-2阶主子阵的特征多项式分别为和，则由三对角矩阵的基本性质有 ， 。于是，有 。将-=tr(T)-tr(T)= 代入，并注意到 就有 反过来，从给定的数据和，由可唯一地确定的零点严格地分隔的n个零点。这样由定理2.2知，存在唯一的Jacobi矩阵T，使得T的特征多项式是，而右下角的n-1阶主子阵的特征多项式正好是由确定的。而将如此得到的T之换作 所得到的矩阵T之特征多项式正好是。这也就证明了问题4.1之解存在唯一，而且可按如下步骤求得问题4.1的解：(1) 计算 。其中由定义，。(2) 对和用正交约化法中的驱逐出境法求出Jacobi矩阵T。注：问题4.1和问题2.1解法的不同之处就在于的构造上，用正交约化法中的驱逐出境法的解决这两个问题的算法基本相同。4.2 广对称Jacobi矩阵的特征值反问题问题4.2：（广对称Jacobi矩阵的特征值反问题）给定n个实数 12n求一个n阶广对称Jacobi矩阵T，使得T的特征值就是给定的数。为解决广对称Jacobi矩阵的特征值反问题，需要运用广对称Jacobi矩阵的基本性质，我们先来讨论一下广对称Jacobi矩阵的基本性质：设Jacobi矩阵 T=1 2 2 2 3 n-1 n-1 n n n 是广对称的，即 令k=.记,其中为k阶实对称三对角矩阵，=为k阶反序单位矩阵。则由式可知T可写成如下形式：(1) 当n=2k时， ； k k (2) 当n=2k+1时， , k 1 k其中 。于是有：(1) 当n=2k时， ， 其中 ；(2) 当n=2k+1时， ， 其中 。这表明广对称Jacobi矩阵的特征值问题可以化为两个阶数等于原矩阵阶数一半的Jacobi矩阵的特征值问题。由于T的次对角元素均为正数，故它的特征值互不相同，假设其为 12n 。当n=2k+1时，由知， ，其中 现在假设和S的特征值分别为 和 ，则由S是的一个k阶主子阵，故有 。从而有 当n=2k时，由知 。为了给出T的特征值与和的特征值之间的进一步关系，先介绍一个定理。定理4.1 设A是实对称矩阵，它的特征值是，再设是一正数，的特征值是，则有 。证明：对任意的，有 ，因而由Hermite矩阵特征值的极小极大定理，有 ，。设A的右下角的n-1阶主子阵的特征值是，则有 和 。从而有 ， 由，和，便知定理4.1的结论成立。注：在定理中将换作负数时，证明过程完全类似。现在我们利用上述关于广对称Jacobi矩阵的基本性质来解决问题4.2。当n=2k+1时，此时问题4.2等价于：求一个k+1阶Jacobi矩阵 使得的特征值是而S的特征值是。这正好是我们曾讨论过的基本问题，因此，问题4.2有且仅有唯一的解，而且可用Lanzcos方法或正交约化法求解。当n=2k时，此时问题4.2等价于：求一个k阶Jacobi矩阵 使得它特征值是而且的特征值是。这正好是我们曾讨论过的秩1修改问题，因此，问题4.2有且仅有唯一的解，而且可用Lanzcos方法或正交约化法求解。结 论求解Jocobi矩阵特征值反问题的数值方法问题产生于地球物理、振动力学等应用学科。这类问题由Hochstadt于1967年首先提出，进过几十年的深入研究，现在已达到实用阶段。理论上，已经证明上述问题的解的存在唯一性，并连续的依赖于给定的数据；数值方法上，已经得到几种快速稳定的方法。例如：Lanzcos方法、正交约化方法中的驱逐出境法和Rutishauser方法。用Lanzcos方法、正交约化方法中的驱逐出境法和Rutishauser方法求解实对称三对角阵矩阵，经过编写相关的程序，这些方法都比较好的实用性。Lanzcos方法简单易行，而正交约化法是针对Lanzcos方法的数值稳定性较差而提出来的，运算过程稳定且运算量小。但这些比较好的方法只能用来求解对称三对角阵矩阵，对于非对称三对角阵矩阵能不能运用这些方法呢？这个问题有待我们进一步的研究与讨论。参考文献1. 徐树方，矩阵计算的理论与方法，北京大学出版社，1995. 2.蒋尔雄.不可约对称三对角矩阵根的隔离性质的推广s.高等学校计算数学学报，1999，4:305-310.3 .蒋尔雄，矩阵计算，科学出版社，2008.4. 徐映红，Jacobi矩阵及周期Jacobi矩阵特征值反问题，上海大学博士学位论文，2007.5. 周树荃、戴华,代数特征值的反问题，河南科学技术出版社，1991.6. 蒋尔雄，对称矩阵计算，上海科学计算出版社，1984.7. 甄西丰，实用数值计算方法，清华大学出版社，2006.8. 刘新国，关于Jacobi阵逆特征值问题的扰动分析，高校计算数学学报，2001.9. 蔡大用，数值代数，清华大学出版社，1987.10. 曹志浩，矩阵特征值问题，上海科学技术出版社，1980.11. 孙继广，矩阵扰动分析，科学出版社，1987.12. 王则可、高庆堂，同伦方法引论，重庆出版社，1990.13. 王德人、杨忠华，数值逼近引论，高等教育出版社，1990.14. 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On the construction of a Jacobi matrix from mixed given data J.Linear Algrbra and Its APPI.，1979.致 谢在论文即将完成之际,我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！首先衷心地感谢我的指导老师焦艳东老师，焦老师严谨的治学态度，平易近人的工作作风是我今后学习和生活上的楷模。由于这次我的论文内容是自己以前没有接触过的新知识，遇到了许多自己想象不到的问题，是焦老师给予一一指点而解决的，并对论文提出了很多宝贵的意见。在此谨向尊敬的焦老师致以最诚挚的谢意。感谢参加开题论证的老师们，他们对我的论文开题提出了很多建设性的意见。同时向参加论文审阅和答辩的老师致以诚挚的敬意和衷心的感谢。感谢我的父母家人对我的一贯支持，你们是我不断拼搏、努力进取的动力，是我坚强的后盾，是我义无反顾的泉源。感谢你们无怨无悔地照顾我，至始至终默默地支持我。作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，希望老师们督促和指导。袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇