山西永济中学高二数学上学期期末考试文

山西省永济中学2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题：，命题：，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断命题的真假，然后根据“且”命题、“或”命题的真假判断原则，对四个选项逐一判断，选出正确的答案.【详解】命题为真，命题也为真，为真,故本题选A.【点睛】本题考查了复合问题的真假判断. “且”命题的真假判断原则是见假就假，要真全真，“或”命题的真假判断原则是见真则真，要假全假.2.与直线：垂直且过点的直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出直线的斜率，然后求出与其垂直的直线的斜率，利用点斜式可得直线的方程，化为一般式，最后选出正确答案.【详解】直线：的斜率为，与其垂直的直线的斜率为，根据点斜式可得直线的方程为，即.【点睛】本题考查了两直线互相垂直时，它们的斜率之间的关系，考查了直线的点斜式方程的应用.3.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题.第一步是将全称量词改写为存在量词，第二步是将结论加以否定.【详解】根据全称命题否定的原则，命题“，”的否定是，故本题选D.【点睛】本题考查了全称命题的否定，改量词，否定结论是关键.4.下列导数运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断.【详解】根据函数的求导公式可得，A错；，B错；，C错；D正确.【点睛】本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数.5.下列命题中，假命题的是（ ）A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.B. 平行于同一平面的两条直线一定平行.C. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.D. 若直线不平行于平面，且不在平面内，则在平面内不存在与平行的直线.【答案】B【解析】【分析】利用线面平行的定义、性质定理，面面垂直性质定理，四个选项逐一判断.【详解】选项A: 由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，所以与相交；选项B:平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面；选项C:由面面垂直的判定定理可知：本命题是真命题；选项D:根据线面平行的判定定理可知：本命题是真命题，故本题选B.【点睛】本题依托线面的平行的判定与性质、面面垂直的判定，考查了判断命题真假的问题，考查了反证法.6.曲线与曲线的（ ）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等【答案】C【解析】【分析】可以判断出两个曲线的类型，然后求出它们的焦距，这样可以选出正确的答案.【详解】曲线表示椭圆，焦距为，当时，曲线表示双曲线，焦距为，故两条曲线的焦距相等,故本题选C.【点睛】本题考查了通过曲线方程识别曲线的能力，考查了椭圆与双曲线方程中，之间的关系.7.已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】 由题意得，圆的圆心坐标为，半径.因为为正三角形，则圆心到直线的距离为， 即，解得或，故选D.8.若双曲线的一个顶点在抛物线的准线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】求出抛物线的准线，这样可以求出的值，进而可以求出双曲线的离心率.【详解】抛物线的准线方程为，则离心率，故本题选B.【点睛】本题考查了抛物线的准线方程、双曲线的离心率、双曲线的顶点坐标.9.设不同直线：，：，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当m2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立当l1l2时，显然m0，从而有m1，解得m2或m1，但当m1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件10.设函数，若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数为奇函数，可以求出的值，求出函数的导数，可以求出曲线的切线的斜率，最后求出切线方程.【详解】函数为奇函数，即.又，切线的方程为.【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了求曲线的切线方程.11.矩形中，沿将三角形折起，得到四面体，当四面体的体积取最大值时，四面体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】在矩形中，沿将三角形折起，当平面平面时，得到的四面体的体积取到最大值，作，可以求出的大小,这样通过计算可以求出四面体的表面积.【详解】在矩形中，沿将三角形折起，当平面平面时，得到的四面体的体积取到最大值，作，此时点到平面的距离为，作，由，可得，.同理可得，四面体的表面积为.【点睛】本题考查了三棱锥的表面积，考查了数学运算能力.12.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知，可以变形为，可以构造函数，可知函数是增函数，故，常变量分离，设，求导，最后求出的最小值，最后求出实数的取值范围.【详解】且，当时，即函数在上是一个增函数.设，则有，即，设，则有，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在处取得最小值，.【点睛】本题考查了利用导数，根据函数的单调性求参数问题,通过已知的不等式形式，构造函数，利用新函数单调性，求出最值，是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“若，则或”的逆否命题为_【答案】“若且，则”.【解析】【分析】若原命题为“若，则”，那么它的逆否命题为“若，则.”【详解】因为若原命题为“若，则”，那么它的逆否命题为“若，则.”所以命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”.【点睛】本题考查了写出原命题的逆否命题，关键是要知道原命题与逆否命题的关系.14.曲线在点处切线的斜率为_【答案】2.【解析】【分析】求导，把代入导函数中，直接求出在点处切线的斜率.【详解】，.【点睛】本题考查了导数的几何意义，求曲线的切线斜率.15.直三棱柱中，若，则点到平面的距离为_【答案】.【解析】【分析】法一：由已知可以证明出平面平面，通过面面垂直的性质定理，可以过作，则的长为到平面的距离，利用几何知识求出;法二:利用等积法进行求解.【详解】法一：，平面，又平面，平面平面.又平面平面，过作，则的长为到平面的距离，在中，.法二：由等体积法可知，解得点到平面的距离为.【点睛】本题考查了点到面距离，一般方法是通过几何作图，直接求出点到面的距离，另一种方法是利用等积法进行求解，通过二种方法的比较，后一种方法更方便些.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，垂直于轴，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为_【答案】.【解析】【分析】通过垂直于轴,可以求出，由已知为等腰三角形，可以得到，结合的关系，可以得到一个关于离心率的一元二次方程，解方程求出离心率.【详解】垂直于，可得，又为等腰三角形，即，整理得，解得.【点睛】本题考查了求椭圆离心率问题，关键是通过已知条件构造出关于离心率的方程.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知：对任意的实数，函数（为常数）有意义，：存在实数，使方程表示双曲线.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】.【解析】【分析】求出函数的定义域；方程表示双曲线，可以求出的取值范围，进而可以求出是成立时，的取值范围，根据已知是的充分不必要条件，可以求出实数的取值范围.【详解】由可得，由知表示双曲线，则，即或，：.又是的充分不必要条件，.【点睛】本题考查了已知充分不必要性，求参问题，关键是对充分不必要条件的理解.18.已知圆：.（1）若直线：与圆相切，求的值；（2）若圆：与圆相外切，求的值.【答案】(1) 或.(2) .【解析】【分析】（1）根据圆的一般方程，化为标准方程形式，求出圆心坐标和半径，利用点到圆切线的距离等于半径，求出的值；（2）根据两圆相外切时，两圆半径和等于两圆的圆心距，求出的值.【详解】（1）由圆的方程为，即，圆心，半径为.又直线：与圆相切，圆心到直线的距离，即，解得或.（2）由题得，圆心，因为圆与圆相外切， 所以，又，解得.【点睛】本题考查了圆的切线性质、圆与圆相外切的性质，考查了运算能力.19.已知抛物线：.（1）若直线经过抛物线的焦点，求抛物线的准线方程；（2）若斜率为-1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，当时，求抛物线的方程.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）由抛物线的焦点的位置，可以判断出直线与横轴的交点坐标就是抛物线的焦点，这样可能直接写出抛物线的准线方程；（2）写出斜率为-1经过抛物线的焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，根据抛物线的定义和根与系数的关系可以求出，结合已知，求出的值，写出抛物线的方程.【详解】(1)直线经过抛物线的焦点，抛物线的焦点坐标为，抛物线的准线方程为.（2）设过抛物线的焦点且斜率为-1的直线方程为，且直线与交于，由化简得，.，解得，抛物线的方程为.【点睛】本题考查了已知抛物线过定点，求抛物线的标准方程，以及运用抛物线的定义求其标准方程的问题.20.已知函数.（1）若，证明：；（2）当时，判断函数有几个零点.【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】【分析】（1）时，对函数求导，求出函数的最大值，这样就可以证明出；（2）当时，对函数求导，列表求出函数的单调性与极值，根据单调性和极值情况，可以判断出函数的个数.【详解】（1）当时，.1+0-单调递增极大值单调递减函数的最大值为，即当，时，.（2）当时，.+0-单调递增极大值单调递减，函数在上只有一个零点.当时，函数在上只有一个零点.21.已知椭圆：，该椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是圆上任意一点，由引椭圆的两条切线，当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值.【答案】(1) .(2)见解析.【解析】【分析】（1）由椭圆经过点，可以求出的值，由离心率为，可知的关系，结合之间的，可以求出的值，这样就求出椭圆的标准方程；（2）设，且.点引椭圆的切线方程可设为，与椭圆方程联立，让根的判断式为零，得到一个关于的一元二次方程，利用根与系数的关系，可以证明出两条切线斜率的积为定值.【详解】（1）由题意得，解得，.椭圆的标准方程为.（2）设，且.由题意知，过点引椭圆的切线方程可设为，联立化简得.直线与椭圆相切，化简得.两条切线斜率的积为定值.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，椭圆的切线方程，以及利用方程的根与系数关系证明两条切线斜率乘积为定值问题.22.已知函数.（1）若，求函数单调区间；（2）当时，若函数在处取得极小值，求函数的极大值.【答案】(1) 函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.(2) .【解析】【分析】（1）求导，让导函数