山东平邑高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积小结导学案无答案新人教A必修4

2.4平面向量的数积总结【学习目标】1 .理解数量积的意思，把握数量积的坐标式，进行平面矢量数量积的运算2 .可以用数量积表示两个向量的角度，用数量积判断两个平面向量的垂直关系3 .用向量法解决一些简单的实际问题【新知自学】知识整理：1 .向量的角度已知两个矢量a和b为=a、=b，_ _ _ _ _ _ _为矢量a与矢量b所成角度，记为 a、b .矢量的角度a，b的范围是_=b，a。a，b=_，a和b为垂直，_ _ _ _ _ _ _ _ _2 .平面向量的数积_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _中描述了向量a和b的数目的乘积(或内积)。 ab为实数，可见等于正、负、零。 其中，|a|cos (|b|cos )被称为向量a在b方向(b的a方向)上的投影。数量积的符号是ab，不能写ab，也不能写ab矢量数积满足以下运算规则ab=_ (交换法律)(a b)c=_ (分配规则)(a)b=_=a(b ) (数乘结合律)3 .平面向量的数积的性质：已知零以外的向量a=(a1，a2)，b=(b1，b2)性情几何表示坐标显示定义ab=|a|b|cosa，bab=a1b1 a2b2型aa=|a|2或|a|=|a|=如果是A(x1，y1 )，B(x2，y2 )，则=(x2-x1，y2-y1 )| |abab=0a1b1 a2b2=0角度cosa，b=(|a|b|0 )cosa，b=|ab|和|a|b|的关系|ab|a|b|a1b1 a2b2|点练习：1 .众所周知：|a|2=a2； =； (ab)2=a2b2；(a-b)2=a2-2ab b2，其中有正确的().A.1个B.2个C.3个D. 4个假设向量a=(1，0 )，b=，下面的结论正确的是().A.|a|=|b| B.ab=C.ab D.a-b和b是垂直的如果已知的a=(1，-3)，b=(4，6 )，c=(2，3 )，那么(bc)a等于().A.(26，-78) B.(-28，-42 )C.-52 D.-784 .向量a、b满足|a|=1，|b|=2，a与b的角度如下时|a b|=_|a|=2，|b|=4且已知a(a-b )时，a和b所成的角度是_【合作探索】典型精析：一、平面向量数积的运算例1，(1)等边ABC，d为AB的中点，AB=5，求出，|(2)如果a=(3，-4)，b=(2，1 )，则求出(a-2b)(2a 3b )和|a 2b|.变形练习：如图所示，在菱形ABCD中，如果AC=4，则为： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _法则摘要：矢量积的运算与实数运算不同(1)a、b为实数，ab=0，有a=0或b=0，但是ab=0时得不到a=0或b=0.(2)如果a、b、cR且a0，则从ab=ac得到b=c，但无法从ab=ac及a0导出b=c .(3)如果是a、b、cR，则a(bc)=(ab)c (结合律)成立，但对于矢量a、b、c，(ab)c和a(bc )一般不相等，矢量数积不满足结合律.(4)如果是a、bR，则|ab|=|a|b|，但是矢量a、b仅在|ab|a|b|、等号仅在ab时成立.二、二平面向量的角度和垂直例2，已知|a|=4、|b|=3、(2a-3b)(2a b)=61(1)求出a和b的角度(2)如果=a，=b，则求ABC的面积。法则摘要：1 .数量积大于0表示两个向量的角度为锐角或同方向的数量积为0，表示两个向量的角度为直角的数量积小于0表示两个向量的角度为钝角或相反.2 .在a、b为非坐标形式的情况下，求出a和b的角度，求出ab和|a|、|b|，或者求出它们的关系。变形练习：已知平面内a、b、c这3点位于同一直线上，求出=(-2，m )、=(n，1 )、=(5，-1)、实数m，n的值.三、求平面向量的模型例3、(1)如果单位向量m=(x，y )，b=(2，-1).mb，则| x2y|=_ _ _ _ _ _ _(2)已知向量a=，b=，x。(1)求出ab及|a b|(f(x)=ab-|a b|、f(x )最大值和最小值.法则摘要：利用数量乘积求长问题是数量乘积的重要应用，必须掌握这种问题的处理方法(1)|a|2=a2=aa；(2)|ab|2=(ab)2=a22ab b2；(a=(x，y )的话|a|=变形练习：已知a和b是两个非零矢量，求出|a|=|b|=|a-b|、a和a-b角度.四、平面向量的应用例4、已知向量=a=(cos ，sin )、=b=(2cos ，2sin )、=c=(0，d)(d0)这里，o是坐标原点，0.(1)如果是a(b-a )，就求出-值(2)如果=1，则求出OAB面积s .变形练习：ABC的面积为30，内角a、b、c的对边的长度分别为a、b、c、cos A=(一)求(如果c-b=1，则求出a值.【班级总结】【本堂的达成】1 .已知向量a=(x-1，2 )、b=(2，1 )、ab的满足条件是().A.x=- B.x=-1C.x=5 D.x=02 .在2.abc中，A=90，AB=1，AC=2.点p，q满足=，=(1-)，R .如果=-2则满足=() .A. B. C. D.2在长江南岸的渡口，河水以12.5 km/h向东流，渡船的速度为25 km/h。 摆渡船想要垂直渡过长江，航向是.4 .给出以下四个命题：对于任意2个向量a、b，|ab|=|a|b|；a、b为2个不共线矢量，如果=1a b、=a 2b(1、2R )，则为a、b、c共线12=-1；如果向量a=(cos ，sin )，b=(cos ，sin )，则a b与a-b所成的角为90度当矢量a、b满足|a|=3、|b|=4、|a b|=，则a、b角度为60 .在以上命题中，错误命题的编号是_【会话作业】1 .如果已知向量a和b的角度是120，|a|=1，|b|=3，则|a-b|=()A. B. 2 C. D. 4已知当a、b不是零向量而满足(a-2b)a、(b-2a)b时，a和b所成的角是()A. B. C. D3 .已知两个非零矢量a和b，定义|ab|=|a|b|sin，是a和b的角度。 a=(-3，4 )，b=(0，2 )时，|ab|值为()A. -8B. -6 C. 8D. 64 .已知向量a=(2，1 )，b=(1，m )中，a与b所成的角为锐角，实数m的可取值的范围为_ .5 .如果已知向量a、b为|2a b|=，且ab，则|2a-b|=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _在ABC中，为2222222222222222222220007、求出与已知的a=(4，2，2 )、(1)a垂直的单位向量(2)与垂直单位向量(3