广东东莞高三数学下学期第一次统考模拟考试文

广东省东莞市2019届高三第二学期第一次统考（省一模）模拟考试文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用交集的定义求解.【详解】，则，选.【点睛】本题主要考查集合的运算，属基础题.2.已知i是虚数单位，则A. 10B. C. 5D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【详解】，故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.双曲线的焦点到渐近线的距离为A. 1B. C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果【详解】双曲线中，焦点坐标为，渐近线方程为：，双曲线的焦点到渐近线的距离：故选：A【点睛】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质5.由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论【详解】由的图象向左平移个单位，可得的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，可得的图象，故选：D【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题6.函数且的图象恒过点A，且点A在角的终边上，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值【详解】对于函数且，令，求得，可得函数的图象恒过点，且点A在角的终边上，则，故选：C【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题7.如图所示，中，点E是线段AD的中点，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出【详解】如图所示，故选：C【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8.已知是等差数列，是正项等比数列，且，则A. 2274B. 2074C. 2226D. 2026【答案】A【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出【详解】设等差数列的公差为d，正项等比数列的公比为，解得，则故选：A【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】在A中，n与相交、平行或；在B中，由线面平行的性质定理得；在C中，与相交或平行；在D中，m与n平行或异面【详解】由m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，得：在A中，则n与相交、平行或，故选A；在B中，则由线面平行的性质定理得，故B正确；在C中，则与相交或平行，故C错误；在D中，则m与n平行或异面，故D错误故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数表结合思想，是中档题10.三棱锥中，平面ABC，的面积为2，则三棱锥的外接球体积的最小值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，由的面积为2，得，进而得到外接圆的半径和到平面的距离为，在利用球的性质，得到球的半径，即可求解.【详解】如图所示，设，由的面积为2，得，因为，外接圆的半径，因为平面，且，所以到平面的距离为，设球的半径为R，则，当且仅当时等号成立，所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选D.【点睛】本题主要考查了有关球与棱锥的组合体问题，以及球的性质的应用和球的体积公式，其中解答中正确认识组合体的结构特征，合理应用球的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11.在中，则的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理得出的外接圆直径，并利用正弦定理化边为角，利用三角形内角和关系以及两角差正弦公式、配角公式化简，最后利用正弦函数性质可得出答案【详解】中，则，其中由于，所以，所以最大值为故选：A【点睛】本题考查正弦定理以及两角差正弦公式、配角公式，考查基本分析计算能力，属于中等题12.设函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分类讨论：当时；当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可【详解】当时，的可变形为，当时，的可变形为，故答案为故选：D【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点处的切线的斜率为_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，代入，得到切线的斜率即可【详解】曲线，可得，所以曲线在点处的切线的斜率为：故答案为：【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力14.若x，y满足约束条件，则的最小值为_【答案】-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数过点A时取得最小值，由，解得，代入计算，所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题15.设双曲线的左右焦点分别为，过的直线l交双曲线左支于A，B两点，则的最小值等于_【答案】16【解析】试题分析：考点：双曲线定义【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.16.圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是_【答案】【解析】【分析】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，求出CD长，根据垂径定理求出PC=2CD，即可得出答案【详解】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，过A作ADPC于D，弧PC的长是21=2，则侧面展开图的圆心角是，DAC=，AC=3，所以.即蚂蚁爬行的最短路程是.故答案为：.【点睛】考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列的首项，且、构成等比数列求数列的通项公式设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】设公差为d，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；求得，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和【详解】等差数列的首项，公差设为d，、构成等比数列，可得，即为，解得或，当时，不成立，舍去，则，可得；，前n项和【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题18.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组记为甲组、乙组先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间精确到，并据此判断哪种培训方式效率更高？在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率【答案】（1）方式一（2）【解析】【分析】（1）用总的受训时间除以，得到平均受训时间.由此判断出方式一效率更高.（2）利用分层抽样的知识，计算得来自甲组人，乙组人.再利用列举法求得“从这人中随机抽取人，求这人中至少有人来自甲组的概率”.【详解】解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为、，则（小时）（小时）据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为：，来自乙组的人数为：，记来自甲组的2人为：；来自乙组的4人为：，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：，共15种，其中至少有1人来自甲组的有：，共9种，故所求的概率.【点睛】本题主要考查平均数的计算，考查分层抽样，考查古典概型的计算方法，属于中档题.19.如图所示，四棱锥中，菱形ABCD所在的平面，E是BC中点，M是PD的中点求证：平面平面PAD；若F是PC上的中点，且，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析； （2） .【解析】【分析】（1）证明：连接，因为底面为菱形，得到，证得所以，再利用线面垂直的判定定理得平面，再利用面面垂直的判定，即可证得平面平面.（2）利用等积法，即可求解三棱锥的体积.【详解】（1）证明：连接，因为底面为菱形，所以是正三角形，因为是中点，所以，又，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面又平面，所以平面平面.（2）因为，则，所以.【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明及几何体的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，同时对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解20.已知椭圆E的一个顶点为，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线的距离是3求椭圆E的方程；设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离列式求得c，再求得a；（2）根据弦长公式求得弦长后，换元成二次函数求最值【详解】（1）由题意， 右焦点到直线的距离,， ,椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为（2）解法1当不存在时， 当存在时，设直线方程为，联立，得， 令则 所以，当，即，得时的最大值为，即的最大值为直线的方程为. （2）解法2设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），设点对应的参数分别为，且;将参数方程代入椭圆方程可得：，化简可得：，若，则上面的方程为，则,矛盾 若，则，则弦长为 上式， 当且仅当即或，时等号成立. 直线方程为：或【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21.已知函数，其中为自然对数的底数. （1）若，求的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求证：.【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为(2) 见解析.【解析】【分析】（）对函数求导，代入参数a的值，即可得到函数的单调区间；（）通过对函数求导研究函数的单调性得到，由得：，构造函数，对函数求导可得到函数的最值.【详解】（）的定义域是， .当时，因为函数，单调递增，且，所以：当时，当时，所以：函数的单调递减区间为：，单调递增区间为：；（）证明：由（）得的定义域是，令，则，在上单调递增，因为，所以，故存在，使得，当时，故，单调递减；当时，故，单调递增；故时，取得最小值，即，由得：，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，故，即时，取最大值1，故.【点睛】本题主要考查函数单调性、最值的求解，根据导数的应用是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，属于中档题22.已知极坐标系的极点在直