山东济宁微山高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念学案无答案新人教A必修1

1.2.1函数的概念知识梳理1回顾初中形如ykxb(k0)的函数叫一次函数，其中x叫自变量，与x对应的y的值叫函数值，它的图象为一条倾斜直线形如yax2bxc(a0)的函数叫二次函数，它的图象为抛物线2函数的概念一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么f：AB就称为从集合A到集合B的一个函数记作yf(x)，xA.其中，x叫做自变量， x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域例如：正方形边长为x，与x的值相对应的面积为y，把y表示为x的函数：yx2；该函数的定义域为x|x0；值域为y|y0；当边长为4的时候，面积为16；当面积为4的时候，相应的边长为2 3区间设a，bR，且ab.(1)满足axb的全体实数x的集合叫做闭区间，表示为a，b(2)满足axb的全体实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)(3)满足axb或aa，xa，xa的全体实数x的集合分别表示为a，)，(a，)，(，a，(，a)4函数的三要素（部分教材为二要素）函数的定义含有三个要素，它们分别是：定义域、值域和对应法则当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数5常见问题1)怎样检验两个变量之间是否具有函数关系？解析：由函数近代定义知，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：定义域和对应关系是否给出且定义域为非空数集；根据给出的对应关系，自变量在其定义域内任一个值，是否都能确定唯一的函数值2)函数f(x)与f(a)(a是常数)有什么区别与联系？解析：由f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。3)如何认识集合x|axb与区间a，b的区别？解析：区间a，b一定是无限集，且隐含ab，集合x|axb中对实数，a，b大小关系无限制条件当ab时，x|axba是单元素集：当ab时，x|axb，这两种情况均不能用区间a，b表示例题讲解题型一函数概念的理解例1下列对应关系是否为A到B的函数？(1)AR，Bx|x0，f：xy|x|；(2)AZ，BZ，f：xyx2；(3)AR，BZ，f：xy；(4)A1,1，B0，f：xy0.解析：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：xyx2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：xy0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数点评：判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A，B是否是非空集合(数集)，其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性巩 固若集合Ax|0x2，By|0y3，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：AB的是()解析：A中的对应不满足函数的存在性，即存在xA，但B中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确答案：D题型二“ f”的含义及函数值的问题例2已知f(x)x26x.(1)求f(2)，f(a1)的值；(2)若f(x)5，求x的值解析：(1)f(2)22628，f(a1)(a1)26(a1)a24a5.(2)f(x)x26x5x1或x5.点评：(1)在函数yf(x)中，x为自变量，f为对应关系，f(x)是对应关系f下x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入既可；(2)求ff(x)时，一般应遵循由里到外的原则巩 固已知f(x)(xR且x1)，g(x)x22(xR)求：(1)f(2)、g(2)的值；(2)fg(2)的值；(3)fg(x)的解析式分析：依函数的定义可知，该题是给定自变量和对应关系求函数值，分别将自变量的值代入解析式中的x即可求解解析：题型三求函数的定义域例3求下列函数的定义域：(1)y3x；(2)y；(3)y；(4)y.解析：(1)函数y3x的定义域为R；(2)要使函数有意义，需x1且x0，所以函数y的定义域为x|x1且x0(，0)(0,1；(3)要使函数有意义，需x0且x.故函数y的定义域为；(4)要使函数有意义，需解得x2且x0，所以函数y的定义域为(0,2)点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等巩 固求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x)4；(3)f(x).解析：(1)由x23x20，得：x1，x2f(x)的定义域是xR|x1且x2(2)由，得x.f(x)4的定义域是.(3)由，得x0且x1，原函数的定义域为x|x0且x1题型四两函数相同的判定例4下列各题中两个函数是否表示同一函数：(1)f(x)x，g(x)()2；(2)f(t)t，g(x)；(3)f(x)，g(x)x2.解析：(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x0，两个函数的定义域不同，故不是同一函数(2)g(x)x，两者的定义域和对应法则相同，故是同一函数(3)f(x)的定义域为(，2)(2，)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数点评：只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则；(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关巩 固试判断下列函数是否为同一函数：(1)f(x)与g(x)；(2)f(x)x22x与g(t)t22t；(3)f(x)1与g(x)x0(x0)解析：(2)是，(1)、(3)不是对于(1)，f(x)的定义域为0，)，而g(x)定义域为(，10，)(3)也是定义域不同综合练习题A组1下列各图中，可表示函数yf(x)的图象的只可能是()答案：D2下列各组函数表示同一函数的是()Ay与yx3By1与yx1Cyx0(x0)与y1(x0)Dy2x1，xZ与y2x1，xZ答案：C3给出四个命题：函数就是定义域到值域的对应关系；若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；因为f(x)5(xR)，这个函数值不随x的变化而变化，所以f(0)5也成立；定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了以上命题正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个答案：DB组1函数y的定义域为()A(，1B(，1)C1，) D(1，)答案：D2设函数f(x)x23x1，则f(a)f(a)()A0 B6aC2a22 D2a26a2答案：B3下列用表给出的函数关系中，当x6时，对应的函数值y等于()x0x11x55x10x10y1234A.2 B3C4 D无法确定答案：B4函数y3x1，x1,1的值域为_答案：2,45函数y的定义域为_解析：利用解不等式组的方法求解要使函数有意义，需解得原函数的定义域为x|x1且x0答案：x|x1且x06已知f(x)则ff(3)的值为_解析：f(3)341，f(f(3)f(1)143.答案：3C组1已知集合Px|4x4，Qy|2y2，下列函数不表示从P到Q的函数的是()A2yxBy2(x4)Cyx22 Dx28y答案：B2已知函数f(x)x22xa，f(bx)9x26x2，其中xR，a，b为常数，则方程f(axb)0的解集为_解析：f(bx)(bx)22bxa9x26x2f(2x3)(2x3)22(2x3)2, f(axb)0，即为4x28x50，而0，故方程f(axb)0的解集为.答案：3求下列函数的值域：(1)yx1，x2,3,4,5,6；(2)y1；(3)yx24x6.解析：(1)3,4,5,6,7(2)0，y1，故值域为y|y1(3)yx24x6(x2)22，而(x2)20，y2，故值域为y|y24已知函数f(x).(1)求f(2)f，f(3)f的值；(2)求证f(x)f是定值；(3)求f(2)ff(3)ff(2 012)f的值解析：(1)f(x)，f(2)f1，f(3)f1.(2)证明：f(x)f1.(3)由(2)知，f(x)f1，f(2)f1，f(3)f1，f(4)f1，f(2 012)f1，f(2)ff(3)ff(2 012)f2 011.5已知f(x)的定义域为(0,1，求g(x)f(xa)f(xa) (a0)的定义域解析：由已知得即(a0)用数轴法，讨论(1)当a0时，x(0,1；(2)当a时，x，即函数不存在；(3)当a0时，x(a,1a课后总结：1“yf(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“yg(x)”2函数符合“yf(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，f(x)是一个数，而不是f乘x.3构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域4函数中的自变量可