导数用于证明不等式学法指导不分本

导数用于证明不等式扬莉导数是近些年来高中课程加入的新内容，是一元微分学的核心部分。本文就谈谈导数在一元不等式中的应用。例1. 已知x（0，），求证:sinxxtanx。证明；构造函数f(x)=xsinx，g(x)=tanxx， x（0，），则f(x)=1cosx0，g(x)=sec2x10。所以f(x)，g(x)在（0，）内是单调递增函数，故f(x) f(0)=0，g(x) g(0)=0，即xsinx，tanxx，故sinxxtanx。这个三角不等式在相关教材中是用几何方法证明的。这里是构造函数，利用函数的单调性来证明，简单、快捷。例2. 已知m，n为正整数，且1mn。求证：（1+m）n(1+n)m。分析：将待证不等式两边取对数，得nln(1+m) mln(1+n)，即证明成立即可。证明：构造函数f(x)=，求导，得，所以f(x)在2，+）上是减函数。由2mn知f(m) f(n)，即，nln(1+m) mln(1+n)，所以ln(1+m)nln(1+n)n，即（1+m）n(1+n)m。例3. 已知函数f(x)=x(xa)(xb)，其中0ab，设f(x)在x=s及x=t取到极值，其中st，求证：0satb。证明：易求得f(x)=3x22(a+b)x+ab。由f(x)在x=s及x=t取到极值，知s，t是二次方程f(x)=0的两实根，又f(0)=ab0，f(a)=a2ab=a(ab) 0,f(b)=b2ab=b(ba) 0,即f(x)=0在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个实根。由st及s，得二次方程f(x)=0的两实根，得0satb。以上是用导数次三次函数“降次”转化为研究二次方程在（0，a）与（a，b）存在实根的问题，结合实根分布理论，运用数形结合的思想，实现了不等式的证明。例4. 设函数f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=xlnx，0ab，证明：0g(a)+g(b)2g()(ba)ln2。证明：由g(x)=xlnx，得g(x)=lnx+1。构造函数F（x）=g(a)+ g(x)-2g()，则F(x)=g(x)-2g()=lnx-ln。当0xa时，F(x) 0，所以F(x)在(0，a)内为减函数。当xa时，F(x) 0，所以F（x）在(a，+)上为增函数。于是当x=a时，F（x）有极小值F（a）。因为F（a）=0，ba，所以F（b）0，即0g(a)+g(b)-2g()。设G（x）=F(x)-(x-a)ln2，则G(x)=lnx-ln=lnx-ln(a+x)。当x0时，G(x) 0，所以G（x）在 (0，+)上为减函数。因为G（a）=0，所以G（b）0，即g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2。综上所述，0g(a)+g(b)-2g(b-a)ln2。用导数证明不等式，关键在于构造函数，然后在相应区间上用导数的相关知识判别其单调性，再利用单调性得到所证明的不等式。练习：证明下列不等式 1. 当x0时，1+。 2. 当x0时，1+xln(x+) 3. 当x4时，2xx2 4. 已知函数f(x)=x2+alnx(x0)，f(