宁夏石嘴山市第三中学高三数学下学期三模考试试题理 (1)

石嘴山三中2019届第三次模拟考试理科数学能力测试第I卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合，集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，所以，故选B.2.若复数z满足（为虚数单位），则A. B. C. D. 【答案】A【解析】设，则，即，由复数相等的定义可得，解得，所以，故，故选A.3.设的内角的对边分别为,若且，则（ ）A. 3B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知求得，再利用正弦定理即可求得,可得或，结合，即可求得，再利用余弦定理即可求解。【详解】因为，所以且由正弦定理可得：，即：解得：，所以或当时，此时，与矛盾，所以舍去.当时，由余弦定理可得：所以故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理及三角函数求值，还考查了余弦定理及分类思想，考查计算能力，属于中档题。4.已知菱形边长为，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.考点：向量数量积的运算.【此处有视频，请去附件查看】5.已知正三角形的边长为，那么的平面直观图的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由原图和直观图面积之间的关系，求出原三角形的面积，再求直观图的面积即可正三角形ABC的边长为a，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系，故直观图的面积为，故选D.考点：斜二测画法6.以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又由双曲线的渐近线互相垂直，所以，进而可求解双曲线的方程，得到答案。【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以，则该双曲线的方程为.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。7.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】两个数之和为偶数，则这两个数可能都是偶数或都是奇数，所以。而，所以，故选B【此处有视频，请去附件查看】8.三棱锥P-ABC中，PA面ABC，PA=2，AB=AC=，BAC=60，则该棱锥的外接球的表面积是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得，为等边三角形，边长为面，则该三棱锥的外接球是以为底面，为高的三棱柱的外接球的外接圆半径为，则球心到面外接圆圆心的距离为，故外接球该棱锥的外接球的表面积故选9.袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】从18组随机数中，找到恰好第三次就停止的有4组，由古典概型概率公式可得结果.【详解】因为随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：，共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选C.【点睛】本题主要考查随机数的应用以及古典概型概率公式，属于中档题. 在解答古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.10.已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，设，则，所以，即，又，所以，故选A考点：椭圆的几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义【此处有视频，请去附件查看】11.将函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A. B. C. D. 【答案】D【解析】将函数向左平移个单位后，得到函数解析式为：图象关于点对称则对称中心在函数图象上，可得：解得，则函数在上的最小值为故选12.设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，所以在上单调递减，所以在R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点因为当时，所以函数在时单调递减，由选项知，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.若二项式的展开式中的常数项为，则= 【答案】2【解析】【分析】先根据二项式定理的通项公式列出常数项，建立等量关系，解之即可求出a.【详解】 令3r0，r3，常数项为C63a320a3160，a38，a2.故答案为：2.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14.已知，则的值为 【答案】3【解析】试题分析：考点：两角和差的正切公式【此处有视频，请去附件查看】15.已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为_.【答案】【解析】【分析】先根据等边面积为，求母线长，再根据轴截面的面积为8，求得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式以及底面积求圆锥的表面积.【详解】因为等边面积为，所以，因为轴截面的面积为8，所以，从而圆锥表面积为【点睛】本题考查圆锥侧面积公式以及轴截面，考查基本分析求解能力.属基本题.16.已知数列满足，且点在直线上若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】将点代入直线可得：，即可求得，即可得：，问题得解。【详解】将点代入直线可得：.所以数列是以为首项，公差为的等差数列.所以所以当且仅当时，等号成立要使得恒成立，则所以【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及不等式的性质，还考查了方程思想及转化思想，考查化归能力，属于中档题。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设数列前n项和为，且满足，试确定r的值，使为等比数列，并求数列的通项公式；在的条件下，设，求数列的前n项和【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）由已知令n=1即可求得；当n2时，与已知式作差得，即从而可知欲使an为等比数列，则，从而可求出r的值，进而可写出数列an的通项公式；（）由（）可得，从而，按n小于6和大于等于6讨论可求出数列的前n项和Tn试题解析：（）解：当n = 1时，1分当n2时，与已知式作差得，即欲使an为等比数列，则，又，5分故数列an是以为首项，2为公比的等比数列，所以6分（）解：，若，9分若,，12分考点：1等比数列的概念及通项公式；2等差数列的前n项和.18.我国2019年新年贺岁大片流浪地球自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为流浪地球好看的概率为，女性观众认为流浪地球好看的概率为.某机构就流浪地球是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设表示这4名观众中认为流浪地球好看的人数，求的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.(1) 设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则,从而可得结果；(2)的可能取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望.【详解】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.（1）设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则, .（2）的可能取值为0，1，2，3，4， ，= ，, ，, ， ，的分布列为01234.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.19.如图，在四棱锥中，平面，四边形满足且，点为的中点，点为边上的动点，且.（1）求证：平面平面；（2）是否存在实数，使得二面角余弦值为？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，再证明平面，进而可得平面平面；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，结合平面一个法向量为，利用空间向量夹角的余弦公式列出关于的方程即可求解.试题解析：（1）取中点，连接，是的中点，是的中点，又，四边形为平行四边形，平面，平面，平面，平面平面（2）存在符合条件的，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，设，从而，则平面的一个法向量为，又平面即为平面，其一个法向量为，则，解得或，故或考点：1、线面垂直与面面垂直的判定定理；2、空间向量夹角的余弦公式.20.在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且.（1）求的方程；（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）； （2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上.【解析】【分析】（1）联立，得，利用 ，结合韦达定理列方程求得，从而可得结果；（2）求出线段的中垂线方程.联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或，分别利用求得的值，验证是否符合题意即可.【详解】（1）联立，得，则，从而 .， ，即，解得，故的方程为.（2）设线段的中点为，由（1）知，则线段的中垂线方程为，即.联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或.假设存在点 ，设的坐标为， ，则.，.若的坐标为，则，则的坐标不可能为.故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的应用以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.21.已知函数，（1）求函数的极值；（2）若在上为单调函数，求的取值范围；（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围【答案】（1），无极大值；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）求得，即可判断为函数的极小值点，问题得解。（2）“在上为单调函数”可转化为：恒大于等于0或者恒小于等于0，即可转化为：或在上恒成立，再转化为在恒成立或在恒成立，求得，问题得解。（3）构造函数，对的取值分类，当时，可判断恒成立，即不满足题意，当时，利用导数可判断在单调递增，结合，由题意可得：，问题得解【详解】（1）因为.由得:，当时，当时，所以为函数的极小值点 .（2），.因为在上为单调函数，所以或在上恒成立，等价于在恒成立， 又当且仅当时，等号成立 等价于，即在恒成立，而综上，m的取值范围是 （3）构造函数，当时，所以在不存在，使得当时， 因为，所以在恒成立，故在单调递增，所以，又所以只需，解之得，故m的取值范围是 .【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，还考查了导数与函数单调性的关系，考查了构造思想及利用基本不等式求最值，考查了转化思想及计算能力，属于难题。请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4 4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）以坐标原点为极点